3.1 比例线段(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

第 3 章　图形的相似 广西数学(XJ) 3. 1　 比例线段 3. 1. 1　比例的基本性质 一阶 教材知识梳理 1.成比例:已知四个实数 a,b,c,d,如果 a ∶b= c ∶d 或 a b = c d ,则称 a,b,c,d 成比例,其中 b,c 称为比例 ①　 内项　 ,a,d 称为比例②　 外项　 . 2.比例的基本性质:如果 a b = c d ,那么 ad= ③　 bc　 . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　比例及其相关概念 例 1　 (教材 P63 练习 T1 改编)已知 3,4,5,x 成比例,则 x 的值为 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 12 5 B. 15 4 C. 20 3 D. 6 【变式】已知三个数为 3,4,12,若再添加一个数,使这四个数能组成一个比例,则这个数可以是 ( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【方法总结】若题目中说明四个非零实数 a,b,c,d 成比例,用比例式表示为 a b = c d ,注意不能将顺序 弄错. 若未说明顺序,则需要分类讨论. 【思考】“变式”中添加的这个数可以是哪些数? 答:1,9,16 教材母题 2　比例的基本性质 例 2　 (教材 P63 例 2 改编)若 3a= 4b,则 a ∶b= 　 4 ∶3　 . 【变式】已知 x y = 2 3 ,则下列式子一定正确的是 ( D ) A. x= 2,y= 3 B. 2x= 3y C. x -y y = 1 3 D. x +y y = 5 3 例 3　 (教材 P67 习题 T5 改编)若 a b = c d = e f = -5,且 a+c+e= 20,则 b+d+f 的值是　 -4　 . 【方法总结】根据比例式求值的常见方法:(1)利用比例的基本性质求值;(2)代入法:根据已知比 例式,用一个字母表示出另一个字母,再代入所求式子中化简;(3)设参数法:将已知比例的每份设 为 k 或比值设为 k,用含 k 的代数式表示各字母并化简. 【知识拓展】 (1)等比性质:如果 a b = c d =…= m n (b+d+…+n≠0),那么a +c+…+m b+d+…+n = a b ; (2)合比性质:如果 a b = c d ,那么a +b b = c+d d ;　 　 (3)分比性质:如果 a b = c d ,那么a -b b = c-d d ; (4)更比性质:如果 a b = c d ,那么 a c = b d 或 d b = c a ;　 　 (5)反比性质:如果 a b = c d ,那么 b a = d c . 62 吃透教材 广西数学(XJ) 3. 1. 2　成比例线段 一阶 教材知识梳理 1.线段的比:一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段 AB,A′B′的长度分别为 m,n,那么把它们 的长度的比①　 　 　 　 叫作这两条线段 AB 与 A′B′的比. 2.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作 成比例线段,简称比例线段. 3.黄金分割:如果能将一条线段 AB 分成不相等的两部分( 如图),使较② 　 短 　 线段 CB 与较 ③　 长　 线段 AC 的比等于线段 AC 与原线段 AB 的比,即CB AC = AC AB ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分 割,点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点,较④　 长　 线段 AC 与原线段 AB 的比叫作黄金分割比. 【温馨提示】一条线段一定可以被黄金分割,黄金分割比为 5 -1 2 ≈0. 618. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　线段的比 例 1　 (教材 P66 练习 T2 改编)在比例尺是 1 ∶1 000 的图纸上,测得一块长方形的土地长 5 厘米,宽 4 厘米,则这块土地的实际面积是 ( C ) A. 200 平方米 B. 500 平方米 C. 2 000 平方米 D. 20 000 平方米 例 2　 (教材 P67 习题 T2 改编)已知线段 a,b,c 满足 a b = b c ,其中 a= 4 cm,b= 12 cm,则 c 的长为 ( D ) A. 9 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 36 cm 教材母题 2　比例线段 例 3　 (教材 P66 练习 T1 改编)已知 a,b,c,d 是比例线段. (1)若 a= 4,b= 1,c= 12,求 d; (2)若 a= 1. 