3.4.2 相似三角形的性质(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

吃透教材 广西数学(XJ) 3. 4. 2　相似三角形的性质 第 1 课时　 相似三角形的性质(高、角平分线、中线) 一阶 教材知识梳理 相似三角形对应线段的性质: (1)相似三角形对应高的比等于①　 相似比　 ; (2)相似三角形对应角平分线的比等于②　 相似比　 ; (3)相似三角形对应边上的中线的比等于③　 相似比　 . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　相似三角形对应高的比等于相似比 例 1　 (教材 P86 例 9 改编)如图,在边长都为 1 的方格纸上,小明同学绘制了 艺术字体“A”,已知点 O,M,N 都在格点上,点 P,Q 在格线上,则点 P 与点 Q 之间的距离为 ( D ) A. 5 　 　 　 　 B. 10 C. 9 2 　 　 　 　 D. 14 3 例 2　 (教材 P90 习题 T9 改编)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 4,BC = 3. 若 Rt△ABC 内有并排 的三个全等的小正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,求小正方形的边长. 解:如图,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M,交 GF 于点 N, ∵∠ACB= 90°,AC= 4,BC= 3, ∴AB= 5,CM= 2. 4. ∵GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,∴ CN CM =GF AB . 设小正方形的边长为 x,则 GF= 3x,CN= 2. 4-x, ∴2. 4 -x 2. 4 = 3x 5 ,解得 x= 60 61 ,即小正方形的边长为60 61 . 【温馨提示】与三角形内接矩形、正方形有关的计算问题,常利用“相似三角形对应高的比等于相似 比”求解. 教材母题 2　相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例 3　 (教材 P86 例 10 改编)已知△ABC∽ △A1B1C1,顶点 A,B,C 分别与 A1,B1,C1 对应,AC= 12,A1C1 = 9,∠A1 的平分线 A1D1 的长为 6,则∠A 的平分线的长为　 　 　 　 . 教材母题 3　相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 例 4　 已知△ABC∽△A1B1C1,顶点 A,B,C 分别与 A1,B1,C1 对应,AB ∶ A1B1 = 3 ∶ 5,E,E1 分别是 边 AC,A1C1 的中点,如果 BE= 1,那么 B1E1 的长为　 　 　 　 . 53 吃透教材 广西数学(XJ) 第 2 课时　 相似三角形的性质(面积、周长) 一阶 教材知识梳理 相似三角形的周长和面积的性质: (1)相似三角形的面积比等于①　 相似比的平方　 ; (2)相似三角形的周长比等于②　 相似比　 . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　相似三角形的面积比等于相似比的平方 例 1　 (教材 P89 练习 T3 改编)△ABC 在如图所示 4×4 的正方形网格中,最短边长为 2 ,已知△MNG 与△ABC 相似,且其最短边长为 2,则△MNG 的面积为 ( A ) A. 5　 　 　 　 　 　 　 B. 5. 5　 　 　 　 　 　 　 C. 6　 　 　 　 　 　 　 D. 6. 5 例 2　 易错 (教材 P88 例 11 改编)如图,在△ABC 中,DE∥BC,S△ADE ∶S四边形DBCE = 9 ∶ 16,求 AD ∶AB 的值. 解:∵S△ADE ∶S四边形DBCE = 9 ∶16,∴S△ADE ∶S△ABC = 9 ∶25, ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴S△ADE ∶S△ABC =( AD AB ) 2,则(AD AB ) 2 = 9 ∶25, ∴AD ∶AB= 3 ∶5. 【温馨提示】利用相似三角形解决面积问题时,要转化成正确的比例关系(如本题需转化为△ADE 和△ABC 的面积关系);若两个三角形不相似,但等底(或等高),则它们的面积比等于高(或底) 的比. 教材母题 2　相似三角形的周长比等于相似比 例 3　 (教材 P89 练习 T3 改编)已知△ABC 的三边长分别为4,5,6,△A′B′C′与△ABC 相似,且△A′B′C′的 最长边是 24,则△A′B′C′的周长为　 　 　 　 ,△ABC 与△A′B′C′的相似比是　 1 ∶4　 . 【变式】有一个三角形的三边之比为 2 ∶5 ∶4,如果另一个与它相似的三角形的周长等于 55 cm,那么另 一个三角形的三边长分别是多少? 解:∵一个三角形的三边之比为 2 ∶5 ∶4, ∴与它相似的三角形的三边之比为 2 ∶5 ∶4. 