第二章 1 椭圆 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

§1阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 1.(2025·河南南阳高二月考)已知方程 5.(2025·江西南昌高二期中)已知0为坐标原 m-2 =1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实 点，P是椭圆B:。家1(a>b0)上位于x轴 4-m 上方的点，F为右焦点.延长PO,PF交椭圆E 数m的取值范围为 ( 于Q,R两点，QF⊥FR,IQFI=31FR1,则椭圆 A.(3,4) B.(2,3) E的离心率为 ( ) C.(2,3)U(3,4) D.(2,4) 2.(2024·广东江门高二期中)在一些山谷中有一 B.V3 D.0 4 种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间 隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳 6.(多选)(2025·河北邯郸高二月考)已知椭圆 朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者 号=1上有一点P,F,R分别为其左、 C:42 耳朵中假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲、乙 右焦点，∠F,PF2=0,△F,PF2的面积为S,则 两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声， 下列说法正确的是 乙经过2s听到第一声，又过3s听到第二声，则 该椭圆的离心率为 A.△F,PF2的周长为4+22 ( B.角0的最大值为90 B号 C. D. 3 C.若S=√2，则相应的点P共有2个 32025·江西新余高二月考)P是椭圆 D.若△F,PF2是钝角三角形，则S的取值范围 是(0,2) 三1(a>b>0)上的一点，4为左顶点，F 7.(2025·江西师大附中高二 焦点，PF1x轴，若am∠PAF=?,则椭圆的离 期中)从椭圆C:云衣1(a> 心率e为 ( b>0)外一点P(xy)向椭圆 B.5-1 C.3 引两条切线，切点分别为A,B,则直线AB称作 2 4.(2025·重庆渝北区高二月考)若椭圆C:。士 点P关于椭圆C的极线，其方程为o a262s1. 现有如图所示的两个椭圆C1,C2,离心率分别 紫=1(a>b>0)的离心率为，左顶点为A,园 为e1,e2,C2内含于C1,椭圆C,上的任意一 P,Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直 点M关于C2的极线为1，若原点O到直线1的 线AP和直线AQ的斜率之积为 ( 距离为1，则e-e2的最大值为 ( B.2 c .2 c 0.4 第二章黑白题039 8.(多选)(2025·广东广州高二期中)古希腊数 10.(2025·江西南昌高二期中)已知F是椭圆 学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等 。山的左焦点，P是椭圆上一动点，者 于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的 A(1,2),则1PA1+1PF1的最大值为 果积如图，已知箱国c =1(a>b>0)的 025江西南昌高二月考)已知桶圆 左、右焦点分别为F,F2,上、下顶点分别为 -1(a>b>0)的两个焦点为R1,R点P,Q 2 B,B,左、右顶点分别为4，A2,0P=了0B, 为C上关于坐标原点对称的两点，且 0丽-0丽，设G的离心率为c,则 IPQI=IFF,l,△PF,Q的面积S≥gPQI, 则C的离心率的取值范围为 A若aR/P,则e号 2卫蜘搭因r学 2=1(a>b>0),b=2,椭圆T B.四边形F,B,F2B2的面积与C的面积之比 为号 的离心率e=2 (1)求椭圆厂的标准方程， C.四边形FB,F,B2的内切圆方程为x2+ (2)A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上 y2=(a2-) 异于A点的任一点，Q点为P点关于原 62 点O的对称点，Q点也异于A点，直 D.设椭圆外阴影部分的面积为S外，椭圆内阴 线AP,AQ分别与x轴交于M,N两点，试 影部分的面积为S内，则S外<S内 问以线段MN为直径的圆是否过定点？ 