第二章 圆锥曲线(拔高练)-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

进阶 突 第二章 圆锥曲线 §1椭圆 知识点一》椭圆及其标准方程 1.(2025·江西上饶高二月考)已知椭圆C:g =1的左右焦点分别为R,P,过点上作垂 8 直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点， △AF,F2,△BF,F2,△F,AB的内切圆圆心分别 为01,02,03，则△0,0,03的周长是(） 4√10+12 52+24 A. B. 9 9 C. 510+24 4√/10+24 9 D. 9 2.(2025·江西赣州高二月考)“若点P为椭 圆上的一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则 椭圆在点P处的切线平分∠F,PF2的外 角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆 C山，点P是椭圆上的点，在点P处 的切线为直线l,过左焦点F,作1的垂线， 垂足为M,设点M的轨迹为曲线E.若Q是 曲线E上一点，已知点A(4,0),B(5,4),则 21A01+BQ的最小值为 知识点二》椭圆的简单几何性质 1.(2025·江苏徐州高二月考)设椭圆C:。 2=1(a>b>0)的左、右顶点为A1,42,左、在 焦点为F1,F2,上、下顶点为B1,B2关于该 椭圆，有下列四个命题：甲：IAF,」=1； 乙：△B,F,F的周长为8；丙：离心率为 2 丁：四边形A1B,F2B2的面积为33. 02黑白题数学|选择性必修第一册·BS 如果只有一个假命题，则该命题是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.（2024·陕西西安高三一模)已知农历每月 的第(t+1)天(0≤t≤29，t∈N)的月相外边 缘近似为椭圆的一半，方程为 r'cos 29 1,其中r为常数根据以上信息，下列说 法中正确的有 ( ①农历每月第d(1≤d≤30，deN.)天和第 30-d天的月相外边缘形状相同： ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的 最大值为2r: ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值： ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在 区向（停1）内 A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 3.(2025·江苏南京高二月 考)某中学开展劳动主题教 育活动，某学生设计的一款 如图所示的“心形”工艺品 获得了“十佳创意奖”，该 “心形”由上、下两部分组成，并用矩形框 (虚线)进行镶嵌，上部分是两个半径都为 的半圆，AC,BD分别为其直径，且AB=BC= CD,下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的 离心率叫做“心形”的离心率 (1)若矩形框的周长为12，则当该矩形框面 积最大时，r= (2)若=1，图中阴影区域的面积为”+3 2 则该“心形”的离心率为 4.(2025·江西南昌二中高二 月考)机场为旅客提供的圆 锥形纸杯如图所示，该纸杯 母线长为10cm,开口直径 为6cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸 杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时， 椭圆的离心率等于 §2双曲线 知识点一》 双曲线及其标准方程 已知a>0,设双曲线T,-yY=1的左、右焦点 分别为F,F2,点M在T的右支上，且直线 F,M的一个法向量为n=(a,-1).若 4,则a= ∠FME= 知识点二》双曲线的简单几何性质 1.已知实数x,y满足x|x1+y1y1=1,则 1x+y-41的取值范围是 () A.