专题1.3 反比例函数的应用（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

专题1.3 反比例函数的应用（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 利润问题】 1 【题型2 工程问题】 2 【题型3 行程问题】 4 【题型4 物理问题】 5 【题型5 图形问题】 7 【题型6 表格问题】 8 【题型7 分段函数问题】 12 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 利润问题】 【例1】（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【变式1-1】（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-2】校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件． (1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围)； (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？ 【变式1-3】某超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多20元/件，用2000元购进甲种商品的件数与用1600元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小丽用950元只购买乙种商品，她购买乙种商品件数y（件），该商品的销售单价x（元），列出y与x函数关系式？若超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，那么小丽最多可以购买多少件乙种商品？ 【题型2 工程问题】 【例2】（22-23九年级上·重庆铜梁·开学考试）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【变式2-2】（2022·浙江杭州·一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【变式2-3】（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【题型3 行程问题】 【例3】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h． (1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)； (2)若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围． 【变式3-1】（2025·吉林松原·模拟预测）去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息技术与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度 ；求其载重后总质量时，它的最快移动速度． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【题型4 物理问题】 【例4】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【变式4-1】（2025·山西长治·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)若，求密度的变化范围． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离． 该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下： 左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/ ... ... 任务：根据实验数据：__________，__________． 任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题： 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由； 若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围． 任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立） 【题型5 图形问题】 【例5】（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【变式5-1】某中学要在校园内划出一块面积为100m2的三角形土地做花圃，设这个三角形的一边长为xm，这条边上的高为ym，那么y关于x的函数解析式是 ，它是一个 函数． 【变式5-2】（2025八年级下·全国·专题练习）用若根火柴首尾相接摆成一个长方形，设每一根火柴的长度为，长方形两条邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为． (1)求关于的函数表达式； (2)能否摆成正方形？请说明理由． 【变式5-3】（22-23九年级上·广东广州·期末）某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h． (1)求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (2)若底面S为，则水池高度为多少m？ (3)楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？ 【题型6 表格问题】 【例6】（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房． (1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处； (2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？ 【变式6-1】（2023·北京昌平·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【变式6-2】（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【变式6-3】（2025·广西南宁·一模）综合与实践：生物生长规律的模型研究 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：天）的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【题型7 分段函数问题】 【例7】（22-23九年级上·山东淄博·期中）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【变式7-1】（2025·辽宁铁岭·三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 【变式7-2】（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东济南·期中）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)玻璃加热速度为 ； (2)求能够对玻璃进行加工的时长； (3)玻璃从降至室温需要的时间为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 反比例函数的应用（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 利润问题】 1 【题型2 工程问题】 5 【题型3 行程问题】 9 【题型4 物理问题】 12 【题型5 图形问题】 17 【题型6 表格问题】 20 【题型7 分段函数问题】 27 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 利润问题】 【例1】（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】(1) (2)8天 (3)能 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 【变式1-1】（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等， ∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方， ∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润． 故选C． 【变式1-2】校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件． (1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围)； (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)5元/件 【分析】（1）由“销售额=销售量×单价”列出函数关系式； （2）设该物品的售价应定为x元/件，结合“利润=销售量×差价”列出函数式，并解答． 【详解】（1）解：依题意得：， 则； （2）设该物品的售价应定为x元/件， 依题意得：， 解得， 经检验，是方程的根且符合题意． 答：该物品的售价应定为5元/件． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 【变式1-3】某超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多20元/件，用2000元购进甲种商品的件数与用1600元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小丽用950元只购买乙种商品，她购买乙种商品件数y（件），该商品的销售单价x（元），列出y与x函数关系式？若超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，那么小丽最多可以购买多少件乙种商品？ 【答案】(1)甲100元，乙80元；(2)，9件 【分析】(1)设每件乙种商品的价格为元，则每件甲种商品的价格为()元，根据“数量=总价÷单价”结合用2000元购买甲种商品的件数恰好与用1600元购买乙种商品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论； (2)根据“购买件数=钱数÷销售单价”即可求得y与x函数关系式；根据关系式：售价≥进价×(1+20%)进行计算即可． 【详解】(1)设每件乙种商品的价格为元，则每件甲种商品的价格为()元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：每件乙种商品的价格为80元，每件甲种商品的价格为100元； (2)小丽用950元能购买销售单价元的商品件， ∴； 超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润， ∴超市销售乙种商品的销售价为：(元)； 小丽最多可以购买乙种商品：， ∴小丽最多可以购买乙种商品件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据“数量=总价÷单价”，列出关于的分式方程；(2)根据“总价=单价×购买数量”，列出关于的反比例函数，根据关系式“售价≥进价×(1+20%)”确定超市的销售价． 【题型2 工程问题】 【例2】（22-23九年级上·重庆铜梁·开学考试）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨． 