5,b= 2. 5,d= 2,求 c. 解:∵ a,b,c,d 是比例线段,∴ a ∶b=c ∶d,∴ ad=bc. (1)∵ a= 4,b= 1,c= 12, ∴4d= 1×12,∴ d= 3; (2)∵ a= 1. 5,b= 2. 5,d= 2,∴1. 5×2= 2. 5c,∴ c= 1. 2. 【变式】下列各组线段中是成比例线段的是 ( B ) A. 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B. 1 cm,2 cm,2 cm,4 cm C. 3 cm,5 cm,9 cm,13 cm D. 1 cm,2 cm,2 cm,3 cm 【方法总结】判断四条线段是否成比例的一般步骤:(1)将四条线段的长度单位化为统一;(2)将四 条线段按长短顺序排列;(3)计算前两条线段的比是否等于后两条线段的比或前后两条线段的积 是否等于中间两条线段的积. 72 吃透教材 广西数学(XJ) 教材母题 3　黄金分割 例 4　 (教材 P67 习题 T4 改编)黄金分割被很多人认为是“最美比例”,是因为它符合人们的视觉习 惯和审美心理,能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品. 在自然界中黄金分割也很 常见,如图是一个有着“最美比例” 的鹦鹉螺,点 B 是线段 AC 的黄金分割点,AB>BC,若 AC = 16 cm,那么 AB 的长为( C )cm. A. 24-8 5 B. 48-16 5 C. 8 5 -8 D. 16 5 -16 例 4 题图 　 　 　 　 　 变式题图 【方法总结】与黄金分割有关的解题技巧:(1)每条线段的黄金分割点有两个;(2)被黄金分割的较 长线段= 5 -1 2 ×全线段,较短线段= 3 - 5 2 ×全线段. 【变式】(教材 P67 习题 T6 改编)采用如下方法可以得到黄金分割点:如图,AB 是已知线段,经过点 B 作 BD⊥AB,使 BD= 1 2 AB,连接 DA,在 DA 上截取 DE=DB;在 AB 上截取 AC=AE,点 C 就是线段 AB 的黄 金分割点.若 AB= 2,则 BC= ( C ) A. 5 -1 2 B. 5 -1 C. 3- 5 D. 5 -2 三阶 易错剖析 易错点　求比例线段时未分类讨论而出错 例 5　 已知三条线段长分别为 3,4,6,请再加一条线段使得该四条线段成为比例线段. 下列是小虎的 解答过程. 解:设所加的线段长为 x,则 3 4 = 6 x , 解得 x= 8, 则要加的线段长为 8. 请分析以上小虎的解答是否正确? 若不正确,请说明理由,并写出正确的解答过程. 解:不正确,正确的解答如下: 设所加的线段长为 x, 则根据成比例线段得, 3 4 = 6 x 或 3 4 = x 6 或 3 x = 4 6 或 x 3 = 4 6 , 解得 x= 8 或 x= 9 2 或 x= 2. 即所加的线段长为 8 或 9 2 或 2. 特 别 提 醒 当四条成比例的线段中含未知长度的线段且与已知长度线段的大小关系不确定时, 应分类讨论未知线段在已知三条线段中四种不同位置的情况. 82 37　 　 (3)当 y≤3 000 = 0. 3 万元时,即60 x ≤0. 3,解得 x≥200. 答:若计划平均每月偿还贷款不超过 3 000 元,则至少需要 200 个月还清. 例 2　 解:(1)v 与 t 的函数表达式为 v= 24 t ; (2)当 v=120 时,t= 24 120 =0. 2,当 v=80 时,t= 24 80 =0. 3, ∴ 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间 AB 段的时间范 围为 0. 2≤t≤0. 3. 例 3　 解:(1)p= 4. 8 V (V>0); (2)当 p= 150 时,V = 4. 8 150 = 0. 032,∴ 4 3 × 3r3 = 0. 032,解得 r= 0. 2, ∵ k= 4. 8> 0,∴ p 随 V 的增大而减小,∴ 要使气球不会爆 炸,则 V≥0. 032,此时 r≥0. 2, ∴ 估计气球的半径至少为 0. 