[3,4) B.[22,3] C.[4-√2,4)》 D.[22-1,22) 2.(2025·陕西安康高三月考)在平面直角坐 标系x0中，A为双曲线C =1(a>0, b>0)的左顶点，M为双曲线C上位于第 象限内的一点，点M关于y轴对称的点为 N,记∠MAN=a,∠MOx=B,若tan atan B= 3,则双曲线C的离心率为 A.2 B.√5 C.2 D.√5-1 3.光线从椭圆或双曲线的一个焦点发出，被曲 线反射后会经过另一个焦点，如图①，一个 光学装置由有公共焦点F,F2的椭圆T与 双曲线2构成，T与2的离心率之比为3： 4,现一光线从左焦点F,发出，依次经2与 T反射，又回到了点F,历时t1秒：若将装 置中的2去掉，如图②，此光线从点F,发 出，经T两次反射后又回到了点F,历时 秒，则上 2 §3抛物线 知识点一》抛物线及其标准方程 1.(2024·北京人大附中高二期末)如图所示 的圆锥中，高P0=4,底面的直径AB=8. M为母线PB的中点.若平面a经过OM且 垂直于轴截面PAB,根据圆锥曲线的定义， 可以证明此时平面α与圆锥侧面的交线为 抛物线的一部分，则下面四个结论中错误 的是 A.M为抛物线的顶点 B.直线OM为抛物线的 对称轴 C.O是抛物线的焦点 D.抛物线的焦点到准线的距离为2√2 2.(2025·浙江杭州高二期中)已知抛物线C: =2(p>0)的焦点到y=2的距离为1， M是抛物线C上的动点，M到)=-2的距离 与IMPI之和的最小值为1，则点P的轨迹 围成的面积是 () 4m-3 T A 3 B.3 ”g D.4m 进阶突破·拔高练03 知识点二》抛物线的简单几何性质 1.已知抛物线y=子和y=石2+5所围成 的封闭曲线E如图所示，点M,N在曲线E 上，给定点A(0,a),则下列说法中不正确 的是 0 A.任意a∈(0,5)，都存在点M,N,使得 IAMI=IANI B.任意a∈(0,5)，都存在点M,N,满足这 对点关于点A对称 C.存在a∈(0,5)，当点M,N运动时，使得 IAMI+IANI≤10 D.任意a∈(0,5)，恰有三对不同的点M, N,满足每对点M,N关于点A对称 2.(2025·江西宜春上高二中高三期中)已知 圆M:(x-4)2+y2=4,抛物线C:y2=2px(p> 0).若对于C上任意一点N,使得对圆M上 的任查两点A,B,总有乙ANB≤行，则p的 取值范围是 §4直线与圆锥曲线的位置关系 1.点P在直线l:y=x+p(p>0)上，若存在过P 的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两 点，且21PA1=IAB1,则称点P为“M点”， 那么下列结论中正确的是 A.直线L上的所有点都是“M点” B.直线l上仅有有限个点是“M点” C.直线l上的所有点都不是“M点” D.直线1上有无穷多个点（但不是所有的 点)是“M点” 04黑白题数学|选择性必修第一册·BS 2已知A(-2,0),B(2,0),若曲线（信+6） (怎)=0(a>0,6>0)上存在点P满足 IPA1-IPBI=2,则~的取值范围是 3.(2025·江西宜春高二期中)中国古典园林 洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文 化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建 筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如 图①所示的一种椭圆洞窗，由椭圆C,和圆 C2组成，F,F2是椭圆的两个焦点，圆C2以 线段FF2为直径， # 2 83 (1)设计如图①所示的洞窗，椭圆C1的离 心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为 2分米. ①从F,射出的任意一束光线F,A照在 左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上， 如图②所示.