设另一个三角形的三边长分别为 2x cm,5x cm,4x cm. ∵另一个与它相似的三角形的周长为 55 cm, ∴2x+5x+4x= 55,解得 x= 5, ∴另一个三角形的三边长分别为 10 cm,25 cm,20 cm. 【方法总结】利用相似比求周长时,若已知相似三角形的周长关系,则可先设出一个未知量,利用方 程思想求解. 63 38　 (2)△ABC 和△DEF 相似. 理由:∵ AB DF =BC EF = AC DE = 1 2 ,∴ △ABC∽△DFE. 例 2　 证明:∵ OA′ ∶ AA′ = OB′ ∶BB′ = 1 ∶ 2,∴ OA′ ∶OA = OB′ ∶ OB= 1 ∶3,∵ ∠A′OB′= ∠AOB,∴ △OA′B′∽△OAB,∴ A′B′ ∶ AB= 1 ∶ 3,∵ OC′ = 2,OC = 6,∴ OC′ ∶ OC = 1 ∶ 3,同理可得 △B′OC′∽△BOC,△C′OA′∽△COA,即 B′C′ ∶BC = C′A′ ∶ CA=A′B′ ∶AB= 1 ∶3,∴ △A′B′C′∽△ABC. 3. 4. 2　相似三角形的性质 第 1 课时　 相似三角形的性质 (高、角平分线、中线) ①相似比　 ②相似比　 ③相似比　 例 1　 D　 例 2　 小正方形的边长为60 61 . 例 3　 8　 例 4　 5 3 　 第 2 课时　 相似三角形的性质(面积、周长) ①相似比的平方　 ②相似比　 例 1　 A　 例 2　 AD ∶AB= 3 ∶5. 例 3　 60　 1 ∶4　 【变式】 　 另一个三角形的三边长分别为 10 cm, 25 cm, 20 cm. 3. 5　 相似三角形的应用 例 1　 河宽 AB 为 60 m. 例 2　 B　 3. 6　 位似 第 1 课时　 位似图形的概念、性质及画法 ①O　 ②射线 OP　 ③射线 OP 的反向延长线　 ④O　 ⑤互相平行　 例 1　 B　 例 2　 ①②③　 例 3　 画图略. 第 2 课时　 平面直角坐标系中的位似 ①相同　 ②坐标原点 例 1　 D　 例 2　 画图略. 　 例 3　 (1, 1 3 )或(-1,- 1 3 )　 第 4 章　锐角三角函数 4. 1　 正弦和余弦 第 1 课时　 正弦及 30°角的正弦值 ①对边　 ②斜边　 ③对边　 ④斜边　 ⑤ 1 2 　 ⑥一半　 例 1　 解:(1)sinB=AC AB =CD BC =AD AC ;(2)sinB= 4 5 . 例 2　 AC= 5 . 　 【变式设问】 5 3 　 例 3　 C　 【变式】 　 钝角　 例 4　 ④⑦　 第 2 课时　 45°,60°角的正弦值及用计算器 求锐角的正弦值或对应的锐角 ① 2 2 　 ②相等　 ③ 3 2 　 ④一半　 例 1　 原式= 1. 　 例 2　 3 2 　 【变式设问】2 3 　 例 3　 A　 例 4　 解:(1)①sin33°≈0. 544 6;②sin21°18′≈0. 363 3; (2)①∵ sinα= 0. 316 2,∴ α≈18. 43°; ②∵ sinα= 0. 726 6,∴ α≈46. 60°. 第 3 课时　 余弦 ①邻边　 ②斜边　 ③邻边　 ④斜边　 ⑤(90°-α)　 ⑥(90°-α)　 ⑦ 3 2 　 ⑧ 2 2 　 ⑨ 1 2 　 例 1　 12 13 　 【变式设问】 5 13 　 例 2　 3 4 　 【变式】 　 60　 例 3　 解:(1)原式= 0;(2)原式= 2 2 . 例 4　 (1)0. 857 2　 (2)0. 449 6　 例 5　 (1)42. 9°　 (2)27. 3° 4. 2　 正切 ①对边　 ②邻边　 ③对边　 ④邻边　 ⑤ 3 3 　 ⑥1　 ⑦ 3 　 ⑧ 2 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 2 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 1 2 　 􀃊􀁉􀁕 3 3 　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗 3 　 例 1　 2 2 　 2 4 　 【变式】 　 3　 例 2　 原式= 4- 3 . 例 3　 (1)12. 03　 (2)2. 46　 例 4　 37. 48　 例 5　 解:(1)BC= 3 5 ; (2)sinA=BC AB = 5 3 ,cosB=BC AB = 5 3 ,tanA=BC AC = 5 2 . 例 6　 ②③④　 4. 3　 解直角三角形 ①a2 +b2 = c2 　 ②∠A+∠B= 90°　 ③ b c 　 ④ a b 　 ⑤ b a 　 ⑥2　 ⑦边　 ⑧3　 例 1　 解:∵ ∠C = 90°, ∠A = 45°, ∴ ∠B = 90° - ∠A = 45°. ∵ cosB= a c ,∴ a= c·cosB= 2 2 × 2 2 = 2,∴ b= c2 -a2 = 2. 例 2　 AC= 12,BC= 16. 【变式】 　 B　 例 3　 解:在 Rt △ABC 中,由勾股定理,得 c = a2 +b2 = 4, ∵ sinA= a c = 2 3 4 = 3 2 ,∴ ∠A= 60°,∴ ∠B= 90°-60° = 30°. 例 4　 1 或 3　 4. 4　 解直角三角形的应用 第 1 课时　 与仰角、俯角及夹角 有关的应用问题 ①上方　 ②下方　 例 1　 这栋高楼的高 BC 为 60 米. 【变式】 　 C　 例 2　 旗杆的高度约为 8. 7 m. 例 3　 ∠BAC　 ∠FBA　 ∠FBD　 ∠BDE　 第 2 课时　 与坡度、坡角及方位角有关 的应用问题 ①坡角　 ②比　 ③陡　 ④北偏东 30°　 ⑤南偏东 60°　 ⑥西北 例 1　 解:(1)车库的高度 AH 为 6 米; (2)点 B 与点 C 之间的距离约为 12 米. 例 2　 解:(1)∠C 的度数为 45°; (2)B,C 两地的距离为 5 6千米. 例 3　 2 10 　 第 5 章　用样本推断总体 5. 1　 总体平均数与方差的估计 ①足够大　 ② x1 +x2 +x3 +…+xn n 　 ③越小　 ④越大　 ⑤简单随机 例 1　 C　 【变式设问】600　 例 2　 解:随机抽出的 6 株红色郁金香离地面高度的平均数 x1 、方差 s 2 1 分别为: x1 = (54+44+37+36+35+34)÷6 = 40, s21 = [(54-40) 2 + ( 44 - 40) 2 + ( 37 - 40) 2 + ( 36 - 40) 2 + ( 35 - 40) 2 +(34-40) 2 ]÷6≈49. 67. 随机抽出的 6 株黄色郁金香离地面高度的平均数 x2 、方差 s22 分别为: x2 = (48+35+38+36+43+40)÷6 = 40, s22 = [(48-40) 2 + ( 35 - 40) 2 + ( 38 - 40) 2 + ( 36 - 40) 2 + ( 43 - 40) 2 +(40-40) 2 ]÷6≈19. 67. ∵ s21 >s 2 2 ,∴ 随机抽出的 6 株黄色郁金香长得比较整齐, ∴ 该公园的红、黄两种颜色的郁金香中,黄色的郁金香长 得比较整齐. 5. 2　 统计的简单应用 第 1 课时　 用样本的“率”去估计总体相应的“率” ①百分比　 ②简单随机　 例 1　 解:(1)0. 22　 20　 26　 0. 26 (2)这次考试的优秀率是 42%,该县理化实验操作考试成 绩为优秀的约有 5 880 名学生. 例 2　 750　 第 2 课时　 对事物的发展趋势做出判断和预测 例 1　 解:(1)50　 30　 (2)B 组的频数为 50×20% = 10, 补全频数分布直方图如解图; (3) 1 200×(10% +20% +30% )= 720(万户), 答:估计该市不受影响的家庭总户数为 720 万户. 例 2　 解:(1)①③　 (2)B　 (3)2024 年上半年,该市小学在校学生共有 81. 6 万人. 第 1 章　二次函数 1. 1　 二次函数 ①y=ax2 +bx+c　 ②常数项　 ③2　 ④二次项　 例 1　 解:(1)y= 2x2 -3 是二次函数,二次项系数是 2、一次项 系数是 0、常数项是-3; (2)y=(2x-1)(1-x)= -2x2+3x-1 是二次函数,二次项系数是-2、 一次项系数是 3、常数项是-1; (3)y= 1 x2 +1 不是二次函数. 例 2　 -2　 例 3　 解:(1)S= 2x2 +24x,V= 6x2 ; (2)它们是关于 x 的二次函数. 例 4　 y= - 1 2 x2 +6x　 0< x≤8　 1. 2　 二次函数的图象与性质 第 1 课时　 二次函数 y=ax2(a>0)的图象与性质 ①越小　 ②越大　 ③小　 例 1　 解:画图略. 共同点:图象的开口均向上;对称轴都是 y 轴;函数都有最 小值为 0;在 y 轴左侧,y 随 x 的增大而减小,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而增大. 不同点:开口大小不同. 例 2　 上　 (0,0)　 y 轴(或直线 x= 0)　 <0　 第 2 课时　 二次函数 y=ax2(a<0)的图象与性质 ①越小　 ②越大　 例 1　 解:画图略. . 图象特点:①开口向下;②过原点;③图象经过第三、四象 限. (答案不唯一) 例 2　 ①③②　 例 3　 解:(1)当 a>0 时,函数图象有最低点,最低点的坐标为 (0,0) . (2)①抛物　 下 　 y 轴(或直线 x = 0) 　 (0,0) 　 大 　 0　 ②<　 > 例 4　 解:当 m> 0 时,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而增大,则 x1 >x2 >0 时,y1 >y2 ; 当 m<0 时,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而减小,则 x1 >x2 > 0 时,y1 <y2 . 第 3 课时　 二次函数 y=a(x-h) 2(a≠0) 的图象与性质 ①直线 x=h　 ②(h,0)　 ③向上　 ④向下　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨0　 ⑩0　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案