精品解析：北京市燕山区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷

2025北京燕山初二（下）期末 数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 化简的结果正确为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，1， B. 1，1，2 C. 1，2，2 D. 2，2，4 3. 若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为( ) A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 4. 如图，在中，，，，则边上的高的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲城市的年平均气温在以上 B. 乙城市的年平均气温在以下 C. 甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温 D. 甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接．当点F在BC边上移动使得四边形成为正方形时，的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 11. 如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则______． 12. 请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 13. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为，则的值为__________． 14. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）． 15. 小兰在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，她从中提取出一个含角的菱形（如图所示）．若的长度为a，则菱形的面积为________． 16. 正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是________，点的坐标是________． 三、解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24-25题每题6分，第26题5分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在第一象限，且四边形是矩形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，，则四边形是矩形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明： ∵，　　　　， ∴四边形是平行四边形．（　　　　）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形，（　　　　）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出矩形的面积和直线的表达式． 21. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）． （1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 23. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 24. 在数学课上，老师说统计学中常用平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）． 25. 如图，《九章算术》中记载，浮箭漏（图（1））是由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏（箭尺最大读数为），实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得部分数据如下： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 42 54 （1）补全表格： （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系．如图（2），横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，建立平面直角坐标系，描出以表中数据为坐标的各点，画出函数图象． （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①供水时间达到12h时，估算箭尺的读数约为________； ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为时供水时间达到________h，此时时间是________点． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图像，直接写出m的取值范围． 27. 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”． （1）①函数“分移函数”为其中“分移值”为3，在图1中画出其图象； ②已知点在的“分移函数”的图象上，则________； （2）已知点，）在函数的“分移函数”的图象上，则m的值是__________； （3）已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形恰好有2个交点，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京燕山初二（下）期末 数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 化简的结果正确为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根记作，表示a的非负平方根． 【详解】解：表示4的算术平方根，即． 故选C． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，1， B. 1，1，2 C. 1，2，2 D. 2，2，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，若三角形为直角三角形，则需满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．逐一验证各选项即可． 【详解】选项A：最长边为，验证勾股定理：等式成立，符合条件． 选项B：最长边2，验证：等式不成立，排除． 选项C：最长边为2，验证：等式不成立，排除． 选项D：最长边为4，验证：等式不成立，排除． 综上，只有选项A满足勾股定理， 故选A． 3. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( ) A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线性质求边长后计算周长． 【详解】解：如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6． ∵ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，BO=3，AO=4． ∴AB=5． ∴周长= 4AB= 4×5=20． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 4. 如图，在中，，，，则边上的高的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边长，利用面积桥求CD即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理， ∵CD⊥AB， ∴S△ABC=， ∴． 故选择B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形面积的不同表示，掌握勾股定理与相关知识是解题的关键． 5. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数概念，对函数概念的理解要注意：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． 根据函数的定义逐项判定即可． 【详解】解：A．对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数，符合题意； B．在圆内，对于自变量x的任何值，y都有两个值与之相对应，y不是x的函数，不符合题意； C．在x轴正半轴，对于自变量x的任何值，y都有两个值与之相对应，y不是x的函数，不符合题意； D．当时，y有两个值与之相对应， y不是x的函数，不符合题意； 故选A． 6. 甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲城市的年平均气温在以上 B. 