3.4.1 相似三角形的判定(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

37　 　 (3)当 y≤3 000 = 0. 3 万元时,即60 x ≤0. 3,解得 x≥200. 答:若计划平均每月偿还贷款不超过 3 000 元,则至少需要 200 个月还清. 例 2　 解:(1)v 与 t 的函数表达式为 v= 24 t ; (2)当 v=120 时,t= 24 120 =0. 2,当 v=80 时,t= 24 80 =0. 3, ∴ 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间 AB 段的时间范 围为 0. 2≤t≤0. 3. 例 3　 解:(1)p= 4. 8 V (V>0); (2)当 p= 150 时,V = 4. 8 150 = 0. 032,∴ 4 3 × 3r3 = 0. 032,解得 r= 0. 2, ∵ k= 4. 8> 0,∴ p 随 V 的增大而减小,∴ 要使气球不会爆 炸,则 V≥0. 032,此时 r≥0. 2, ∴ 估计气球的半径至少为 0. 2 m 时,气球不会爆炸; (3)由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大则容易导 致爆胎. 例 4　 l1 <l2 　 第 2 章　一元二次方程 2. 1　 一元二次方程 ①0　 ②一个　 ③二　 ④a,b,c　 ⑤二次项系数　 例 1　 D　 【变式 1】 　 解:x2 -mx(2x-m+ 1) = x,x2 - 2mx2 +m2x-mx = x, (1-2m)x2 +(m2 -m-1)x= 0, 当 1-2m≠0,即 m≠ 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx( 2x-m+ 1)= x 是一元二次方程. 当 m= 1 2 时,1-2m= 0,此时原方程不是一元二次方程. 【变式 2】 　 3x2 -3x-5 = 0　 3　 -3　 -5　 例 2　 (32-2x)　 (20-x)　 (32-2x)(20-x)= 570 【变式应用】(1)x2 -7x+6 = 0　 (2)x2 +2x-48 = 0　 例 3　 1　 2. 2　 一元二次方程的解法 2. 2. 1　配方法 第 1 课时　 利用平方根的意义解一元二次方程 ① p 　 ②降次　 例 1　 C　 【变式】 　 4　 例 2　 x1 = 7 ,x2 = - 7 　 【变式】 　 (1)x1 = 5,x2 = -5;(2)x1 = 5 9 ,x2 = - 5 9 . 例 3　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 3,x2 = -1. 例 4　 x1 = -7,x2 = - 1 3 . 第 2 课时　 配方法———二次项系数为 1 ①一次项系数的一半　 ②一元一次　 例 1　 (1)2　 1　 (2)-　 (-5)　 (3) 3 2 　 (- 7 4 )　 【变式】 　 C　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -9;(2)x1 = 4,x2 = 2. 例 3　 -3 例 4　 解:(1)配方法　 (2)②　 等号右边没有加 9 (3)正确的解答过程为: x2 +6x-4 = 0, 移项,得 x2 +6x= 4, 配方,得 x2 +6x+9 = 4+9,即(x+3) 2 = 13, ∴ x+3 = ± 13 ,∴ x+3 = 13或 x+3 = - 13 , ∴ x1 = 13 -3,x2 = - 13 -3. 【变式】 　 B　 第 3 课时　 配方法———二次项系数不为 1 ①1　 ②配方　 例 1　 (1)x1 = -2+ 6 2 ,x2 = -2- 6 2 ; (2)x1 = 10 +3 2 ,x2 = - 10 +3 2 . 例 2　 C　 2. 2. 