建模小组的同学用长绳拉 出椭圆洞窗的切线AB,B为切点，然后 用量角器探究猜测∠AF,B是定值，请 帮他们证明上述猜想； ②建模小组的同学想设计一个如图③ 的四边形装饰，满足：点P是C,上的一 个动点，P,Q关于原点对称，过P和Q 分别做圆的切线，交于点R,S,求四边 形装饰PRQS面积S的取值范围. 4.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个 椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲 线.若双曲线C,与椭圆C2是“共轴”曲线， 45 但椭圆C:+=1(0<b<3),e%2= 9 (e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率).已知 点M(1,0),点P为双曲线C1上任意一点， (1)求双曲线C,的方程. (2)延长线段PM到点Q,且IPMI=21MQI, 若点Q在椭圆C2上，试求点P的坐标， (3)若点P在双曲线C1的右支上，点A,B 分别为双曲线C,的左、右顶点，直线 PM交双曲线的左支于点R,直线AP, BR的斜率分别为kAP,R·是否存在实 数入，使得kAP=AkR？若存在，求出 入的值：若不存在，请说明理由。 5.(2025·湖北武汉华师一附中高三月考)已 知抛物线y2=4x,顶点为O,过焦点F的直 线交抛物线于A,B两点 (1)若IAB1=8,求线段AB中点到y轴的 距离； (2)设点G是线段AB上的动点，顶点O关 于点G的对称点为C,求四边形OACB 面积的最小值： (3)设D为抛物线上的一点，过点D作直线 DM,DN分别交抛物线于M,N两点，作 直线DP,DQ分别交抛物线于P,Q两 点，且DM⊥DN,DP⊥DQ,设线段MW 与线段PQ的交点为T,求直线OT斜率 的取值范围！ 进阶突破·拔高练5(2)存在.设C(m,n),由题意可知点C到直线xcos8+(y+6)sin8+ 6反=0的距离为与8无关的定值。 即4 Imcos4(n+6)s血+6,5为与B无关的定值， √sin'0+cos'0 所以m=0,n+6=0.故C(0,-6),此时，d=62, 所以C的方程为x2+(y+6)2=72 设P(x,y）,则x2+(y+6)2=72,即x2+y2=36-12y, 假设y轴上存在定点M.N.使得P-2,设M(0,方)，0,2 则Pw2+(r27-21+-2+6)y7+36.8 1PN12x2+(y-2)2x2+y2-2y2*3-2(y2+6)y*+369' 8 y1+6=(y2+6)× 91 所以 得2支-4 解得 8 7+36=(号+36)×9 (2=3,2=-15, 所以M(0,2),N(0,3)或M(0,-14),N0,-15). 第二章 圆锥曲线 §1椭圆 知识点一椭圆及其标准方程 1.A解折：由椭圆c号片1，知=9=8，所以-山 所以F,(1,0),F,F21=2=2,所以过F2作垂直于x轴的直线为x= 1,代人c中第得A,学)(，)》 由题知△AF,F2,△BF,F2的内切圆的半径相等，且1AF,1=|BF,1, △AF,F,△BF,F:的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P 设△AF,F:内切圆的半径为，在△AF,F2中，由等面积法得 (a,+a+)=宁FML 由椭圆的定义可知，A,1+1A,1=2a=6,由1A,=号，所以 w1号房以宁62宁0号解得=号，所以1所- 2 因为F,F2为△F,AB中∠AF,B的平分线，所以O一定在F,F2上， 即0，一定在x轴上，令圆0半径为R 在△MB中，由等面积法得子(1A1+1B1+1AB1)·R= 子R,MB1,所以宁×12，R=x2x5解得R= 9,厨以 10-101-1所1-号-号号所以10a1 0I0,-√号+(2g所以△0,00， 的周长是2×2而，44而+12故选A 93 9 2.5解析：由椭圆C方程兰，士=1，知a=22 84 选择性必修第一册·BS D 2 如图①，延长F,M,F,P交于点N,由题意可知∠FPM=∠NPM,又因 为PM⊥F,N,则M为FN的中点，且IPFI=IPWI,所以|F,N1= IPNI+1PF2I=IPF+IPF2I=2a=42,又因为0为FF2的中点， 则1o1=之B,M=之x47=25. 