第二十二章 二次函数 暑期提升训练题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 暑期提升训练题 一、单选题 1．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．若，则定义，即的取值为a，b，c的中位数．如：，．则函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 5．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（    ） A．或 B．1 C． D．或 6．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．某种商品的单价为15元时，每天能卖出500个，单价每上涨1元，销量将减少20个．要使每天的销售金额最大，则单价应定为（   ） A．15元 B．18元 C．20元 D．22元 8．已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 12．平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 13．已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 ． 14．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ． 三、解答题 16．已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是______，______，______； (2)求二次函数的表达式； 17．如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． (1)求与的值． (2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 18．某商店决定购买，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品的进价比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同． 售价元/件 销售量（件） 100 (1)请直接写出，两种纪念品每件的进价； (2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表，求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 19．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 20．如图，抛物线与轴交于点，点是抛物线上一点，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式并直接写出顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围； (3)将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4时，请直接写出的取值范围； (4)点在轴上，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十二章 二次函数 暑期提升训练题2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D D C C A A D 11．或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】解：∵， ∴图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，变为，则函数变为 ． 再向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 ． 展开得 ． ∴平移后图象的关系式为； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线标准方程的焦点、准线，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 将抛物线化成顶点式，结合抛物线标准方程的焦点及平移规律得到的焦点坐标，正好是题目中的F点，结合图象，当周长最小时，即最小，根据抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，可知当、、处于同一条直线上时，最小，从而得到P点横坐标等于A的横坐标，进而求得P点坐标． 【详解】解：，可看成向右平移1个单位，向上平移3个单位得到， 由抛物线标准方程可得的焦点，准线：， 故抛物线的焦点为即为F点，准线l：， 如图，A、F为定点， 当周长最小时，即最小， F为抛物线焦点，则等于P到准线l的距离， 当、、处于同一条直线上时，最小，此时P的横坐标与A的横坐标相同，为3，代入抛物线得纵坐标，故点P坐标为， 故答案为：． 14． 【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为： 由题意可得：当时， ， 解得： ∴米． 故答案为： 15．4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力、运算能力和推理能力． 将抛物线化为顶点式得到的中点为，即，再代入抛物线即可求解． 【详解】解：， ∴的中点为， ∵时，为的中点， ∴， ∵在的图象上， ， 解得或（舍）． 故答案为：4. 16．(1)，0； (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，二次函数的图象和性质等知识．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，即可得出，即可求出n． （2）由待定系数法即可求解； 【详解】（1）解∶由表格数据知，顶点坐标为∶，即对称轴为直线 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称， 则， 解得： 故答案为∶ ，0； （2）解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先把的坐标代入，求得，再把的坐标代入，即可求解； （2）由（1）得抛物线，求得其对称轴和顶点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，设直线的表达式是，利用待定系数法求得直线的表达式，令，即可求解点的坐标． 【详解】（1）解：将代入正比例函数，解得：， 点的坐标为， 将代入，得：，解得：． （2）解：由（1）得：抛物线， 抛物线的对称轴是，顶点是， 点C关于x轴的对称点的坐标为． 如图，连接交轴于点，此时最小． 设直线的表达式是， 把，代入， 得：，解得：， 直线的表达式是． 令，则，解得：， 点的坐标是． 18．(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元； (2)当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数与二次函数的应用． （）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用元购进A种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （）设利润为元，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可； 【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程得解， ∴纪念品每件的进价是元， 答：， 两种纪念品每件的进价分别是和元． （2）解：设利润为元，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当时， ， ∵， ∴当时，利润最大为：元， 答：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 20．(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把点代入进行计算，即可得出，再化为顶点式，得出顶点坐标为； （2）结合抛物线的解析式为，顶点坐标为，即在时，有最大值，且为，根据进行分析，即可作答． （3）先解得抛物线与轴的另一个交点为，且，结合将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4，进行分类讨论，逐个情况进行列式计算，检验，即可作答． （4）根据，，为矩形对角线，得出矩形的中线在直线上，然后根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， ∴， ∴， ∴． 整理得， ∴顶点坐标为． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为， 即开口方向向上，在时，有最大值，且为 ∴在中，有最大值，且为 把代入， 得； 把代入， 得； ∵ ∴当时，的取值范围为； （3）解：依题意，令，则， 解得， ∵抛物线与轴交于点， 记抛物线与轴的另一个交点为，且， ∵的顶点坐标为，开口方向向上，在时，有最大值，且为 当时， ∵将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4， ∴ 则 令， 令，则 ∴ 解得（舍去） ∴； 当时，抛物线的最高点即为顶点，且顶点坐标为，最低点是点， 则，不符合题意，舍去； 当时，抛物线的最高点即为顶点，且顶点坐标为，最低点是P点， 则， ∵将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4， ∴ 则或 解得或（舍去） ∴ 综上：或 （4）解： ∵，，为矩形对角线， ∴矩形的中心在直线上， Ⅰ．当点P在点A左边，即时， 如图所示：矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； Ⅱ．当点P与点A重合时，即时，矩形不存在， Ⅲ．当点P在点A右边，在抛物线对称轴左边时，即时， 如图所示：矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅳ． 当点P在直线和直线之间时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅴ．当点P在直线上时，矩形不存在，不符合题意； Ⅵ． 当点P在直线右侧，点B左侧时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有1个交点，不符合题意； Ⅶ．当点P在点B右侧，点N在点A左侧时， ， 解得：时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅷ．当点N与点A重合时， ， 解得：， 如图所示，此时矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅸ．当点N在点A左边时， ， 解得：， 如图所示，矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象和性质，二次函数的解析式，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，以及具有分类讨论的思想． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$