证明你的结论 (第8题) (第9题)》 9.(2025·江西赣州高二月考)《九章算术》是我 压轴挑战 国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾 (2025·江西景德镇高二期中)已知 股”提出直角三角形的三边边长分别称为 “勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形ABC, 椭圆 ,=1(a>b>0)的左、右焦点 以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为 分别为F,F2,P为椭圆上的动点.若△PF,F2 y轴，建立平面直角坐标系，若以A,B为焦点， 的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为 且过点C的烤顶方程为后活-1，则直角三角 a2 ,则该椭圆的离心率为 2√5+2 形ABC的“勾”“股”之积的最大值为 选择性必修第一册·BS黑白题040轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平而直角坐标系时，树 圆的标准方程为二：1，故C正确：椭圆上的点到编点的距离的 4 最小值为a-c=2-√3，故D不正确，故选C. 7.AD解析：设轨道Ⅱ的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,所以 10F1=a-c=1,Pp1=ate=R.所以aRr.cR对于A,2a=Rt 2 2 放正确：对于B.22v:2(2后 故错误：对于C,由选项B知2b=2√：，若R不变，r越小，轨道Ⅱ的 短轴长越小，故错误；对于D,因为e=二R二R2=1一 2 a R+rR+r 若r不变，R越大，则+1越大，2越小 越大，故正确 R +1 故选AD, 8.ACD解析：对于A,易知a=2.b=√3，c=1,则a+e=3,a-e=1, 故A正确；对于B,P位于椭圆上顶点时∠F,PF,最大，此时 Cos∠FPF2最小，且IF,P=IPF2I=2,IF,F2|=2,故此时△F,F2P 1 为等边三角形，csLF,PF=之，故B错误；对于C,若△F,F,P为直 角三角形，由B知，∠F,PF2≤60°，所以∠F,F2P=90°或∠F2F,P= 90°，不妨设∠F,F,P=90°，则此时P点横坐标p=1,代人C:4+ 号-1，得x:号，故△R,P的面积为分×2x1r:号，放C正 确：对于D,F(-1,0),F2(1,0),设P(x,y),则PF.F=(-1- 1-1,曲号号1得子3号故闻R 42+2-2≤≤2，放网·可e[2,3引，放D正确放选ACD 9.3解析：由已知得a2=4,62=m,则c2=4-m又△F,BF2为等边三角 形，则a=2e,即a2=4c2.所以4=4(4-m,解得m=3.故答案为3. 10.+2 16+8=1解析：如图，连接PF, QF1,因为1OP1=1OQ1,I0F1=I0F2I, 所以四边形PF,QF2是平行四边形， 所以1PFI=1F2Q1,1PF21=1QF1I.又 PF2⊥F,Q,所以四边形PF,QF2为矩 m+n=2a=8, 形设1PFI=m,IPF2I=n,则由题意得 m2+n2=42,解得 1 -mn = 2 (a=4, 1c=22 则6=a2-心2=8，则E的标准方程为三，上 168=1.故答案为 n. 解析：不妨设1AF2I=2m,m>0,则1BF2|=3m,AB=5m,由椭 圆性质可知，1BF,I=2a-3m,IAF,1=2a-2m,以AB为直径的圆过 点F,则在△ABF,中，BF1⊥AF,放△ABF,为直角三角形，根据勾 股定理可知，|AB12=1BF12+1AF112,即(5m)2=(2a-3m)2+ (2a-2m)2.解得a=3m(负值舍去)，故1AF21=2m,1AF11= 2a-2m=4n,1AB1=5m,1F,F1=2c,由余弦定理可得4n= 5m (4m)2+(2m)2-4e2 ,化简可得9m2=5c2,即a2=5c2,解得c= 2×4m·2m a 气故答案为 压轴桃战 ()解：这两个椭圆是相似椭圆”椭圆G:。+子1中，1B吠，正 1=1,MF,1=2,MB1=4+=7:椭圆C1621中，1BF1= 选择性必修第一册·BS IBF2I IAF2I 4-2=2,1A码1=4,1AB1=√16+12=2万，则 B'ETAET 可2，所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相 IABI 1 似椭圆”，且相似比为乞 .1 (2)证明：必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其 “焦顶三角形"的三个对应角相等如图，若∠AB0= 1A01b ∠A'BO',则tn∠AB0 ,an∠A'BO'= IBOI a 。