2 m 时,气球不会爆炸; (3)由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大则容易导 致爆胎. 例 4　 l1 <l2 　 第 2 章　一元二次方程 2. 1　 一元二次方程 ①0　 ②一个　 ③二　 ④a,b,c　 ⑤二次项系数　 例 1　 D　 【变式 1】 　 解:x2 -mx(2x-m+ 1) = x,x2 - 2mx2 +m2x-mx = x, (1-2m)x2 +(m2 -m-1)x= 0, 当 1-2m≠0,即 m≠ 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx( 2x-m+ 1)= x 是一元二次方程. 当 m= 1 2 时,1-2m= 0,此时原方程不是一元二次方程. 【变式 2】 　 3x2 -3x-5 = 0　 3　 -3　 -5　 例 2　 (32-2x)　 (20-x)　 (32-2x)(20-x)= 570 【变式应用】(1)x2 -7x+6 = 0　 (2)x2 +2x-48 = 0　 例 3　 1　 2. 2　 一元二次方程的解法 2. 2. 1　配方法 第 1 课时　 利用平方根的意义解一元二次方程 ① p 　 ②降次　 例 1　 C　 【变式】 　 4　 例 2　 x1 = 7 ,x2 = - 7 　 【变式】 　 (1)x1 = 5,x2 = -5;(2)x1 = 5 9 ,x2 = - 5 9 . 例 3　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 3,x2 = -1. 例 4　 x1 = -7,x2 = - 1 3 . 第 2 课时　 配方法———二次项系数为 1 ①一次项系数的一半　 ②一元一次　 例 1　 (1)2　 1　 (2)-　 (-5)　 (3) 3 2 　 (- 7 4 )　 【变式】 　 C　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -9;(2)x1 = 4,x2 = 2. 例 3　 -3 例 4　 解:(1)配方法　 (2)②　 等号右边没有加 9 (3)正确的解答过程为: x2 +6x-4 = 0, 移项,得 x2 +6x= 4, 配方,得 x2 +6x+9 = 4+9,即(x+3) 2 = 13, ∴ x+3 = ± 13 ,∴ x+3 = 13或 x+3 = - 13 , ∴ x1 = 13 -3,x2 = - 13 -3. 【变式】 　 B　 第 3 课时　 配方法———二次项系数不为 1 ①1　 ②配方　 例 1　 (1)x1 = -2+ 6 2 ,x2 = -2- 6 2 ; (2)x1 = 10 +3 2 ,x2 = - 10 +3 2 . 例 2　 C　 2. 2. 2　公式法 ①x= -b± b2 -4ac 2a 　 例 1　 (1)x1 = 4+ 21 ,x2 = 4- 21 ; (2)x1 = x2 = 2 2 ; (3)此方程无实数根. 【变式】 　 A　 例 2　 解:(1)一　 (2)原方程化为 x2 -5x- 1 = 0,∵ a = 1,b = - 5,c = - 1,∴ b2 - 4ac= ( - 5) 2 - 4 × 1 × ( - 1) = 29 > 0. ∴ x = 5± 29 2 , ∴ x1 = 5- 29 2 ,x2 = 5+ 29 2 . 2. 2. 3　因式分解法 第 1 课时　 用因式分解法解一元二次方程 ①降次　 ②一元一次　 例 1　 C　 【变式】 　 x1 = 1,x2 = 5. 例 2　 x1 = 2,x2 = 2 3 　 例 3　 (1)x1 = 3 7 ,x2 = -5;　 (2)x1 = x2 = 4. 例 4　 (x+5) 2 -4 = 0　 (x+3)(x+7)= 0　 -3　 -7　 第 2 课时　 用适当的方法解一元二次方程 ①直接开平方法　 ②配方法 　 ③因式分解法 　 ④公式法 　 例 1　 A　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 ; (3)x1 = -2,x2 = 1;(4)x1 = 3,x2 = -1. 2. 3　 一元二次方程根的判别式 ①Δ　 ②Δ= b2 -4ac　 ③两个相等　 ④没有　 例 1　 A　 例 2　 (1)此方程有两个不相等的实数根; (2)此方程有两个相等的实数根; (3)此方程没有实数根. 例 3　 k≥- 1 8 且 k≠0　 【变式 1】 　 B　 【变式 2】 　 -4<k<4　 例 4　 k>3 且 k≠5　 例 5　 k 的取值范围为 k≥- 1 8 . ※2. 4　 一元二次方程根与系数的关系 ①- b a 　 ② c a 　 例 1　 解:(1)Δ= 32 -4×1×1 = 5>0. ∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = 1; (2)原式整理得:3x2 +x- 3 = 0. Δ = 12 - 4× 3×( - 3) = 37> 0. ∴ x1 +x2 = - 1 3 ,x1x2 = -3 3 = -1. 例 2　 2　 例 3　 20　 例 4　 7　 例 5　 2　 2. 5　 一元二次方程的应用 第 1 课时　 平均变化率、销售利润问题 ①a(1+x) 2 = b　 ②a(1-x) 2 = b　 ③销售量　 例 1　 解:(1)该公司投递快递总件数的月增长率为 30% ; (2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,那 么 5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 【变式】 　 20% 　 例 2　 每件应降价 4 元. 例 3　 解:(1)y 与 x 之间的函数关系式为 y = 10x+100(0<x< 20); (2)这种排球每个的实际售价是 48 元. 例 4　 10　 第 2 课时　 几何问题 ①(a-2x)(b-2x)　 ②(a-x)(b-x)　 ③(a-x)(b-x)　 例 1　 B　 例 2　 8 或 12　 例 3　 2x　 (180+2×2x) 　 (90+2x) 　 上下边衬的宽度是 4. 5 cm. 例 4　 48 例 5　 解:(1)(6-t)　 2t　 (2)出发 2 秒后,四边形 APQC 的面积为 16 cm2 . 例 6　 15　 第 3 章　图形的相似 3. 1　 比例线段 3. 1. 1　比例的基本性质 ①内项　 ②外项　 ③bc　 例 1　 C　 【变式】 　 A　 【思考】1,9,16　 例 2　 4 ∶3　 【变式】 　 D 例 3　 -4　 3. 1. 2　成比例线段 ① m n 　 ②短　 ③长　 ④长　 例 1　 C　 例 2　 D　 例 3　 解:∵ a,b,c,d 是比例线段,∴ a ∶b= c ∶d,∴ ad= bc. (1)∵ a= 4,b= 1,c= 12, ∴ 4d= 1×12,∴ d= 3; (2)∵ a= 1. 5,b= 2. 5,d= 2,∴ 1. 5×2 = 2. 5c,∴ c= 1. 2. 【变式】 　 B　 例 4　 C　 【变式】 　 C　 例 5　 解:不正确,正确的解答如下: 设所加的线段长为 x, 则根据成比例线段得, 3 4 = 6 x 或 3 4 = x 6 或 3 x = 4 6 或 x 3 = 4 6 ,解得 x= 8 或 x= 9 2 或 x= 2. 即所加的线段长为 8 或 9 2 或 2. 3. 2　 平行线分线段成比例 ①也相等　 ②成比例　 ③平行　 ④成比例　 例 1　 2　 【变式】③④　 例 2　 4　 【变式】 　 10 3 　 例 3　 3 或 6　 3. 3　 相似图形 ①相似的　 ②相等　 ③成比例　 ④ 1 k 　 ⑤相等　 ⑥成比例 例 1　 C　 例 2　 5 ∶3　 2. 5　 例 3　 B　 例 4　 10　 3. 4　 相似三角形的判定与性质 3. 4. 1　相似三角形的判定 第 1 课时　 利用平行线判定三角形相似 ①相似　 例 1　 3　 例 2　 AF CF = 2 5 . 第 2 课时　 相似三角形的判定定理 1 ①相等　 例 1　 证明略. 例 2　 解:(1)证明略; (2)∵ AB= 5,BC= 3,∠C= 90°,∴ AC= AB2 -BC2 = 4, ∵ △ADE∽△ABC,∴ AD AB =AE AC ,即 3 5 =AE 4 ,∴ AE= 12 5 . 第 3 课时　 相似三角形的判定定理 2 ①成比例　 ②相等　 例 1　 A　 【变式】 　 解:∵ AE= 1. 5,AC= 4. 5,且 AB= 3AD, ∴ AE AC = 1 3 ,AD AB = 1 3 ,∴ AE AC =AD AB , ∵ ∠A= ∠A,∴ △ADE∽△ABC, ∴ DE BC = 1 3 ,∴ BC= 3DE= 3×2 = 6. 例 2　 2　 第 4 课时　 相似三角形的判定定理 3 ①成比例　 例 1　 解:(1)△ABC 和△DEF 不相似. 理由:∵ AB DE = 1 2 ,BC EF = 1 2 ,AC DF = 2 3 ,∴ AB DE =BC EF ≠AC DF , ∴ △ABC 和△DEF 不相似; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案