专题2.3 二次根式（举一反三讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题2.3 二次根式（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 二次根式的概念】 1 【题型2 二次根式有意义的条件】 4 【题型3 二次根式的双重非负性】 5 【题型4 】 5 【题型5 】 9 【题型6 规律探究】 11 【题型7 化简求值】 14 【题型8 隐含条件】 16 【题型9 复合根式】 18 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型1 二次根式的概念】 【例1】（24-25八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，当时，就是二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意； C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意； D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意； B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意； C、是二次根式，故C选项符合题意； D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级下·广西桂林·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解满足二次根式的条件有三个：含有根号；根指数是；被开方数是非负数，三个条件缺一不可． 【详解】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据二次根式的被开方数大于等于0，得到，根据分式的分母不为0，得到，求解即可． 【详解】解：式子有意义， ，， ，且， 故答案为：且 【变式2-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）二次根式中字母x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握有意义的条件是解题的关键．根据被开方数是非负数，分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当有意义时，的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义的条件，根据有意义时，可得，且，据此即可求解． 【详解】解：∵有意义时， ∴，且， ∴，且， 故答案为且． 【题型3 二次根式的双重非负性】 【例3】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质， 先根据二次根式有意义的条件可得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，m的最小值为3． 故答案为：3． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性、解一元一次不等式组、代数式的求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，解出的值，进而求出的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖南常德·期末）若a，b为实数，且满足，则平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则， 平方根为． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数x满足，则 ． 【答案】2013 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2013． 【题型4 】 【例4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质以及分类讨论思想成为解题的关键． 先根据二次根式的性质可得，然后分四种情况分别去绝对值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当，，即时，则，解得：符合题意； 当，，即时，则，方程无解，不符合题意； 当，，即时，则，方程无解，不符合题意； 当，，即，则，解得：，不符合题意． 综上，． 故选A． 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）设，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得． 【详解】解：∵， =， =， =1， ， =， =， =1， ∴M=N， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质． 【题型5 】 【例5】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：， ∴， ，，， ，，， ． 【变式5-1】（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 【变式5-2】 （24-25八年级下·甘肃武威·期中）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件． （1）由根号内的数据大于等于0，得，解得，再根据，去根号，化简求解即可； （2）由根号内的数据大于等于0，得，且，解得，将的值代入式子，得的取值范围，再对进行去根号，化简即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， ， 解得． （2）解：由题意，得 ，且， 且， ， ，， ，， ． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质． 根据，得出，即可得出，，，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， 解得：，，． 【题型6 规律探究】 【例6】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解． 【详解】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字， ∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是， ∴从左向右数第个数是； 故选A． 【变式6-1】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 【变式6-2】（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：； ； ； ； 第5个等式为 根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：，． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、二次根式性质和运算法则，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）分析所给的等式的形式，总结出规律即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得第5个等式为： ； 故答案为：； （2）解：第1个等式：；， 第2个等式：；， 第3个等式：；， 由以上等式可以猜想第n个等式是： ； 证明：； 故答案为：； （3）解： ＝ ＝ ＝． 【题型7 化简求值】 【例7】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数a满足，化简：． 【答案】7 【分析】首先解不等式，然后根据公式，化简即可．本题考查二次根式的化简、不等式的性质，绝对值的简等知识，记住，属于基础题，中考常考题型． 【详解】解：， ∴ ， 原式 ． 【变式7-1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，由二次根式有意义的条件得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，三角形的三边关系，解题的关键是首先利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而化简求出答案． 【详解】解：由三边关系定理，得，，即， 原式． 【变式7-3】（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）已知，，，．求P、Q的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质、分式的求值等知识，由题意可得，，根据完全平方公式变形后代入即可求出P的值，把化简后，再进行整体代入即可求出Q的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 【题型8 隐含条件】 【例8】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，确定出，，代入原式即可解决问题． 【详解】解：，，是两两不相等的实数且满足， 又 ， ，，，， 原式． 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出，，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型． 【变式8-2】若、、为实数，且满足，求的值为 ． 【答案】 【分析】根据配方法的理论依据，即公式，将原方程转化为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质和实数的计算，解题的关键是熟练掌握配方法的理论依据． 【变式8-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）若实数a，b，c满足关系式，则c＝ ． 【答案】404 【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得a＝199， 则， 所以， 解得， 故答案为：404． 【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，熟知相关知识点是解题的关键． 【题型9 复合根式】 【例9】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 【变式9-2】（24-25八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 【变式9-3】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次根式（举一反三讲义） 【北师大版2024】 【题型1 二次根式的概念】 1 【题型2 二次根式有意义的条件】 2 【题型3 二次根式的双重非负性】 2 【题型4 】 2 【题型5 】 3 【题型6 规律探究】 4 【题型7 化简求值】 4 【题型8 隐含条件】 5 【题型9 复合根式】 5 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型1 二次根式的概念】 【例1】（24-25八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·广西桂林·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）二次根式中字母x的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当有意义时，的取值范围是 ． 【题型3 二次根式的双重非负性】 【例3】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则的值为 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖南常德·期末）若a，b为实数，且满足，则平方根是 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数x满足，则 ． 【题型4 】 【例4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知，化简 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）设，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【题型5 】 【例5】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 【变式5-1】（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【变式5-2】 （24-25八年级下·甘肃武威·期中）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知，求a、b、c的值． 【题型6 规律探究】 【例6】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 【题型7 化简求值】 【例7】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数a满足，化简：． 【变式7-1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【变式7-3】（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）已知，，，．求P、Q的值． 【题型8 隐含条件】 【例8】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【变式8-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ． 【变式8-2】若、、为实数，且满足，求的值为 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）若实数a，b，c满足关系式，则c＝ ． 【题型9 复合根式】 【例9】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【变式9-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【变式9-3】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$