乙城市的年平均气温在以下 C. 甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温 D. 甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近 【答案】D 【解析】 【分析】利用折线图，求出甲、乙平均气温即可判断． 【详解】解：由折线图可知，甲的年平均气温．故选项不符合题意， 乙的年平均气温，故选项，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，由题意可知，一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，故斜率．将各选项点的坐标代入函数解析式，求出对应的值，判断是否满足即可． 【详解】函数中，随的增大而增大，说明． 点在函数图象上，需满足坐标代入后方程成立且． 选项A：把代入得，解得，不满足，排除． 选项B：把代入得，解得，满足，符合条件． 选项C：把代入得，解得，不满足，排除． 选项D：把代入得，解得，不满足，排除． 综上，只有选项B满足条件， 故选B． 8. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接．当点F在BC边上移动使得四边形成为正方形时，的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接BB'，连接BD，由正方形的性质可得BD=AB=，BD平分∠ABC，=BE=，BB'平分∠ABC，可证点B，点，点D三点共线，即可求解． 【详解】解：如图，连接BB'，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴BD=AB=，BD平分∠ABC， ∵点E是AB的中点， ∴AE=BE=1， ∵四边形是正方形， ∴，平分∠ABC， ∴点B，点，点D三点共线， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，掌握正方形的性质是本题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则，即． 故答案为： 10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出，由一次函数的图象经过点，用待定系数即可求出一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴k值不变，， ∴一次函数为：， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数的表达式为：， 故答案为：． 11. 如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边平行可知，利用平行线的性质还可求出；结合折叠的性质求出的度数，再在中利用三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 根据折叠的性质可知， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 12. 请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可判断． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 13. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理与正方形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，，四边形都是正方形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形与面积的计算方法，掌握勾股定理，正方形的面积计算方法是解题的关键． 14. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∴； ， ， ∴， 故答案为：，． 15. 小兰在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，她从中提取出一个含角的菱形（如图所示）．若的长度为a，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作交延长线于H，可求出，则，由勾股定理得到，由菱形的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是________，点的坐标是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与正方形的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、正方形性质及规律探究．关键是通过分析、的坐标关系，结合直线解析式推导通用规律，利用规律求解具体点坐标．先通过、坐标确定、坐标，用待定系数法求直线解析式，再结合正方形边长与坐标的关系，推导坐标规律，进而求解、的坐标． 【详解】解： ∵，正方形， ∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即； ∵，正方形， ∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即． 把、代入， ， 解得，即直线解析式为． 推导坐标规律 观察，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标； ，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标； 对于，正方形的边长为（由在直线上，结合规律 ∴横坐标为，纵坐标为 ），则横坐标为，纵坐标为，即； 归纳 ∴坐标为． 当时，； 当时，． 故答案为：，． 三、解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24-25题每题6分，第26题5分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法以及利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和算术平方根的运算，熟练掌握平方差公式以及算术平方根的计算是解题的关键． 本题可利用平方差公式对进行化简，再计算，最后进行减法运算得出结果． 【详解】解： ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【分析】将变形后，再将a的值代入计算可得结果． 【详解】解：． 当时，， ∴ 【点睛】本题主要考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在第一象限，且四边形是矩形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，，则四边形是矩形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明： ∵，　　　　， ∴四边形是平行四边形．（　　　　）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形，（　　　　）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出矩形的面积和直线的表达式． 【答案】（1）作图见解析 （2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理即可得证； （3）确定点、、的坐标分别为、、，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意作图如下： 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形） ∵， ∴四边形是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形） 故答案为：；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角为直角的平行四边形为矩形； 【小问3详解】 解：∵直线：与轴，轴分别交于点，， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∵四边形是矩形，， ∴，， 则线段向上平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， 设直线的表达式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查作图—应用与作图，考查了尺规作图—作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定正比例函数图像的解析式．掌握尺规作图，矩形的判定与性质及一次函数的应用是解题的关键． 21. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形； （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度． 