,所以6.6 1A'01b' a-6 1B'07= 。“a又因为e:g a2 a2 a2-b0 ,所以 V a2 e■e'； 充分性：若离心率相等，则二=C m∠0=名·合则∠A0=∠r0:同里， 1A'0'1b'b a tanLAF:0-TF201e ,∠A'F0=1A'0'16 IF01E ,则∠AF20= ∠AFO',所以∠AF,B=∠A'FB',所以两个椭圆的“焦顶三角形”相 似，所以两个椭圆是“相似椭圆”，故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件 是离心率相等 (3)解：设椭圆C1的半焦距为c,因为椭圆C2的离心率为e,椭圆C2与 C1相似，所以椭圆C1的离心率也为e,若△AF,B的面积为S,又 1 ·2c·b=c,= 2b-2c=2(a-e)6,所以△,,的 面积与△M,B的面积之比为2c:(a-c),所以△A,R,的面积为 a-c 因为C,与C2的相似比为k:1,所以△AF,F,的面积与△AF3F的面积 2.c.s 比为2：1，所以△AFF的面积为 a 2e'S (a-e) 2 (1-e')2 §1 阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：因为方程 一=1表示一个焦点在y轴上的椭圆，所 -24- (m-2>0, 以4-m>0,解得2<m<3,所以实数m的取值范围为2<m<3,故 m-2<4-m 选B. 2.B解析：如图，假设甲在F1,乙在F2,直 接传播路径有F,→F2,即1FF2I=2e, 由椭圆的对称性，结合声波的反射定律， 声音经过A点反射，传播路径为F,→ A→F2,即IF1A1+|AF2I=2a:声音经过B 点反射，传播路径为F1→B→F2,即 1FBI+1BF2I=2a,因为c<a,所以 2c<2a,故第一声为F1一→F2,第二声为 F一B-2或→A一F2,因为声音速度恒定，所以2=， 放e=C= 3D解折：PFL:轴1PF=女面AP1a6由m∠P l…g-e0.期2c-2=g21 0,解得e=-1(舍去)或e=2放选D, 黑白题024 4C解折：曲超意知嘴圆6子卡-1(0心>0)的离心半为分，即 吕宁岁号县如离，设P则 Qw.40.故o品6号 (第4题) (第5题) 5.A解析：如图，设左焦点为F1,连接PF,QF,,RF1,由条件知，P,Q 关于原点对称，所以四边形PFQF,为平行四边形.又因为QF⊥FR, 所以四边形PFQF1为矩形.设1PF1=m,则IQF=1PF,I=2a-m.又因 为1QF1=31F所以1FR2,R2a2在 3 RA吸中.，1eWR2期(a-n(a产）广产 ()广，解得ma攻m=2(合去)，故点P为精调的上顶点因 2 为F,P1pF,所以a2+a2=(2c)2,即a2=22,所以离心率e√ 空故活人 6.ABD解析：由已知可得a■2，b=√2，所以c■√2，△F1PF2的周长 为2a+2c=4+2w2,故A正确：因为b=c,所以以1F,F21为直径的圆与 椭圆C相切于上、下顶点，所以0≤90，故B正确：因为S=2× 2w2×h=√2h=√2，所以h=1<√2=b,由椭圆的对称性可知，点P共有 4个，故C错误；因为△PF,F2为钝角三角形，所以△PF,F2中有一 个角大于90°，由选项B知∠F,PF2不可能为纯角，所以∠PF2F或 ∠PF,为能角，当LP所=0时，S最大，将=代人号+号 1,得)=±1，此时△PF,的面积为S=之×2×1=万，所以 △F,PF2的面积S∈(0,2)，故D正确故选ABD, 1D解折：设0.质调G方程后苦1，横医6方程号 1，则有5，名 2 有◆矿】0由极线的定义得直线1的方程为号， a 。=1,又原点0到直线1的距离d= 1 1,化简得号，分」 场 a好b好 √a时的 1②，对比①②式得出a=a吃，b好=，则有=1- =1- =1- 健)（学）2质色 (宁）广-子当收当1后，甲么受时取等号，此时号 3 故选D. 8.ABD解析：由题可得F:(-e,0),F,(c,0),上、下顶点分别为B,(0, b),B2(0,-b),左、右顶点分别为A(-a,0),A2(a,0),因为0P= 丽.丽丽所以n(0,2）n(0,)对于.