故点M的轨迹E为以0为原点，2∑为半径的圆，圆的方程为x2+ y2=8 设在x轴上存在定点T(m,0),使得圆上任意一点Q(x,y),满足 10m-号0，由4(，0.则m可号-4可，化 简得x2+y2-4(m-2)x+2(m2-8)=0. 又因为x2+y2=8,代入得4(m-2)x-2m2+8=0,要使等式恒成立，则 {m-2=0,。即m=2,所以存在定点T(2,0),使圆上任意一点Q满 (8-2m2=0, 足10m=号10M1,则21401+1B01=10Tm+10B1≥171，当Q,B,7 三点共线(B,T位于Q两侧)时等号成立. 由8(5,4)，则1B=5-2+(4-0=5,所以21401+1B01 5,当Q,B,T三点共线(B,T位于Q两侧)时等号成立， 如图②，连接BT,线段BT与圆0的交点Q'即为取最值时的点Q,此 时取到最小值5故答案为5. 知识点二椭圆的简单几何性质 1.B解析：依题意，作出椭圆C的图象，如图， 若甲为真命题，则1A,F,1=a-c=1:若乙为真 命题：则△B,F,F的周长为2a+2c=8,即 ae=4:若丙为真命感，则离心率为二子 a 若丁为其命题，则四边形A1B1FB2的面积为 (a+c)b=35」 5 a=- 当印、乙都为直时，有 a-e=l解得{ 2 则6■√云2-2■ la+c=4, √侵(2，时a06=428 31 a 35,则丙和丁都是假命题，所以甲、乙不可能同时为真，且必有一真 一限，故丙和丁都为真； a-c=1, fe=1, 若甲、丙和丁为直，则 2' 解得{a=2,此时满足a2= b=3, (a+c)b=35, 62+c2,且a+e=3≠4，符合题意： 4 a+e=4, c3 1 8 若乙、丙和丁为真，则 解得a=3,此时a2≠2+c2, (ate)b=33. 33 = 4 即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立综上，乙命题为假命题故 选B. 2.D解析：由方程 =1(0≤t≤29，teN)知， cos2 2T 29 黑白题108 x2 ①当t=d-1时，椭圆方程为 =1,当t=29-d时 [-] 2 椭圆方程为 =1,化简为 [s -=1,所以①错误： ②月相外边缘上的点到篇圆焦点的距离的最大值为 n*P(罗)+1（罗） 血（罗）)因为0≤≤9eN所以m(罗)1，所 以(+n(行))）2，所以②错误： ③月相外边缘的离心率为：= n(爱) m(g) 而0≤t≤29，teN,所以当=7时，e= (罗)川m(g) 最大，即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确： ④农历初六至初八，即6≤1+1≤8时，即5≤t≤7， 此时月相外边缘离心率： 血（）≤血（）川 血货1所 <e<1,放④正确 综上所述，正确的有③④，故选D. 3.(1)1解析：设矩形的宽为，则长为6-x,矩形面积S=x(6-*)=- (x-3)2+9,xe(0,6),当且仅当x=3时，矩形框面积最大为9，所以 r=l. ·解析：如图，以AD所在直线为x轴，AD的中垂线为y轴建 立平面直角坐标系，直线EF交x轴于点M(0,O), 设2a为照圆长轴，则r(）,a(子0）.c(行0)所以 圆8：（宁）+=1，圆c:(宁）广=1，联立两圆方数得 解得百所以E(0 y= 2）∠EB0=，所 2 以扇形ABE面积S-号又因为R△MOB 3 △Wu,所u兴-华 。,和 2 A BMOC D 3 2 3/3 0= 2(2a+w3) 1 SAAMF+SAAME=SAAMF+SAROE-SAMOE= W·a+B0·0B-M0. 参考答案 [(}小9]小[}厚 ()门停解得。