21.3实际问题与一元二次方程（第3课时)同步作业 2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程（第3课时)同步作业 2025—2026学年度九年级数学上学期 1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，则长为 米．根据题意，可列方程为 ． 2．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 3．如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地， 场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为( ) A．5 m B．(5＋)m C．(5＋3)m D．(5＋5)m 4．如图，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH.如果正方形ABEF和ADGH的面积之和是68 cm2，那么矩形ABCD的面积是( ) A．21 cm2 B．16 cm2 C．24 cm2 D．9 cm2 5．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为 cm， 6．一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m. 7．如图，有一块长方形铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 8．一个矩形周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 类型2　边框与甬道问题 9．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 第13题图 第12题图 第11题图 第10题图 第9题图 10．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( ) A．100×80－100x－80x＝7 644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644 C．(100－x)(80－x)＝7 644 D．100x＋80x＝356 11．如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为( ) A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 12． 在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 ． 13．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ，及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若LM＝RS＝x米，则根据题意可列出方程为 ． 14．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2? 类型3　动点问题 15．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过 秒时，点P，Q间的距离是10 cm. 16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由． 易错点　忽视根的合理性，忘记验根 17．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长． 解：设AB为x m，则BC为(50－2x)m.根据题意，得 x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15. 答：AB的长为10 m或15 m. 以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充使之完整． 18．如图所示，要设计一座1 m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部(腰以上)AB与下部(腰以下)BC的高度比，等于下部与全部(全身)AC的高度比，雕塑的下部应设计为多高？ 类型1　一般图形问题 1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，则长为(x＋10)米．根据题意，可列方程为x(x＋10)＝900． 2．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(B) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 3．如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍， 则小圆形场地的半径为(D) A．5 m B．(5＋)m C．(5＋3)m D．(5＋5)m 4． 如图，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH. 如果正方形ABEF和ADGH的面积之和是68 cm2，那么矩形ABCD的面积是(B) A．21 cm2 B．16 cm2 C．24 cm2 D．9 cm2 5． 一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2， 则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm． 6．一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m. 7．如图，有一块长方形铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的小正方形的边长为x cm.依题意，得 (40－2x)(30－2x)＝600. 解得x1＝5，x2＝30. 当x＝30时，30－2x＜0， ∴x＝30不合题意，应舍去．答：铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形． 8．一个矩形周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有 x(28－x)＝180.解得x1＝10(舍去)，x2＝18. 则28－x＝28－18＝10. 答：长为18厘米，宽为10厘米． (2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有 y(28－y)＝200. 化简，得y2－28y＋200＝0. ∴Δ＝(－28)2－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根． 故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形． 类型2　边框与甬道问题 9．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C) A．(x＋1)(x＋2)＝18 第10题图 第9题图 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 10．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为(C) A．100×80－100x－80x＝7 644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644 C．(100－x)(80－x)＝7 644 D．100x＋80x＝356 11． 如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)， 余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为(C) A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 第13题图 第12题图 第11题图 12． 在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图， 如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm， 那么x满足的方程为x2＋40x－75＝0． 13． 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ， 及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米． 若LM＝RS＝x米，则根据题意可列出方程为(22－x)(17－x)＝300． 14．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2? 解：设矩形温室的宽为x m，则长为2x m．根据题意，得 (x－2)(2x－4)＝288. 解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14. 所以2x＝2×14＝28. 答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2. 类型3　动点问题 15．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10 cm. 16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由． 解：(1)设x s后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得 ·2x(5－x)＝4.解得x1＝1，x2＝4. ∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去． ∴x＝1. 答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2. (2)设y s后，PQ＝5 cm，则 (5－y)2＋(2y)2＝25.解得y1＝0(舍去)，y2＝2. 答：2 s后，PQ的长度等于5 cm. (3)设a s后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得 ·2a(5－a)＝7. 化简，得a2－5a＋7＝0. ∴Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0. ∴此方程无实数解． ∴△PBQ的面积不能等于7 cm2. 易错点　忽视根的合理性，忘记验根 17．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长． 解：设AB为x m，则BC为(50－2x)m.根据题意，得 x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15. 答：AB的长为10 m或15 m. 以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充使之完整． 解：不完整．当求出方程的解后，应检验解是否符合题意．即： 当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应该舍去． 当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，所以x＝15满足条件． 答：AB的长为15 m. 18．如图所示，要设计一座1 m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部(腰以上)AB与下部(腰以下)BC的高度比，等于下部与全部(全身)AC的高度比，雕塑的下部应设计为多高 解：根据题意，得AB∶BC＝BC∶AC，即BC2＝AB·AC. 设雕塑的下部应设计为x m，则上部应设计为(1－x)m，则有 x2＝(1－x)·1. 解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)． 答：雕塑的下部应设计为 m. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$