2　公式法 ①x= -b± b2 -4ac 2a 　 例 1　 (1)x1 = 4+ 21 ,x2 = 4- 21 ; (2)x1 = x2 = 2 2 ; (3)此方程无实数根. 【变式】 　 A　 例 2　 解:(1)一　 (2)原方程化为 x2 -5x- 1 = 0,∵ a = 1,b = - 5,c = - 1,∴ b2 - 4ac= ( - 5) 2 - 4 × 1 × ( - 1) = 29 > 0. ∴ x = 5± 29 2 , ∴ x1 = 5- 29 2 ,x2 = 5+ 29 2 . 2. 2. 3　因式分解法 第 1 课时　 用因式分解法解一元二次方程 ①降次　 ②一元一次　 例 1　 C　 【变式】 　 x1 = 1,x2 = 5. 例 2　 x1 = 2,x2 = 2 3 　 例 3　 (1)x1 = 3 7 ,x2 = -5;　 (2)x1 = x2 = 4. 例 4　 (x+5) 2 -4 = 0　 (x+3)(x+7)= 0　 -3　 -7　 第 2 课时　 用适当的方法解一元二次方程 ①直接开平方法　 ②配方法 　 ③因式分解法 　 ④公式法 　 例 1　 A　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 ; (3)x1 = -2,x2 = 1;(4)x1 = 3,x2 = -1. 2. 3　 一元二次方程根的判别式 ①Δ　 ②Δ= b2 -4ac　 ③两个相等　 ④没有　 例 1　 A　 例 2　 (1)此方程有两个不相等的实数根; (2)此方程有两个相等的实数根; (3)此方程没有实数根. 例 3　 k≥- 1 8 且 k≠0　 【变式 1】 　 B　 【变式 2】 　 -4<k<4　 例 4　 k>3 且 k≠5　 例 5　 k 的取值范围为 k≥- 1 8 . ※2. 4　 一元二次方程根与系数的关系 ①- b a 　 ② c a 　 例 1　 解:(1)Δ= 32 -4×1×1 = 5>0. ∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = 1; (2)原式整理得:3x2 +x- 3 = 0. Δ = 12 - 4× 3×( - 3) = 37> 0. ∴ x1 +x2 = - 1 3 ,x1x2 = -3 3 = -1. 例 2　 2　 例 3　 20　 例 4　 7　 例 5　 2　 2. 5　 一元二次方程的应用 第 1 课时　 平均变化率、销售利润问题 ①a(1+x) 2 = b　 ②a(1-x) 2 = b　 ③销售量　 例 1　 解:(1)该公司投递快递总件数的月增长率为 30% ; (2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,那 么 5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 【变式】 　 20% 　 例 2　 每件应降价 4 元. 例 3　 解:(1)y 与 x 之间的函数关系式为 y = 10x+100(0<x< 20); (2)这种排球每个的实际售价是 48 元. 例 4　 10　 第 2 课时　 几何问题 ①(a-2x)(b-2x)　 ②(a-x)(b-x)　 ③(a-x)(b-x)　 例 1　 B　 例 2　 8 或 12　 例 3　 2x　 (180+2×2x) 　 (90+2x) 　 上下边衬的宽度是 4. 5 cm. 例 4　 48 例 5　 解:(1)(6-t)　 2t　 (2)出发 2 秒后,四边形 APQC 的面积为 16 cm2 . 例 6　 15　 第 3 章　图形的相似 3. 1　 比例线段 3. 1. 1　比例的基本性质 ①内项　 ②外项　 ③bc　 例 1　 C　 【变式】 　 A　 【思考】1,9,16　 例 2　 4 ∶3　 【变式】 　 D 例 3　 -4　 3. 1. 2　成比例线段 ① m n 　 ②短　 ③长　 ④长　 例 1　 C　 例 2　 D　 例 3　 解:∵ a,b,c,d 是比例线段,∴ a ∶b= c ∶d,∴ ad= bc. (1)∵ a= 4,b= 1,c= 12, ∴ 4d= 1×12,∴ d= 3; (2)∵ a= 1. 