湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二暑假数学提升系列讲义一（1.1-1.5）

2025年上学期高二暑假提升系列一 §1.1集　合 重要结论： 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有个　　　子集，　　　　个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔　　　　，A∪B＝A⇔　　　　　　. 4．∁U(A∩B)＝　　　　　，∁U(A∪B)＝　　　　． 好题赏析： 已知，若，使得成立，则实数的取值范围为 . §1.2　常用逻辑用语 重要结论： 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 好题赏析： 已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . §1.3　等式性质与不等式性质 重要结论： 1.易用的性质： 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 2.基本不等式的变形： (1)ab≤2(a，b∈R)． (2)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 好题赏析： （多选题）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． §1.4　一元二次方程、不等式 重要结论： 一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 好题赏析： (多选题)已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． §1.5　柯西不等式与权方和不等式 重要结论： 1．二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 2．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)． 3.二维形式的权方和不等式 已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)． 好题赏析： 实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－5 B．－6 C．3 D．4 2025年上学期高二暑假提升系列一参考答案 §1.1集　合 重要结论： 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 好题赏析： 已知，若，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由函数在上单调递减，则函数在上单调递减，即，由函数在上单调递增，则函数在上单调递增，即，由题意可得，则，解得. 故答案为：. §1.2　常用逻辑用语 重要结论： 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 好题赏析： 已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，. §1.3　等式性质与不等式性质 重要结论： 1.易用的性质： 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 2.基本不等式的变形： (1)ab≤2(a，b∈R)． (2)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 好题赏析： （多选题）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． 【答案】BCD 【详解】A：由，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为，A错； B：，当且仅当时取等号，即的最小值为，B对； C：若，显然，则；若，时，不成立， 所以是的充分不必要条件，C对； D：取，可得，D对. 故选：BCD §1.4　一元二次方程、不等式 重要结论： 一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 好题赏析： (多选题)已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD §1.5　柯西不等式与权方和不等式 重要结论： 1．二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 2．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)． 3.二维形式的权方和不等式 已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)． 好题赏析： 实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－5 B．－6 C．3 D．4 【答案】　A 解法一：∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12， ∴＋＝1，∴(16＋9)≥(2x＋y)2， 即－5≤2x＋y≤5， 当且仅当3x＝8y， 即时，左边取等号， 当时，右边取等号， ∴z＝2x＋y的最小值是－5. 解法二：因为3x2＋4y2＝, 所以，故， 所以z＝2x＋y， 所以当时，等号成立，所以 z＝2x＋y的最小值为－5． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$