店又因为6：号所以c=v 21 则e=C1 a 2 4.5/43 解析：如图①所示，设∠BCD=a,在Rt△ACE中，IAC1=10, 43 1C81=3,放ma= 又因为D为AC中点，所以CD=5,由余弦定 理，1BD12=1CD12+1BC12-21CD1·1BC1cmsa=25+36-2×5×6× 0=43,即1BD1=v4⑧， 3 D D ① 2 设椭圆中心为O,作圆维的轴截面AMN,与底面直径BC交于E,与椭 园交于P,Q,连接AE交BD于G,以点O为原点，DB为x轴，建立直 角坐标系（如图②降示），过E点作H∥BD,则1B阳1=宁8D= ，C=Da=1c1=2则Ml=0-=5 V43 2=2 易得△ADG△AHE,则MG-1AD-2 LAEI IAHI 3 又△4QA4N得1PQl:号1N-号-4，DG-宁18 从周10c11n1-G1:..要，则 23 we(2) 不锁设祸页方程为号茶-1(o>60),起。：至和点P坐标代以 .y2 2 方程，解得6=32 4395 则==√故e= 25/43 v43 43 故答案为3y4图 43 2 §2双曲线 知识点一双曲线及其标准方程 2 解析：由于直线F,M的一个法向量为n=(a,-1),直线F,M的方 向向量与向量n垂直，可设向量d=(1,a)是直线F,M的一个方向向 量，可得直线F,M的斜率为a(a>0),且点M在的右支上，得 tan LMF F2 =a,sin LMF F2=- a +a1 设1F,M1=1,由双曲线的定义可得1F,M1=t+2a,在△F,MF2中，由正弦 2c,即， 定理可得nLMF,F:sn4 2+a,解得t=25a,由 √2 √1+m 余弦定理可得4=户4(e+2aP-2+2a)×号，代人=2，解得a (质维己个去故答案为号 2 黑白题109 知识点二双曲线的简单几何性质 1.C解析：由xx1+ylyl=1,得当x≥0，y≥0时，方程为x2+y2=1,图 形为单位圆在第一象限的部分（含端点）：当x≥0，y<0时，方程为 2-yY2=1,图形为双曲线x2-y2=1在第四象限的部分；当x<0,y≥0 时，方程为-*2+y2=1,图形为双曲线2-x2=1在第二象限的部分：当 x<0,y<0时，方程为一x2-y2=1,设有意义，不表示任何图形.作出 xlx+yly=1的图形，如图，设点A(x,y)为曲 线xIx+ylyl=1上的一个动点，则A到直线 、x+-4=0 +y4=0的距离为d=y41 由图可知，当点A在圆心0到直线x+y-4=0 的垂线段上时，即4（臣，）时，4= (2·2 x+=0 2 -4 22 -=2√2-1，达到最小值 又因为双曲线x2-y2=1、y2-x2=1的一条渐近线方程为x+y=0,所以 d小于直线x+y=0与+y-4=0的距离，而这两条直线的距离为 =2w5,故22-1≤d=+y41<22,解得4-2≤1x+y-41<4, 2 即|x+y-41的取值范围为[4-√2,4).故选C 2.A解析：设M(0%),>a,o>0,则N(-0%),A(-a,0),。 1(o>00则方-号G-@. 6 则∠MAN=∠NAx-∠MAx=a,所以tana=an(∠NMx-∠MAx)= tan∠NAx-tan∠MAx oaa名，m∠M6-0 1+a∠M·m乙MM,tLMAr=6-0。力 xota Yo yo 2x0Y ,所以ana 80at。.2-号 a+xo ②， 1+.01+6 a-xp a+xo 2- -220 将代人2得ma器·六mB=mLw0-号 因为tan atanB=3,所以2次2.x力。-26 a2-2%6a2-3=2=3a2,所以双 曲线的离心率为e=片√小+学 =2.故选A 3.8解析：由椭圆定义得IBF,1+1BF2I=2a1①，1AF2I-1AF,1= 2a2②，①-②得IBF,I+IAF,I+IBF:I-IAF:I=IBF,I+IAF,I+ 1BA1=2a1-2a2,即△ABF,的周长为2a1-2a2,由椭圆定义知△CDF 的周长为41，因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点，所以 生。，4如2=22=8故答案为8 42a-2a19191 3 4 §3抛物线 知识点一抛物线及其标准方程 1.C解析：如图①，由题可得圆锥的母线PA=PB=√4+4= 4N2,AB=8,所以AB2=PA2+PB2,所以PB⊥PA. 连接OM,在△PAB中，O为AB的中点，M是PB中点， 所以OM为中位线，所以PA/OM,PB⊥OM,所以OM=2PA=22. 设平面a交底而圆于CD,则CD=AB=8.以M为原点，MO为x轴建 立坐标系如图②所示，则0(22,0)，D(22,4). 可设抛物线y2=2x,把D(22,4)带入抛物线方程可得p=2√2，所 以抛物线方程为y2=42x,焦点F(2,0),故A,B选项正确； 选择性必修第一册·BS C选项错误，所以焦点到准线的距离为22，D选项正确.故选C y P D 0 ① ② 2A解析：地物线C:2=2的焦点F(0,号），由F到=的距离 为1，得号1，面>0，解得p=3,则抛物线c的盘点F(0, 名）准线方程为子直线与准线一的面离为1 由M到y=的随离与1M之和的最小值为1，得M到准线y=子 3 的距离与引MPI之和的最小值为2，因此1MF1+|MPI的最小值为2，显 然IMFI+IMPI≥IPFI,当且仅当点M在线段PF上时取等号，则 1PF1=2,如图.此时点P的轨迹是以点F为圆心，2为半径的圆， 由点M在线段PF上，得点M在圆内，直线 与y2 y=2 的距离为1，当点P在直线 =宁上，点M在直线)=宁及下方的抛物 =-03 】时，M到 线上，且MP垂直于直线y= =-1.5 y=宁的距离与1MP之和为1，符合题意，因此点P的轨迹是以点F 为圆心，2为半径的盟在直线y=】及下方的G与弦AB组成 而点F到直线B:y=宁的距离是1，则∠AFB=2x号 2,所以点P 的轨连围成的面积等于扇形AFB的面积破去△FPB的面积，即× 2m_4n5故选A 行o-on号号 知识点二抛物线的简单几何性质 1。D解折：因为抛物线y=和y=G245的对称轴都为y轴，所 以封闭曲线E关于y轴对称. 对于A,任意a∈(0,5)，在曲线E上取关于y轴对称的两点M,N,而 点A(0,a)在y轴上，有1AM川=IANI,A正确： 对于B,对每个a值，过点A垂直于y轴的直线与曲线E的交点M,N 都关于点A对称，B正确： 对于C联立y42与1625解得{=4或取=1， y=4, 即4(0,1)，则范萄线y=,即2=句的焦点为0，)，准线方程 为y=-1,点M,)在y=子2(0≤y≤4)上运动时，0≤：≤4， MAI=s+1e[1,5], 1 抛物线y=-2+5可由抛物线y=62向上平移5个单位而得，】 地物线y三-6，即产-16y的焦点为(0，-4)，准线为y=4,则抱 物线65的焦点为0，)，准线方程为y=9 点M,)在=G2+5(4≤≤5)上运动时，4≤4≤5，M1 9-se[4,5],因此当点M,N运动时，1≤IMA|≤5,1≤1NA|≤5，恒 黑白题110 有1AMI+1AN1≤10，C正确； 对于D,取a=1,即4(0，)，直线y=1与抛物线y=的两个交点 关于点A对称，在此抛物线上关于点A对称的两点就只有一组，在抛 物线=+5上不存在两点关于点4对称，另外关于点A对称的 两点影分别在=宁和)=古45上，不物令(，子)）此 点关于点4对陈的点(，2-宁）色在)=心5上，面方 程2-：石45，即合3无都，则此时不存在关于点4对 称的两点分别在两条抛物线上，D错误故选D. 之24.+解析：如图，设直线NC,ND分别与圆M切于C,D点) 设∠CNM=a,因为对于抛物线C上任意一点N,使得对圆M上的任 意两点A,B总有乙AWB≤，所以LCD≤号即a≤号，所以m 4 3 设N(0,%),(≥0)，则后=2a,又M(4,0),所以1MN1= √(0-4)产+后=√6+(2p-8)0+16, 设y=+(2p-8)+16,对称轴x=4-p,4=(2p-8)2-4×16=4p(p-8), ①当4-p≤0，即p≥4时，y在和=0处取得最小值，此时1MN1=4≥ 4满足题意， ②当0<p<4时，若4≥0，在0∈[0，+）上 y ymm=0不合题意，所以4<0，即4p(p-8)<0,解 得0<p<8, 当x0=4-p时yn=(4-p)2+2(p-4)(4-p)+ 0 16=8即-p,即1MN1=V8p-可≥4，化简得 3 3p2-24柳+16≤0，解得2-46 ≤12+46，所以2-4 -Ep<4 3 3 旅上p26故答案为[246，）】 3 §4直线与圆锥曲线的位置关系 1.A解析：由题意可知，将直线1：y=x+p和抛物线y2=2r联立消去 x整理得y2-2+2p2=0. 