5,b= 2. 5,d= 2,∴ 1. 5×2 = 2. 5c,∴ c= 1. 2. 【变式】 　 B　 例 4　 C　 【变式】 　 C　 例 5　 解:不正确,正确的解答如下: 设所加的线段长为 x, 则根据成比例线段得, 3 4 = 6 x 或 3 4 = x 6 或 3 x = 4 6 或 x 3 = 4 6 ,解得 x= 8 或 x= 9 2 或 x= 2. 即所加的线段长为 8 或 9 2 或 2. 3. 2　 平行线分线段成比例 ①也相等　 ②成比例　 ③平行　 ④成比例　 例 1　 2　 【变式】③④　 例 2　 4　 【变式】 　 10 3 　 例 3　 3 或 6　 3. 3　 相似图形 ①相似的　 ②相等　 ③成比例　 ④ 1 k 　 ⑤相等　 ⑥成比例 例 1　 C　 例 2　 5 ∶3　 2. 5　 例 3　 B　 例 4　 10　 3. 4　 相似三角形的判定与性质 3. 4. 1　相似三角形的判定 第 1 课时　 利用平行线判定三角形相似 ①相似　 例 1　 3　 例 2　 AF CF = 2 5 . 第 2 课时　 相似三角形的判定定理 1 ①相等　 例 1　 证明略. 例 2　 解:(1)证明略; (2)∵ AB= 5,BC= 3,∠C= 90°,∴ AC= AB2 -BC2 = 4, ∵ △ADE∽△ABC,∴ AD AB =AE AC ,即 3 5 =AE 4 ,∴ AE= 12 5 . 第 3 课时　 相似三角形的判定定理 2 ①成比例　 ②相等　 例 1　 A　 【变式】 　 解:∵ AE= 1. 5,AC= 4. 5,且 AB= 3AD, ∴ AE AC = 1 3 ,AD AB = 1 3 ,∴ AE AC =AD AB , ∵ ∠A= ∠A,∴ △ADE∽△ABC, ∴ DE BC = 1 3 ,∴ BC= 3DE= 3×2 = 6. 例 2　 2　 第 4 课时　 相似三角形的判定定理 3 ①成比例　 例 1　 解:(1)△ABC 和△DEF 不相似. 理由:∵ AB DE = 1 2 ,BC EF = 1 2 ,AC DF = 2 3 ,∴ AB DE =BC EF ≠AC DF , ∴ △ABC 和△DEF 不相似; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 38　 (2)△ABC 和△DEF 相似. 理由:∵ AB DF =BC EF = AC DE = 1 2 ,∴ △ABC∽△DFE. 例 2　 证明:∵ OA′ ∶ AA′ = OB′ ∶BB′ = 1 ∶ 2,∴ OA′ ∶OA = OB′ ∶ OB= 1 ∶3,∵ ∠A′OB′= ∠AOB,∴ △OA′B′∽△OAB,∴ A′B′ ∶ AB= 1 ∶ 3,∵ OC′ = 2,OC = 6,∴ OC′ ∶ OC = 1 ∶ 3,同理可得 △B′OC′∽△BOC,△C′OA′∽△COA,即 B′C′ ∶BC = C′A′ ∶ CA=A′B′ ∶AB= 1 ∶3,∴ △A′B′C′∽△ABC. 3. 4. 2　相似三角形的性质 第 1 课时　 相似三角形的性质 (高、角平分线、中线) ①相似比　 ②相似比　 ③相似比　 例 1　 D　 例 2　 小正方形的边长为60 61 . 例 3　 8　 例 4　 5 3 　 第 2 课时　 相似三角形的性质(面积、周长) ①相似比的平方　 ②相似比　 例 1　 A　 例 2　 AD ∶AB= 3 ∶5. 例 3　 60　 1 ∶4　 【变式】 　 另一个三角形的三边长分别为 10 cm, 25 cm, 20 cm. 3. 5　 相似三角形的应用 例 1　 河宽 AB 为 60 m. 例 2　 B　 3. 6　 位似 第 1 课时　 位似图形的概念、性质及画法 ①O　 ②射线 OP　 ③射线 OP 的反向延长线　 ④O　 ⑤互相平行　 例 1　 B　 例 2　 ①②③　 例 3　 画图略. 第 2 课时　 平面直角坐标系中的位似 ①相同　 ②坐标原点 例 1　 D　 例 2　 画图略. 　 例 3　 (1, 1 3 )或(-1,- 1 3 )　 第 4 章　锐角三角函数 4. 1　 正弦和余弦 第 1 课时　 正弦及 30°角的正弦值 ①对边　 ②斜边　 ③对边　 ④斜边　 ⑤ 1 2 　 ⑥一半　 例 1　 解:(1)sinB=AC AB =CD BC =AD AC ;(2)sinB= 4 5 . 例 2　 AC= 5 . 　 【变式设问】 5 3 　 例 3　 C　 【变式】 　 钝角　 例 4　 ④⑦　 第 2 课时　 45°,60°角的正弦值及用计算器 求锐角的正弦值或对应的锐角 ① 2 2 　 ②相等　 ③ 3 2 　 ④一半　 例 1　 原式= 1. 　 例 2　 3 2 　 【变式设问】2 3 　 例 3　 A　 例 4　 解:(1)①sin33°≈0. 544 6;②sin21°18′≈0. 363 3; (2)①∵ sinα= 0. 316 2,∴ α≈18. 43°; ②∵ sinα= 0. 726 6,∴ α≈46. 60°. 第 3 课时　 余弦 ①邻边　 ②斜边　 ③邻边　 ④斜边　 ⑤(90°-α)　 ⑥(90°-α)　 ⑦ 3 2 　 ⑧ 2 2 　 ⑨ 1 2 　 例 1　 12 13 　 【变式设问】 5 13 　 例 2　 3 4 　 【变式】 　 60　 例 3　 解:(1)原式= 0;(2)原式= 2 2 . 例 4　 (1)0. 857 2　 (2)0. 449 6　 例 5　 (1)42. 9°　 (2)27. 3° 4. 2　 正切 ①对边　 ②邻边　 ③对边　 ④邻边　 ⑤ 3 3 　 ⑥1　 ⑦ 3 　 ⑧ 2 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 2 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 1 2 　 􀃊􀁉􀁕 3 3 　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗 3 　 例 1　 2 2 　 2 4 　 【变式】 　 3　 例 2　 原式= 4- 3 . 例 3　 (1)12. 03　 (2)2. 46　 例 4　 37. 48　 例 5　 解:(1)BC= 3 5 ; (2)sinA=BC AB = 5 3 ,cosB=BC AB = 5 3 ,tanA=BC AC = 5 2 . 例 6　 ②③④　 4. 3　 解直角三角形 ①a2 +b2 = c2 　 ②∠A+∠B= 90°　 ③ b c 　 ④ a b 　 ⑤ b a 　 ⑥2　 ⑦边　 ⑧3　 例 1　 解:∵ ∠C = 90°, ∠A = 45°, ∴ ∠B = 90° - ∠A = 45°. ∵ cosB= a c ,∴ a= c·cosB= 2 2 × 2 2 = 2,∴ b= c2 -a2 = 2. 例 2　 AC= 12,BC= 16. 【变式】 　 B　 例 3　 解:在 Rt △ABC 中,由勾股定理,得 c = a2 +b2 = 4, ∵ sinA= a c = 2 3 4 = 3 2 ,∴ ∠A= 60°,∴ ∠B= 90°-60° = 30°. 例 4　 1 或 3　 4. 4　 解直角三角形的应用 第 1 课时　 与仰角、俯角及夹角 有关的应用问题 ①上方　 ②下方　 例 1　 这栋高楼的高 BC 为 60 米. 【变式】 　 C　 例 2　 旗杆的高度约为 8. 7 m. 例 3　 ∠BAC　 ∠FBA　 ∠FBD　 ∠BDE　 第 2 课时　 与坡度、坡角及方位角有关 的应用问题 ①坡角　 ②比　 ③陡　 ④北偏东 30°　 ⑤南偏东 60°　 ⑥西北 例 1　 解:(1)车库的高度 AH 为 6 米; (2)点 B 与点 C 之间的距离约为 12 米. 例 2　 解:(1)∠C 的度数为 45°; (2)B,C 两地的距离为 5 6千米. 例 3　 2 10 　 第 5 章　用样本推断总体 5. 