【详解】（1）证明：在▱ABCD中，ADBC，且AD=BC ∵F是AD的中点 ∴DF=AD 又∵CE=BC ∴DF=CE，且DFCE ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H． 在▱ABCD中，∵∠B=60°， ∴∠DCE=60°． ∵AB=4， ∴CD=AB=4， ∴CH=CD=2，DH=2． 在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1． ∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）． （1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）m的值为3，一次函数的表达式为；（2） 点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2） 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法把C（m，4）代入正比例函数y=x中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值进而得到一次函数解析式； （2）利用△BPC的面积为6，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵ 点C（m，4）在正比例函数的图象上， ∴ m，，即点C坐标为（3，4）． ∵ 一次函数 经过A（－3，0）、点C（3，4）， ∴ 解得： ， ∴ 一次函数的表达式为 ； （2）∵△BPC的面积为6， ∴， 解得：BP=4， 对于，当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2）． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入函数y=kx+b中，计算出k、b的值是解题关键． 23. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）． 【答案】（1），，；（2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】解：（1）当时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 25. 如图，《九章算术》中记载，浮箭漏（图（1））是由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏（箭尺最大读数为），实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得部分数据如下： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 42 54 （1）补全表格： （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系．如图（2），横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，建立平面直角坐标系，描出以表中数据为坐标的各点，画出函数图象． （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①供水时间达到12h时，估算箭尺的读数约为________； ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为时供水时间达到________h，此时时间是________点． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3）①；②， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据表格数据增长规律作答即可； （2）由表格描点，连线即可； （3）①根据函数图象可得y与之间的函数表达式是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式，将代入计算即可； ②求出时的值，然后计算即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，供水时间每上升2，箭尺读数上升6， ∴当供水时间从2升到4时，箭尺读数为； 【小问2详解】 解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图： 【小问3详解】 ①解：设解析式为， 当， 则有， 解得， ∴解析式为：， ∵时，， ∴函数解析式为：， 将代入得， 故答案为：； ②解：当时，即， 解得：， 即经过，箭尺读数为， ∵本次实验记录的开始时间是上午， ∴当箭尺读数为时． 故答案为：，． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图像，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象平移时不变，先确定的值，再将已知点代入函数求． （2）结合函数图象，根据两函数的位置关系确定的取值范围． 本题主要考查一次函数的平移性质、函数解析式的求解以及函数图象的应用，熟练掌握一次函数的性质和平移规律，结合图象分析函数值大小关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ． 函数的图象经过点， ． 解得． ，． 【小问2详解】 解：结合函数图像，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时． 27. 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识，准确作图、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）按照题意补全图形即可； （2）连接．证明，即可得到结论； （3）连接并延长到F，使得，连接．证明为的中位线．则．证明．由．得到．则．证明，，由即可得到结论． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如下： 【小问2详解】 证明：连接． ∵点D关于直线的对称点为E，， ，． ． ， ． ． ， ． ． 【小问3详解】 用等式表示线段与的数量关系是：． 证明：连接并延长到F，使得，连接． ∴点N是中点． ∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M， ∴点M是中点． ∴为的中位线． ． ∵点N是中点， ． ，， ． ，． 又， ． ， ． ． ． ． ，， ． ． 28. 定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”． （1）①函数的“分移函数”为其中“分移值”为3，在图1中画出其图象； ②已知点在的“分移函数”的图象上，则________； （2）已知点，）在函数的“分移函数”的图象上，则m的值是__________； （3）已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形恰好有2个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①见解析 ②； （2）m的值是 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据“分移函数”定义，分别确定和时函数表达式，通过找特殊点（如与坐标轴交点、对称点等）来绘制图象；②已知点，根据“分移函数”定义，，代入对应分段函数求解． （2）先写出的“分移函数”，再根据、的横、纵坐标正负，代入对应分段函数列方程求解． （3）根据函数的“分移函数”图像与矩形的性质，通过计算函数图像分别过点和过点时的值，即可确定图像与矩形有两个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，函数为，取点、； 当时，函数为，取点、； 描点连线，画出分移函数图象如下． ②点，，代入分移函数， ， 解得． 故答案为． 【小问2详解】 解：的“分移函数”为（为分移值，本题隐含分移值不影响，直接代入点坐标）： ，，代入得； ，，代入得； 两式相加消去：， 化简得，解得． 故答案为． 【小问3详解】 解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为， ∴， 当时，函数图像与矩形没有交点， 当时，当函数图像经过点时，如图所示： 此时函数图像与矩形有一个交点， 将点代入， 得， 解得， 当函数图像经过点时，此时函数图像与矩形有三个交点， 将点代入， 得， 解得， ∴当函数图像与矩形有两个交点时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、一次函数的平移与交点问题，以及矩形的坐标特征．解题关键是理解“分移函数”的定义，结合矩形顶点坐标，通过分析函数在不同区间的表达式与矩形边的交点情况，利用临界值法确定的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $