【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项08 四边形）

【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项08 四边形） 一．选择题（共10小题） 1．（2025•成都）下列命题中，假命题是（　　） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 2．（2025•湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 3．（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（　　） A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积 4．（2025•山西）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　） A．OEAD B．OEBC C．OEAB D．OEAC 5．（2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　） A． B．2 C． D． 7．（2025•深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 9．（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 10．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•甘肃）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　 　 cm． 12．（2025•重庆）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　 　 ，EH的长度为 　 　 ． 13．（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　 　 ．（写出一个即可） 14．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　 　 ． 15．（2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　 　 ． 三．解答题（共13小题） 16．（2025•河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 17．（2025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD． （1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数； （2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求的长． 18．（2025•广东）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题： 命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF． 命题2：若连接ED，则ED⊥AC． 命题3：若连接ED，则ED＝BC． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 19．（2025•北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长． 20．（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长． 21．（2025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）AC的长为 　 　 ． （2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围． （3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 22．（2025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． （1）若E是BC中点； ①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC； ②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值； （2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长． 23．（2025•安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B． （1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长； （2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′． （i）求证：∠CA′F＝45°； （ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由． 24．（2025•山西）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中， AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝ 　 　 °． 问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD，BE．求证：线段AD是线段BE的双关联线段． 证明：延长DA交BE于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60° ∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠BAE＝∠ACD（依据）． ∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD． ∴BE＝AD，∠E＝∠D． …… 任务： （1）问题1中的∠ACB＝ 　 　 °，问题2中的依据是 　 　 ； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 25．（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8． （1）如图1，求sin∠BAC的值． （2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP． ①当EF⊥AC时，求AE的长． ②求PA﹣PB的最小值． 26．（2025•湖南）【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B作直线l⊥CD于点E，沿直线l将纸片剪开，得到△B1C1E1和四边形ABED，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片B1C1E1和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片B1C1E1置于四边形纸片ABED内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F，如图3所示； ②连接CC1，过点C作直线CN⊥CD交射线EE1于点N，如图4所示； ③在边AB上取一点G，分别连接BD，DG，FG，如图5所示． 【问题解决】 请解决下列问题： （1）如图3，填空：∠A+∠ABF＝ 　 　 °； （2）如图4，求证：△CNM≌△C1E1M； （3）如图5，若，∠AGD＝60°，求证：FG∥BD． 27．（2025•陕西）问题探究 （1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，△BPC周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 28．（2025•河北）综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线． [模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分． [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接AC，BD交于点O； ②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F； …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边BC上截取BG＝AB，连接AG； ②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M； ③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN． [探究]根据以上描述，解决下列问题． （1）图2中，矩形ABCD的周长为 　 　 ； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求． [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． （4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH． ①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长． 【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项08 四边形） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C A B D C C A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•成都）下列命题中，假命题是（　　） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 2．（2025•湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【解答】解：由题意A，C关于原点对称， ∵A（﹣1，2）， ∴C（1，﹣2）． 故选：C． 3．（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（　　） A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积 【解答】解：连接AA′交BE于点L， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵E为边AD的中点， ∴AE＝DEADAB， ∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE， ∴A′E＝AE＝DE，点A′与点A关于直线BE对称， ∴BE垂直平分AA′， ∴∠ALE＝90°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′， ∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′180°＝90°， ∴∠AA′D＝∠ALE， ∴A′D∥BE， 故A正确； 作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，则∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°， ∴A′H∥AD， ∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB， ∴tan∠DA′H＝tan∠ADA′tan∠AEB2， ∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE， ∴A′Dm，ADA′D， ∴AB＝CD＝ADm＝5m， ∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m， ∴A′Cm， ∴， ∴A′CA′D， 故B正确； ∵AA′＝2A′D＝2m， ∴S△A′ADm×2m＝5m2， ∴S△A′DE＝S△A′AES△A′ADm2， ∵S△A′CD5m2m2， ∴S△A′CD＝S△A′DE， 故C正确； ∵AEADm， ∴S△A′BE＝S△ABE5mmm2， ∴S四边形A′BEDm2m2m2， ∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2， ∴S△A′BC＝25m2﹣2m2﹣2m2m2， ∴S四边形A′BED≠S△A′BC， 故D不正确， 故选：D． 4．（2025•山西）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　） A．OEAD B．OEBC C．OEAB D．OEAC 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC的中点， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵点E是边AD的中点， ∴OE是△ACD的中位线， ∴OECDAB， 故A、B、D错误，不符合题意；C正确，符合题意； 故选：C． 5．（2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设直线 FG的解析式为 y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1）， ∴，解得， ∴直线FG的解析式为 y＝﹣2x﹣1， ∵E（1，2），A．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时经过原点，对应的EH经过整点（2，1），符合题意， B．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时原点在FG下方，对应的EH在整点（2，1）上方，不符合题意， C．当E为时，平移方式为向右平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时点E在正方形内部，不符合题意， D．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为此时点E和（2，1）在正方形内部，不符合题意， 故选：A． 6．（2025•湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：如图，过G作GH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝AD，∠BCD＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD， 由对折可得：BC＝BF，CE＝EF，∠BFE＝∠BCE＝90°＝∠DFE，∠FBE＝∠CBE， ∴∠DEF＝∠FDE＝45°，而， ∴DF＝EF＝DE•sin45°＝2， ∴， ∴， ∴， ∵∠FBE＝∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD， ∴OG＝HG， ∵BG＝BG， ∴Rt△OBG≌Rt△HBG， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 方法二：设AC与BD交于点O， ∵∠FBE＝∠CBE＝22.5°，∠BOG＝90°， ∴∠OGB＝67.5°＝∠CGE，∠CEG＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠CEG＝∠CGE＝67.5°， ∴CG＝CE＝EF＝2， 故选：B． 7．（2025•深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°，OA＝OC， 由折叠可得， AO⊥EF，AG＝GO，∠EOA＝∠EAO＝45°，∠FOA＝∠FAO＝45°，AE＝OE，AF＝FO， ∴AE∥OF，AF∥OE，∠EOF＝90°， ∴四边形AEOF是正方形， ∴EF＝AO，GO＝AGOA， ∴CG＝CO+OG， ∴， 故选：D． 8．（2025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 【解答】解：如图，连接EG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E，G分别为边AD，BC的中点， ∴AE＝DE＝BG＝CG， ∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形， ∴S△EGFS平行四边形ABGE，S△EHGS平行四边形DEGC， ∴四边形EFGH的面积S平行四边形ABCD， ∴四边形EFGH的面积是定值， 故选：C． 9．（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°， ∵， ∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°． 故选：C． 10．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1， ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x， 根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2， 即（2﹣x）2+22＝（2+x）2， 解得， ∴，， ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， ∴， 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•甘肃）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　12　 cm． 【解答】解：∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°， 根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝6cm， ∴∠EAC＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠CED＝∠EAC+∠ECA， ∴∠EAC＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AD＝2CD＝12cm， 故答案为：12． 12．（2025•重庆）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　3　 ，EH的长度为 　　 ． 【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5， ∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10， ∴， ∵四边形ACDE是菱形， ∵CD＝AC＝13， ∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3， ∴， 如图，连接BC，BH， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°， ∴，即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∵四边形ACDE是菱形， ∴CD∥AE， ∴∠DAE＝∠CDA， 如图，过H作HM⊥AE于M， ∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：3，． 13．（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　2或3或4或5或6　 ．（写出一个即可） 【解答】解：如图， ∵平行四边形两个邻边长分别为3和4， ∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3， 即它的一条对角线长L的取值范围是：1＜n＜7． ∴n＝2或3或4或5或6． 故答案为：2或3或4或5或6． 14．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　1　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DO＝BO＝1，CD∥AB， ∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴△DOF的面积＝△BOE的面积， ∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积2×1＝1， 故答案为：1． 15．（2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　　 ． 【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12， ∴，AC⊥BD， ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2， 如图，取OE中点H，连接GH， ∵点G为BE的中点，点H为OE的中点， ∴GH是三角形EBO的中位线， ∴，GH∥OB， ∴∠GHE＝∠BOA＝90°， ∵OF＝1， ∴， 在直角三角形GFH中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三．解答题（共13小题） 16．（2025•河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 【解答】（1）解：如图，点O即为所求； （2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E是AD的中点，O是BC的中点， ∵AE＝DE＝OC＝OB， ∵AE∥OC， ∴四边形AOCE是平行四边形． 17．（2025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD． （1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数； （2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求的长． 【解答】解：（1）∵BC经过圆心O， ∴BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°， ∴∠D的度数是55°． （2）连接OA、OC， ∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6， ∴AD⊥OA，OA＝OC＝6， ∴∠OAD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB＝35°， ∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝70°， ∴， ∴的长为． 18．（2025•广东）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题： 命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF． 命题2：若连接ED，则ED⊥AC． 命题3：若连接ED，则ED＝BC． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【解答】解：命题1：若连接BE交CA于点F， 则S△CFB＝2S△CEF 命题1是真命题， 证明如下：连接DE，交AC于O， 如图所示： ， ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵DA＝DC， ∴四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE，且OA＝OC，OE＝OD， ∵O为AC的中点，D为AB中点， ∴DO是△ABC的中位线， 则， ∴，S△CEFCF•OE，则S△CFB＝22S△CEF； 命题2：若连接ED，则ED⊥AC． 命题2是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O， 如图所示： ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵DA＝DC， ∴四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE； 命题3：若连接ED，则ED＝BC． 命题3是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O， 如图所示： ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴CE＝AD， ∴CE＝DB， ∵CE∥AB， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴ED＝BC． 19．（2025•北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长． 【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴平行四边形DFCG是矩形； （2）解：∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3， ∵DG＝FC＝5， ∴BC＝BF+FC＝3+5＝8， 由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， ∴DEBC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°， ∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1， ∴CE， ∵E为AC的中点， ∴AC＝2CE＝2． 20．（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， ∴AE＝CF， 又∵AB∥CD， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示： ∴∠EHC＝∠EHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，BC＝12， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°， ∴四边形EBCH是矩形， ∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5， ∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7， ∵BE＝DF＝5， ∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2， 在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF． 21．（2025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）AC的长为 　7　 ． （2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围． （3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【解答】解：（1）当 B，D重合时，如下图： ∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE， ∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2， 解得：AP＝3 （负的舍去）， ∵BC＝5，∠DPC＝90°， ∴， ∴AC＝AP+PC＝3+4＝7， 故答案为：7； （2）当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3）， 当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动， 如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3， ∵FP′BP， ∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB， ∴△CFP∽△CBP， ∴， ∴， 解得：， ∴y＝S△APD+S梯形PP′FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）′ ∴； （3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时， ∴， ∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2， 即2AP2＝72， 解得：AP＝6， ∴x＝6． 22．（2025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． （1）若E是BC中点； ①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC； ②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值； （2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长． 【解答】（1）①证明：如图所示，延长FE，AB交于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC， ∵E是边BC中点， ∴BE＝CE， ∴△BEH≌△CEF（AAS）， ∴EH＝EF，∠H＝∠CFE， ∵AE＝EF， ∴AE＝EH， ∴∠H＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠CFE； 方法2：过点E作EI∥AB交AF于点I， ∵EI∥BA，AB∥CD， ∴BAE＝∠AEI，∠EFC＝∠IEF， ∵E为BC的中点， ∴I为AF的中点， ∵AE＝AF， ∴∠AEI＝∠IEF， ∴∠BAE＝∠EFC； ②解：如图所示，延长BF，AD交于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF， ∴，， ∴BF＝MF，BC＝DM， ∵E是边BC中点， ∴BC＝2CE＝2BE， 设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m， ∴AM＝AD+DM＝4m， ∴，1， ∴， ∴，， 设S△ABG＝4n，则S△BGE＝n，S△AFG＝6n， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长AD，EF交于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝3， ∴∠AEB＝∠EAD， ∵∠AEB＝∠AFE＝∠EFC， ∴∠EFA＝∠EAD， 又∵∠AEF＝∠MEA， ∴△AEF∽△MEA， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝∠EFC+∠FCE+∠FEC＝180°，∠AEB＝∠EFC， ∴∠AEF＝∠FCE， ∴△AEF∽△ECF， ∵AD∥BC， ∴△ECF∽△MDF， ∴， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2， 设CE＝s，FE＝t， ∵△AEF∽△ECF， ∴，即， ∴AE＝st，AF＝t2， ∵，即， ∴DM＝2s，FM＝2t， ∴AM＝AD+DM＝5+2s， ∵△AEF∽△MEA， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 23．（2025•安徽）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B． （1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长； （2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′． （i）求证：∠CA′F＝45°； （ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由． 【解答】（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线， ∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA， ∴BE＝BE， ∴△ABE≌△A'BE（SSS）， ∴∠BAE＝∠BA'E＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45°， ∴△A'DE是等腰直角三角形， ∴A'D＝A'E＝1， ∴DE， ∴AD＝AE+DE1， ∴AB＝AD＝A'B1； （2）（i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC， ∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C， ∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°； （ii）解：△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N， ∵CN⊥BG，CG＝CB， ∴M为BG的中点， ∵AA′⊥BE， ∴CN∥AF， ∴MN是△ABG的中位线， ∴， ∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCN（ASA）， ∴， ∵E为AD的中点，AG＝GA′， ∴EG∥A′D， ∴∠DA′G＝∠EGA＝90°， 同理可证△ADA′≌△BAG（ASA）， ∴A′D＝AG＝A′G， ∴△A′DG是等腰直角三角形． 24．（2025•山西）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中， AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝ 　30　 °． 问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD，BE．求证：线段AD是线段BE的双关联线段． 证明：延长DA交BE于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60° ∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠BAE＝∠ACD（依据）． ∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD． ∴BE＝AD，∠E＝∠D． …… 任务： （1）问题1中的∠ACB＝ 　30　 °，问题2中的依据是 　等角的补角相等　 ； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【解答】（1）解：设AC，BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， ∵对角线AC与BD互为双关联线段， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∴∠ACB＝90°﹣∠OAB＝30°， 故答案为：30； 问题2中的依据是：等角的补角相等； 故答案为：等角的补角相等； （2）解：∵∠AFB是△AEF的外角， ∴∠AFB＝∠EAF+∠E， ∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠D， ∵∠EAF＝∠CAD，∠E＝∠D， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°， 即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°， ∵AD＝BE， ∴线段AD与线段BE是双关联线段； （3）解：答案不唯一， 如图，线段CD即为所求． 25．（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8． （1）如图1，求sin∠BAC的值． （2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP． ①当EF⊥AC时，求AE的长． ②求PA﹣PB的最小值． 【解答】解：（1）如图，设AC，BD交于点O， ∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8， ∴AC⊥BC，， ∴， ∴； （2）①如图，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BC，，BD＝2OB，AD＝AB＝5， ∴， ∴BD＝6； ∵EF⊥AC，AC⊥BC， ∴EF∥BD， ∴∠DBE＝∠FEB， 由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝DB＝6， ∴AE＝AD+DE＝11； ②在 Rt△BOP中，由勾股定理得， ∵PA＝OA+OP＝4+OP， ∴PA﹣PB＝4+OP ， ∵， ∴要使 PA﹣PB的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着OP的值增大而增大， ∴的值随着OP的值增大而增大， ∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值； 如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在Rt△POB中，由勾股定理得， ∴当PB有最小值时，OP有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为， ∴， ∴． 26．（2025•湖南）【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B作直线l⊥CD于点E，沿直线l将纸片剪开，得到△B1C1E1和四边形ABED，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片B1C1E1和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片B1C1E1置于四边形纸片ABED内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F，如图3所示； ②连接CC1，过点C作直线CN⊥CD交射线EE1于点N，如图4所示； ③在边AB上取一点G，分别连接BD，DG，FG，如图5所示． 【问题解决】 请解决下列问题： （1）如图3，填空：∠A+∠ABF＝ 　90　 °； （2）如图4，求证：△CNM≌△C1E1M； （3）如图5，若，∠AGD＝60°，求证：FG∥BD． 