1　 总体平均数与方差的估计 ①足够大　 ② x1 +x2 +x3 +…+xn n 　 ③越小　 ④越大　 ⑤简单随机 例 1　 C　 【变式设问】600　 例 2　 解:随机抽出的 6 株红色郁金香离地面高度的平均数 x1 、方差 s 2 1 分别为: x1 = (54+44+37+36+35+34)÷6 = 40, s21 = [(54-40) 2 + ( 44 - 40) 2 + ( 37 - 40) 2 + ( 36 - 40) 2 + ( 35 - 40) 2 +(34-40) 2 ]÷6≈49. 67. 随机抽出的 6 株黄色郁金香离地面高度的平均数 x2 、方差 s22 分别为: x2 = (48+35+38+36+43+40)÷6 = 40, s22 = [(48-40) 2 + ( 35 - 40) 2 + ( 38 - 40) 2 + ( 36 - 40) 2 + ( 43 - 40) 2 +(40-40) 2 ]÷6≈19. 67. ∵ s21 >s 2 2 ,∴ 随机抽出的 6 株黄色郁金香长得比较整齐, ∴ 该公园的红、黄两种颜色的郁金香中,黄色的郁金香长 得比较整齐. 5. 2　 统计的简单应用 第 1 课时　 用样本的“率”去估计总体相应的“率” ①百分比　 ②简单随机　 例 1　 解:(1)0. 22　 20　 26　 0. 26 (2)这次考试的优秀率是 42%,该县理化实验操作考试成 绩为优秀的约有 5 880 名学生. 例 2　 750　 第 2 课时　 对事物的发展趋势做出判断和预测 例 1　 解:(1)50　 30　 (2)B 组的频数为 50×20% = 10, 补全频数分布直方图如解图; (3) 1 200×(10% +20% +30% )= 720(万户), 答:估计该市不受影响的家庭总户数为 720 万户. 例 2　 解:(1)①③　 (2)B　 (3)2024 年上半年,该市小学在校学生共有 81. 6 万人. 第 1 章　二次函数 1. 1　 二次函数 ①y=ax2 +bx+c　 ②常数项　 ③2　 ④二次项　 例 1　 解:(1)y= 2x2 -3 是二次函数,二次项系数是 2、一次项 系数是 0、常数项是-3; (2)y=(2x-1)(1-x)= -2x2+3x-1 是二次函数,二次项系数是-2、 一次项系数是 3、常数项是-1; (3)y= 1 x2 +1 不是二次函数. 例 2　 -2　 例 3　 解:(1)S= 2x2 +24x,V= 6x2 ; (2)它们是关于 x 的二次函数. 例 4　 y= - 1 2 x2 +6x　 0< x≤8　 1. 2　 二次函数的图象与性质 第 1 课时　 二次函数 y=ax2(a>0)的图象与性质 ①越小　 ②越大　 ③小　 例 1　 解:画图略. 共同点:图象的开口均向上;对称轴都是 y 轴;函数都有最 小值为 0;在 y 轴左侧,y 随 x 的增大而减小,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而增大. 不同点:开口大小不同. 例 2　 上　 (0,0)　 y 轴(或直线 x= 0)　 <0　 第 2 课时　 二次函数 y=ax2(a<0)的图象与性质 ①越小　 ②越大　 例 1　 解:画图略. . 图象特点:①开口向下;②过原点;③图象经过第三、四象 限. (答案不唯一) 例 2　 ①③②　 例 3　 解:(1)当 a>0 时,函数图象有最低点,最低点的坐标为 (0,0) . (2)①抛物　 下 　 y 轴(或直线 x = 0) 　 (0,0) 　 大 　 0　 ②<　 > 例 4　 解:当 m> 0 时,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而增大,则 x1 >x2 >0 时,y1 >y2 ; 当 m<0 时,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而减小,则 x1 >x2 > 0 时,y1 <y2 . 第 3 课时　 二次函数 y=a(x-h) 2(a≠0) 的图象与性质 ①直线 x=h　 ②(h,0)　 ③向上　 ④向下　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨0　 ⑩0　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 吃透教材 广西数学(XJ) 3. 4　 相似三角形的判定与性质 3. 4. 1　相似三角形的判定 第 1 课时　 利用平行线判定三角形相似 一阶 教材知识梳理 相似三角形的判定:平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 截得的三角形与原三角形 ①　 相似　 . 【常见模型】利用平行线判定三角形相似的常见模型(∵ DE∥BC,∴ △ABC∽△ADE) . 　 　 　 　 二阶 教材母题变式 教材母题　利用平行线判定三角形相似 例 1　 (教材 P78 例 2 改编)如图,已知 AB∥EF∥CD,AD 与 BC 相交于点 O. 则图中相似的三角形 有　 3　 对. 【知识拓展】平行于三角形一边的直线,与其他两边的延长线相交,截得的三角形与原三角形也相似. 例 2　 如图,在△ABC 中,点 D 是边 BC 的中点,点 E 在 BA 的延长线上,连接 DE 交 AC 于点 F,AG∥ BC 交 DE 于点 G,且AE AB = 2 3 ,求AF CF 的值. 解:∵AG∥BC,∴△EAG∽△EBD, ∴AG BD =AE BE = 2 5 , ∵点 D 是边 BC 的中点, ∴BD=DC,∴AG DC = 2 5 , ∵AG∥BC,∴△AGF∽△CDF, ∴AF CF =AG DC = 2 5 . 【温馨提示】利用平行线判定三角形相似时,应注意三角形的对应线段,如本题中所求AF CF 分别在 △AGF 和△DFC 中,而与其相关联的 AG 同时在△AGE 和△AGF 中,切勿与平行线分线段成比例中 的概念混淆,即线段 AB 和 GD 不存在于相似三角形的对应边构成的比例式中. 13 吃透教材 广西数学(XJ) 第 2 课时　 相似三角形的判定定理 1 一阶 教材知识梳理 相似三角形的判定定理 1:两角分别①　 相等　 的两个三角形相似. 【常见模型】利用两角分别相等判定三角形相似的常见模型: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 二阶 教材母题变式 教材母题　两角分别相等的两个三角形相似 例 1　 (教材 P82 例 5 改编)如图,在△ABC 和△DEF 中,∠A= 40°,∠B= 80°,∠E= 80°,∠F= 60°. 求 证:△ABC∽△DEF. 　 证明:∵在△ABC 中,∠A= 40°,∠B= 80°, ∴∠C= 180°-∠A-∠B= 60°. ∵在△DEF 中,∠E= 80°,∠F= 60°, ∴∠B=∠E,∠C=∠F, ∴△ABC∽△DEF. 例 2　 (教材 P82 练习 T2 改编)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,点 D 在 AC 上,DE⊥AB 于点 E. (1)求证:△ADE∽△ABC; (2)若 AB= 5,BC=AD= 3,求 AE 的长. (1)证明:∵DE⊥AB 于点 E,∠C= 90°, ∴∠AED=∠C= 90°, ∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC; (2)解:∵AB= 5,BC= 3,∠C= 90°, ∴AC= AB2-BC2 = 4, ∵△ADE∽△ABC, ∴AD AB =AE AC ,即 3 5 =AE 4 , ∴AE= 12 5 . 【方法指导】利用两角判定三角形相似时,找相等角的常见思路:(1)对顶角、公共角;(2)同角或等 角的余角或补角相等;(3)角平分线的定义;(4)由平行线得同位角、内错角相等;(5)平移、旋转、折 叠前后对应角相等. 