者 3 .10B,I IOP1 BF2∥PA2,则 c a 参考答案 心率8二子放A正确对于，因边形品5岛，的医积为 2B51·1BB1=2·2·2h=2c,椭圆C的面积52=mab,则 面积比为，2改，2，故B正确对于C,设四边形RB,R,品，的内 S2 Tab T 切圆半径为r,则在R△0F:B:中可得1OF,I·IOBI=1F,BI·r, 所以，=c.6VF- a -,则四边形F,B,F,B:的内切圆方程为x2+ .(G-,故C不正确对于D,由题意知10P,1=10,1:0, 所以子有11RB:号·2a·站=3d,所 以5边形4,5，=3ab-mabc0,而且Sa随形，P2S,=S外-S4< 0,故S%<S内，放D正确故选ABD 9.49解析：设1AC1=x,1BC1=y,根据椭圆定义得x+y=2×√49=14， 2 所以对≤ 2 =49,当且仅当x=y=7时取等号，所以直角三角 形ABC的“勾”“股”之积的最大值为49，故答案为49. 10.645舞折：椭号号=1，则=3,6=5,6：95=2，刻照 椭园的右焦点为F(2,0),则1PF1+1PF1=2a=6,∴.1PA1+1PF1= 1PA1+6-|PF1=6+IPAI-|PF1,由图结合三角形两边之差小于第 三边，则11PA1-1PF1I≤1AF1=√(1-2)2+22=5，则当点P在 射线AF与椭圆的交点P时，IPAI-|PFI取得最大值5，：，1PA|+ 1PFI的最大值为6+√5.故答案为6+√5. ☑ (第10题) (第11题) 1[空]解折：加图连接0，所：曲题意得，109=10。 IOF,I=1OF2I,又IPQ1=IF,F2I,所以四边形PF3QF为矩形 故5Am0=SAm,所以宁PR,11PR,1≥g(2s)P=2,故 1PF,I·1PF2I≥2.又1PF,I+1PF21=2a,由勾股定理得1PF,I2+ 1PF212=IF,F22,即(1PF,1+1PF21)2-21PF,I·1PF21=4e2 1PF,1·1PF21=262,放2b2≥c2,即2a2-2c2≥c2,故2a2≥3c2, ,二≤子，解得二≤气又C上存在关于坐标原点对称的两点P 使得1PQ1=1FF2l,放2b≤2c,所以6≤e,即a2-e2≤c2,所以 子，号≥宁解得片≥号缘上，G的离心*的取篮范圆是 a [停]故答案为[停] 23] 12解：(1)由6=2，稀圆r的离心率。= 2 得6-解得a=25,所以椭 a 2 (2)以线段MN为直径的圆过定点(0，±2互)，证明如下，由(1) 知，4(0,2)，如图，设P(0%),0≠0，则Q(-0,-%),6=8-26。 直线Py=-2 +2,直线40y=力-2 -0 2期如（停月 V(完)者议线段r为直径的周过定点C由对将性知点C 在上设c00.则d.应：0，x:(3小d 黑白题025 (%2小所以成.6成兰0，即. 2x0 4-6 4-品 4(8-2y6) =8,解得t=±2√互，所以以线段MW为直径的圆过定点 4-6 (0,±22) 压轴挑战 ② 解析：设∠F,PF2=0,则由正弦定理得△PFF2的外接圆半径1= 1 IF F2l c 2×m9ng由曲余弦定理得1FR,2=1PR,P+1PR,2- 21PF1.IPF2 loos 8,..IF F21=(IPF 1+IPF21)2-21PF11PF2I. (1+c0s0),4c2=4a2-21PF111PF21(1+cws0),.462=21PF11· IP,1(1+o),整理得1PE,1IPR,1-+es 2b2 。设内切圆半径为2，所 以由等面积法可得之，(1PR,+1PR1+1R5)-之PR,1… 1血8即宁（西+2）=宁x血我解得 b'sin b'sin 8 +oate所以两半径之积n“。∵1 to)(ate) eb2 2(a+0)日由题意知2为铁角，当P为椭圆的短轴顶点时，2最 大时号-台则片≤一1所u号≤号1，所以 2 a' 2ate)o ca 22(a+c)x 2(a+⊙当P为椭圆的短轴顶点时取等 号.由题意得，m2。 a2 2(a*c)22+2 ，解得v2c=a,则该椭圆的离心率为e= √2 2 故答案为二 §2双曲线 2.1双曲线及其标准方程 白题 基础过关 1.B解析：设M是炮弹爆炸点所在的曲线上任意一点，则 11MA-1MB11=3×340=1020<1400,所以炮弹爆炸点所在的曲线 是双曲线.故选B. 2.B解析：充分性：当“11MF,1-1MF211为定值”，但11MF,1- 1MF21I≥IF,F2I时，动点M的轨迹不是双曲线，不满足充分性；必 要性：双曲线上的动点M满足“日MFI-MF2川为定值”，满足必要 性.