此时该方程4=4p2-8p2=-4p2<0,即该方程无解： 可得直线：y=x+p和抛物线无交点，过P的直线交抛物线于A,B两 点，由几何关系可知，A,B在点P的同侧，如图所示 不妨设P(,+P),A(4,ya）,B(xm, yr),由2IPA1=1AB1可得2Di=A, 7 =+ 所以B(3x4-20,3y4-20-2p. 又因为A,B在抛物线上，所以 7=2m4, 消去 ((3y4-2x0-2p)2=2p(3x4-2xo), x4并整理得2x02+6(P-y)0+3y42+2p2-6py,=0,此时关于x0的一 元二次方程4=36(p-y4)2-8(3y2+2p2-6y4）=12y2-24y4+ 20p2=12(yAp)2+8即2>0恒成立，即0恒有解， 也就是对于直线I:y=x+P上任意一点P,过P的直线与抛物线 y2=2r交于A,B两点，都有21PA=1AB,所以A正确故选A 2.(0.5)解析：若A(-2,0).B(2.0),且IPA1-1PB1=2<1AB1=4,则 点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上，且2a=2,c=2,∴.a=1,b= 参考答案 4=5,双曲线方程为2号=1(0)，其斋近线方程为y 3x,则曲线 怎)（任）=0(a>0,b>0)上存在点P满 足1P-1P81=2,等价于y=±名：与双曲线2-号=1(s>0)相 a 交0c<5.故答案为(0，同. 3.(1)解：由题意可知，椭圆满足b>c>0-62>c2→a2-c2>c2-a2> （②)①证期：由渴是数据可得2山=4=2故G号号1,5(-1， 0),墙壁所在直线为x=-4, 易知直线F4斜率存在，设FA:y=k(x+1),可得A(-4,-3k). 设切线A8:y+3张=m(x+4),联立{3+4少：2，、整理得(3+ (y+3k=m(x+4), 4m2)x2+8m(4m-36)x+4(4m-3)2-12=0, 根据相切可得4=64m2(4m-3张)2-16(3+4m2)[(4m-3)2-3]=0. 则4m2(4m-3)2-(3+4m2)(4m-3张)2+3(3+4m2)=0,则 (4m-3k)2=3+4m2>0, (4n-3h)24m-3' ⅓-4m(3k-4m)+(4m-3)(3+4m3. 3+4m2 12km2-16nm3+12m+16m3-9k-12km212m-9k_3(4m-3k)。3 3+4m2 3+4m2(4m-36)24m-3k -3),F店F=0,故FB1F4,则∠aB=受 ②解：设动点P(0),则Q(-,-y%),不妨设过P(如0)点的两 条切线法向量为m=(1,6),过Q(-0,-yo)点的两条切线法向量 为=(a2,b2),均为非零向量，故切线方程为a1(-)+61(y-y0)= 0和4(+)+，(y+)=0,则满足+n-1和 √@+b latotbYo1. √a+ 由此可知两组切线分别对应平行，四边形PQS是平行四边形，如 图，过圆心做一组对边的垂线，垂足为H,G,由于P,Q关于原点对称 故R.S也关于原点对称，又OR=OS,OG⊥PR,OH⊥QS,故△ROC≌ △SOH,故PR=PG+RG=PK+KS=PS,故平行四边形PRQS是菱形 下面研究菱形PRQS的面积： 过0作PR的垂线GH,则GH=2,由(i)可知 ∠POR=年，故△POR△PG0, 2 设0P=d则有学VPm子，解得PR= - 则2P √-1 其中P=6=3+号心的取值范图是13,4。 24 设d=t,S= 2一在[3,41上是单调函数，枚8的取值 I1, 范是[3，] 黑白题111 四方法总结 圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： (1)利用圆维曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参 数的取值范圈： (2)利用已知参数的范图，求新的参数的范围，解这类问题的核心是 度立两个参数之阿的等量关系： (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系建立不等式，从西求出参数的取做范国： (5)利用求函数值域的方法将特求量表示为其他变量的函数，求其 值城，从而确定参数的取值范国。 