23 吃透教材 广西数学(XJ) 第 3 课时　 相似三角形的判定定理 2 一阶 教材知识梳理 相似三角形的判定定理 2:两边①　 成比例　 且夹角②　 相等　 的两个三角形相似. 几何语言:如图,在△ABC 和△DEF 中,若AB DE = AC DF ,且∠A= ∠D, 则△ABC∽△DEF. 二阶 教材母题变式 教材母题　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 例 1　 (教材 P82 练习 T2 改编)如图,在△ABC 中,∠A = 78°,AB = 6,AC = 9. 将△ABC 沿图示中的虚 线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( A ) 　 A 　 B 　 C 　 D 【变式】如图,D,E 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的点,AE = 1. 5,AC = 4. 5,DE = 2,且 AB = 3AD,求 BC 的长. 解:∵AE= 1. 5,AC= 4. 5,且 AB= 3AD, ∴AE AC = 1 3 ,AD AB = 1 3 ,∴AE AC =AD AB , ∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC, ∴DE BC = 1 3 ,∴BC= 3DE= 3×2= 6. 【方法总结】若题目中出现等积式或线段的倍数关系时,需将等积式或倍数关系化为比例式,再对 应到两个相似三角形的两边对应成比例. 如由本题可得AD AB = 1 3 ,AE AC = 1 3 . 三阶 易错剖析 易错点　当两边对应成比例，但相等的角不是夹角时，两个三角形不一定相似 例 2　 已知△MNP 如图所示,则下列四个三角形中与△MNP 相似的有　 2　 个. 　 　 　 ① 　 　 　 ② 　 　 　 ③ 　 　 　 ④ 特 别 提 醒 由两边及等角判定三角形相似时要注意,该等角一定是成比例的两边的夹角. 若等角 为其中一边的对角时,相似不一定成立,如本题中的①. 33 吃透教材 广西数学(XJ) 第 4 课时　 相似三角形的判定定理 3 一阶 教材知识梳理 相似三角形的判定定理 3:三边①　 成比例　 的两个三角形相似. 二阶 教材母题变式 教材母题　三边成比例的两个三角形相似 例 1　 (教材 P84 例 8 改编)已知△ABC 和△DEF,根据下列条件判断它们是否相似,并说明理由. (1)AB= 3,BC= 4,AC= 6,DE= 6,EF= 8,DF= 9; (2)AB= 4,BC= 8,AC= 10,DE= 20,EF= 16,DF= 8. 解:(1)△ABC 和△DEF 不相似. 理由:∵AB DE = 1 2 ,BC EF = 1 2 ,AC DF = 2 3 , ∴AB DE =BC EF ≠AC DF , ∴△ABC 和△DEF 不相似; (2)△ABC 和△DEF 相似. 理由:∵AB DF =BC EF =AC DE = 1 2 , ∴△ABC∽△DFE. 【方法总结】利用三边成比例判定三角形相似的步骤:(1)将每个三角形的三条线段按从小到大排 列;(2)分别计算两条最短线段的比、中等线段的比、最长线段的比;(3)判断三组线段的比是否相 等:若相等,则相似;反之,则不相似. 例 2　 (教材 P85 练习 T1 改编)如图,O 为△ABC 内一点,A′,B′,C′分别是 OA,OB,OC 上的点,且 OA′ ∶AA′=OB′ ∶BB′= 1 ∶2,且 OC′= 2,OC= 6. 求证:△A′B′C′∽△ABC. 证明:∵OA′ ∶AA′=OB′ ∶BB′= 1 ∶2, ∴OA′ ∶OA=OB′ ∶OB= 1 ∶3, ∵∠A′OB′=∠AOB, ∴△OA′B′∽△OAB, ∴A′B′ ∶AB= 1 ∶3, ∵OC′= 2,OC= 6, ∴OC′ ∶OC= 1 ∶3, 同理可得△B′OC′∽△BOC, △C′OA′∽△COA, 即 B′C′ ∶BC=C′A′ ∶CA=A′B′ ∶AB= 1 ∶3, ∴△A′B′C′∽△ABC. 43