【解答】（1）解：由题可知∠ABF＝∠CBE， ∵BE⊥CD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠CBE+∠C＝90°， 在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C， ∴∠A+∠ABF＝90°， 故答案为：90； （2）证明：∵CN⊥CD， ∴∠CND＝90°， 由题可知∠CE1C1＝∠CEB＝90°，BE＝B1E1，CE＝C1E1， ∵AB∥CD， ∴∠EBE1＝∠CBE＝90°， ∴△EBE1为等腰直角三角形， ∴∠BE1B＝∠BEE1＝45°， ∴∠CEN＝∠CNE＝∠C1E1M＝45°， ∴CN＝CE＝C1E1， 在△CNM和△C1E1M； ， ∴△CNM≌△C1E1M（AAS）； （3）证明：如图，过点D作DP⊥AB垂足为点P， 由题， 设AF＝1， ∴，AB， ∴， 在Rt△ADP中，， ∴DP， ∵∠AGD＝60°， ∴在Rt△GDP中，PG， ∴AG＝AP+PG＝2， ∴，即， ∵∠A＝∠A， ∴△AFG∽△ADB， ∴∠AFG＝∠ADB， ∴FG∥BD． 27．（2025•陕西）问题探究 （1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，△BPC周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【解答】解：（1）依题意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF， 再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F， 连接EF，则DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BDEF是平行四边形， 即▱BDEF如图所示： （2）如图，过P点作PH⊥BC于点H， ∵S△BPC＝9，BC＝6， ∴， 解得PH＝3， 过点P作MN∥BC且分别与AB，CD交于M，N，即P在线段MN上运动的， 则C△BPC＝BP+CP+BC＝BP+CP+6， 当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值， 作B点关于MN的对称点B'， ∴BM＝BM＝3，B'P＝BP，∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C， 当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，即△BPC的周长有最小值， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△BBC中，B'B＝6，BC＝6， ∴， 此时△BPC得周长； （3）如图，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN， ∴MN是△ABC的中位线， 过点P作PD∥AC， ∴∠BAC＝∠BPD， 又∵∠ABD＝∠PBD， ∴△PBD∽△ABC， ∴，即， ∵， ∴AQ＝PD， ∵PD∥AC， ∴四边形APDQ是平行四边形， 连接AD， ∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形， ∴AO＝OD， ∴O是AD的中点， 过A点作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E， ∴∠AHD＝∠OED＝90°， ∵∠ADH＝∠ODE， ∴△ADH∽△ODE， ∴， ∵AB＝120m，AC＝BC＝180m， ∴AH为定值， ∴OE为定值， 则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆⊙T， 当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC的值最大， ∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC+∠OBF， 故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC， 如图，连接CM，作MK⊥BC于点K，O'L⊥BC于点L，连接O'T，LT， ∵⊙T与MN相切于点O'， ∴∠MO'T＝90°， ∵O'L⊥BC于点L， ∴∠BLO'＝90°， ∵MN∥BC， ∴∠MO'L＝90°． 故O'，L，T三点共线， ∴∠BLT＝180°﹣∠BLO'＝90°，则BC⊥LT， ∴， ∵BC＝AC＝180m，M是AB的中点， ∴，CM⊥AB， ∴， 即， ∴BK＝20（m）， ∴， ∵点M是AB的中点M，O是AD的中点， ∴MO是三角形ABD的中位线， ∴BD＝2MO'＝140m，， ∴． 28．（2025•河北）综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线． [模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分． [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接AC，BD交于点O； ②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F； …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边BC上截取BG＝AB，连接AG； ②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M； ③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN． [探究]根据以上描述，解决下列问题． （1）图2中，矩形ABCD的周长为 　10　 ； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求． [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． （4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH． ①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝1，AD＝4， ∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝4， ∴矩形ABCD的周长为2（AB+CD）＝2×（1+4）＝10， 故答案为：10； （2）解：如图所示，以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，线段MN即为所求， ∵EF⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∵EM＝EO， ∴△EOM是等腰直角三角形， ∴∠OME＝45°， ∵矩形ABCD的对角线交于点O， ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AON＝∠COM， 在△AON和△COM中， ， ∴△AON≌△COM（ASA）， ∴AN＝CM， ∴DN＝BM， ∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN， ∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分； （3）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∵BG＝AB， ∴∠AGB＝45°， ∵AN＝MG， ∴四边形AGMN是平行四边形， ∴MN∥AG， ∴∠NMG＝∠AGB＝45°， ∵直线l是GC的垂直平分线， ∴GM＝CM， ∴GM＝CM＝AN， ∴BM＝BC﹣CM，DN＝AD﹣AN， ∴BM＝DN， ∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN， ∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴直线MN符合要求； （4）解：①如图所示，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC， ∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点， ∴点O是AC的中点， ∴， ∴AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1， ∵∠PQC＝45°， ∴△PQK是等腰直角三角形， ∴PK＝QK＝1， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠APQ＝∠CQP＝45°， 在△AOP和△COQ中， ， ∴△AOP≌△COQ（AAS）， ∴，OT＝QT， ∴CQ＝CT+QT＝2， ∴BQ＝BC﹣CQ＝4，∠BQH＝∠PQC＝45°， ∵BH⊥PQ于点H， ∴∠BHQ＝90°， ∴△BHQ是等腰直角三角形， ∴HG＝GQBQ，， ∴； ②如图所示，连接BD交PQ于点O， ∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴点O为BD和PQ的中点， ∵BH⊥PQ， ∴点H在以BO为直径的⊙L上，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大， ∵AB＝1，AD＝4， ∴， ∴， ∴， 过点L作LT⊥BC， ∴∠BTL＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴TL∥CD， 则△BLT∽△BDC， ∴， ∴， ∴BT＝1， ∴CT＝BC﹣BT＝4﹣1＝3， ∴， ∵CH是⊙L的切线， ∴∠CHL＝90°， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$