4,解：()根据题意得双曲线G1:9 x22 =1(0<b<3). 因为6的：9x945解得6=1 3 3 9 所以双曲线G的方程为号子1 (2)由(1)知，C1:9y=1,C2:g+y2=1, 设P(1,1),Qx2z), 已知M(1,0),又1PM=2IMQ1,所以与=2n=21 3-1 3-1 (' 2 由点Q在椭圆C上，则 又点P为双曲线C上任意一点，则)片=1， (x1=6, =-3 联立两式，解得 或 =35,y1=0, 所以点P的坐标为(6，-√3)或(6，√3)或(-3,0). (3)当点P,B重合时，A∈R;当点P,B不重合时，存在实数A= 子，使得5w之e,理由如下： 当点P,B重合时，由题意k=0,则ke=0,则A∈R 当点P,B不重合时，k≠0，设直线PR的方程为x=y+1,P(1, x=y+1, ),R(3),由 9y2 ,得(2-9)y2+2y-8=0. 因为双曲线的渐近线方程为y二±了 又直线PM交双曲线的左支于点R,交右支于点P,所以t∈(-3. 3) 由书达定理得1+y3= -24 -8 -93= 2-9 y y1 所以 kB 4×2。二2 Y3 y3 y1y3+4y3 -3 3-2 -8 -92 -8t-2y1(2-9)_1 8+4 -2 2-9 2-9 -16-4y(2-9)2=A, 所以存在实数A=子使得w一宁r 1 5.解：(1)因为过焦点F的直线交抛物线于A,B两点，且IAB1=8,设 A(x1),B(,22),则由抛物线的性质可得1+3p=8,又由题得 P=2,所以与书=6，所以线段AB中点到y轴的距离为3 2 (2)如图①，因为顶点0关于点G的对称点为C,所以0和C到直 线AB的距离相等，所以5=25Am=2×子10F11万 yI=10FIlya-1, 选择性必修第一册·BS 由题意可知直线AB斜率存在时不为0，焦点F(1,0),所以可设直 线AB方程为x=m+1,联立=4红 (x=my+1, →y2-4y-4=0,则y12= -4,为+力2=4m,所以Sw边形04cs=10F11y2-方1=12-方1= √(y2y1)2-4y12=√16m2+16=4√m+1,所以当m=0时，四 边形OACB面积取得最小值为4. ①D ② (3)由题可设D(a2,2a),(xw,yr),N(w,yx),且直线DM,DN 的斜率存在且不为0，所以可设直线DM的方程为y-2a=k(x- a),联立2a=(x-a2), y2=4x y-4y8a-42=0,所以yw+2a= kx+k 会所以，冬2a,设直线DN的方程为y一2加：名)，联 1 立2a=言（sa)+4的--40，所以w*2a-4, （y2=4x 所以yw三-4k-2a, 若2a-4-2-1所以兰2a-4-2n即wx,所以 直线MN斜率不为0，当直线MN斜率存在时，直线MN的方程为 n.w_4(xw） 4(x-xw】 sx(ww)m,所以y=4,】 Yu+yy YN=- yw+灯w yu+yN 4 k-2a-4k-2a 红-4k-2a+2n2+e5.-4k-2k-2a（1--.-2ar4-2】 1-ak-k2 1-ak-k2 1-ah-k2, 所以直线MW恒过定点(4+a2,-2a),即T(4+a2,-2a),所以直线 0T的斜米为切二所当a0时如0， 2 2 当a>0时，0>km= 4 4 子，当且仅当子a即 a -×a a=2时等号成立： 2 4 ,当且仅当 1 当a<0时，0<kar= a-a 】x(-a 4:-a即a=-2时等号成立. 综上，当直线MN斜率存在时，直线OT斜率的取值范围为 2 ] 当直线MN斜率不存在时，设M(2,2),则N(2,-2),所以D成， 0=(2-a2,2-2a）·(2-a2,-2-2a)=(2-a2)2-4(2-02)=0, 解得子=4+a2,所以直线MN的方程为x=4+a2,所以直线MN恒过 定点(4+a2,-2a). 条上所述：直线T斜米的取值葡围为[宁] 白题112