因此“I1MF-MF2|I为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的 必要不充分条件故选B. 3.D解析：由题意，点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双 曲线的右支.由e=5,4=3,知=16，心点P的轨迹方程为。二 916 1(x≥3). 4.B解析：由椭圆429妙2三36，可化为标准方程，+=1，可得 F1(-√5,0)，F(5,0),因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以c= √5.又因为双曲线过点(-2,0)，可得a=2,则62=c2-2=1,所以双曲 线的标准方程为一=故选日 52x2 25751解桥：设双曲线的方程为m2+ny2=1(mm<0),则 1 (9m+28m=1,解得 m275 72m+49n=1, 1 故双曲线的标准方程为二兰 n= 25751 25 6.之。=1解折设焦点为F1(-c,01,Fc,0)(e>0),则由0511 169 选择性必修第一册·BS 0p,得ko,km,=-1,…三·三-1心c=5设双曲线的标准方 C-C 程为 329 豆京=1(a>0,6>0).:双曲线过点P(42,-3)草F 1.又c2=a2+b2=25,.a2=16,b2=9,双曲线的标准方程为- 号-1放精案为后号1 7.D解析：由双曲线的定义及标准方程可知，1IPF,I-PF211=8, 即12-1PF2川=8，解得1PF2I=10或1PF21=-6(舍去)，故选D. 8.A解析：由题意可得a2=4→2a=4,△ABF,的周长为1AF1I+ 1BF,1+IABI,由双曲线定义可得IAF,I-AF21=BF,I-|BF2I=4, 又IAF2I+IBF21=IAB=2,所以IAF,I+1BF,I+IAB1=IAF1I- IAF21+1BF,1-1BF2|+21AB|=4+4+4=12,所以△ABF,的周长为 12.故选A. 。A解析：因为双曲线。1左支上的点M到右焦点斤的距离。 为18，所以点M到左焦点F2的距离1MF,I=18-10=8.又N是MF 的中点，0是R的中点，所以101=子M,1=4故选A 1 10.-2】 解析：因为方程 =1表示焦点在y轴上的双 k-12-k 线所以0邻得<宁放答案为（✉，号） 2-k>0, 1.D解析：双曲线8-子=8可化为标准方程子-。=1a=1,c= 3,IF,F2|=2=6.:点P在该双曲线（不妨设点P在第一象限）上. 且△PF,F2是等腰三角形，IPFI=IF,F2I=6或1PF2I= F1F2I=6.当IPF,I=6时，根据双曲线的定义有IPF2I= 1PFI-2a=6-2=4,.△PF1F2的周长为6+6+4=16：同理当 1PF21=6时，△PF,F2的周长为6+6+8=20. 12.C解析：设1AF2|=m,则1BF21=2m,|BF,I=4m.由双曲线的定义 AF1-1AF2I=IBF1-IBF2 I=2a=2m,..IAF:I=3m,a=m, .m+2m+3m+4m=10,解得m=1.在△AFF2和△BF,F2中 coLF,Fa4+o@s∠R,BB=0由余弦定理得c+1-94e2+416 4c 0,解得c=√21可得双曲线的焦距为，放选C 3 13.6 解折：双曲线父-二=1的a=2,c=446=而，所以 46 IFF2I=2√0.因为IPF1I=3IPF21,由双曲线定义得IPF,I- IPF2I=21PF2I=4,解得1PF2I=2,IPF11=6,是然有1PF,I2+ 1PF,12=40=1F,F312,即△PF:F3是直角三角形，所以△PF,F3的 面积Sam,之PR,I1PR,I=6故答案为6 14,②③④解析：不妨设点P在双曲线C的右支上，，PFI 1PF2l=2a=2,lF,F21=2c=22.又LF,PF2=60°，在△F1PF2 中，利用余弦定理可知1F,F22=(1PF,1-1PF21)2+1PF,1· PE,lPF,·PR1=4,△PF,B的面积为子1PR,1 1PF2I·sn∠F,PF2=3.放正确的是②③④ 重难聚焦 15.解：设M(x,y),点A,B的坐标分别是(-5,0)，(5,0)，∴直线M 的斜率6w本5红-5).同，直线w的斜率m六x 5w石名5g红生5).化简得点M的轨迹 方程是行1（≠5，心点M的软迹是以原点为中心，焦点在 9 x轴上的双曲线（不包括两个项点）. 16.锅：1)将椭圆方程化成标准形式为号+=1c2=5,=1,2 a2-b2=4,则A(-2,0),B(2,0),∴.1AB1=4 黑白题026