【答案】376 【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨． 【详解】解：设甲车每次运吨， 乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨， 乙车每次运（吨，丙车每次运吨， 甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等， 丁车每次运吨， ，，，都是整数， 是6的倍数，最小为6， 设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次， 甲车共运输了120吨， ， ， 根据题意得： ， 当最小时，取最大值， 时，最大为（吨， 这批建筑材料最多有376吨， 故答案为：376． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 【变式2-2】（2022·浙江杭州·一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】(1)①；② (2)125辆 【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可； （2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可； 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵函数在上递减， ∴当x=80时，函数值最小，此时， ∴y≥12500； （2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米， ∴至少需要卡车：12500÷100=125辆； 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键． 【变式2-3】（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 【题型3 行程问题】 【例3】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h． (1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)； (2)若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围． 【答案】(1) (2)李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）将代入v关于t的函数表达式，再结合题意即可得小汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：由题意可得从甲地到乙地路程为：， 与的关系式为：； （2）解：在中， 令， ，当时，随的增大而减小， ， 又此公路限速， 答：李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是． 【变式3-1】（2025·吉林松原·模拟预测）去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息技术与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度 ；求其载重后总质量时，它的最快移动速度． 【答案】其载重后总质量时，它的最快移动速度． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据待定系数法求出反比例函数解析式，代入数据即可求解，掌握反比例函数的应用是解题的关键． 【详解】解：反比例函数的解析式为， 该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， ， 当时，， 其载重后总质量时，它的最快移动速度， 答：其载重后总质量时，它的最快移动速度． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）把代入（1）中的函数关系式中求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 所以v与t的关系式为：； （2）解：当时，． 答：小汽车速度为时，从乙地到甲地需要． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 【题型4 物理问题】 【例4】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【答案】(1) (2)这块薄木板的面积至少． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； （2）解：把，代入 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 【变式4-1】（2025·山西长治·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的解析式．将点代入即可得到答案． 【详解】解：将代入得， ． 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)若，求密度的变化范围． 【答案】(1)（） (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将和代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答， 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 当时，代入，可得， 解得：． ∴当时，密度的变化范围为． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离． 该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下： 左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/ ... ... 任务：根据实验数据：__________，__________． 任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题： 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由； 若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围． 任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立） 【答案】任务一：，  任务二：是，解析式是   任务三：不正确，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． 任务：根据杠杆平衡的条件计算即可解答； 任务：画出图象即可判断是反比例函数图象的一支，再根据表格以及杠杆平衡的条件即可求出反比例函数解析式； 分别求出当时和时的值，即可解答； 任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，根据杠杆平衡原理得：，，解得：，，所以，因为，所以，即可得出结论． 【详解】解：任务：， ， ， ， 故答案为：，； 任务： 这条曲线是反比例函数的一支，解析式为：，即； 当时，，当时，， 可变化的范围为时，左侧砝码质量变化范围是：； 任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为， 根据杠杆平衡原理，有：，， 解得：，， 则， 因为，所以， 所以该成员两次称得的食盐总质量超过了， （利用作差法：当时，进行判断也可给分）． 【题型5 图形问题】 【例5】（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． 【变式5-1】某中学要在校园内划出一块面积为100m2的三角形土地做花圃，设这个三角形的一边长为xm，这条边上的高为ym，那么y关于x的函数解析式是 ，它是一个 函数． 【答案】 y＝ 反比例 【分析】根据等量关系“三角形的高=面积×2÷边长”即可求解． 【详解】解：根据等量关系“三角形的高=面积×2÷边长”即可列出关系式y=（x＞0）， 这是一个反比例函数． 故答案为：y=（x＞0），反比例． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 【变式5-2】（2025八年级下·全国·专题练习）用若根火柴首尾相接摆成一个长方形，设每一根火柴的长度为，长方形两条邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为． (1)求关于的函数表达式； (2)能否摆成正方形？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】此题考查反比例函数的实际运用，开平方，掌握长方形和正方形的面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据长方形的长面积宽列出函数解析式即可； （2）正方形的边长相等，说明、相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立． 【详解】（1）解：∵长方形两条邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为， ∴， ∵每一根火柴的长度为， ∴长方形两条邻边的长只能为正整数， ∴可以取， ∴； （2）解：不能摆成正方形．理由如下： 因为， 解得：（负值舍），不是整数， 所以不能摆成正方形． 【变式5-3】（22-23九年级上·广东广州·期末）某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h． (1)求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (2)若底面S为，则水池高度为多少m？ (3)楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？ 【答案】(1)与的函数关系式为，函数大致图象如图所示． (2)底面积为时，水池高度为 (3)水池高度的取值范围为 【分析】（1）根据底面积高体积即可列式，再列表，描点，连线画图象即可． （2）将代入（1）中表达式即可求值． （3）先求底面积的范围，接着根据表达式求对应的高的范围． 【详解】（1）解：水池的总储水量为， ， ， 所以与的函数关系式为， 函数大致图象如图所示： （2）解：当时， ， 故底面积为时，水池高度为． （3）解：规定水池地面边长不超过楼顶平面宽的， 水池边长， 由题意得， 又， ， ， 故水池高度的取值范围为． 【点睛】本题考查列函数关系式，画函数图象，求未知量的值，求变量的取值范围．正确理解题意是关键． 【题型6 表格问题】 【例6】（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房． (1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处； (2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？ 【答案】(1)1.2 (2)①；②该行对应的视力值是 【分析】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． （1）由轴对称的性质即可得到答案． （2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式．②把，代入，即可得到答案． 【详解】（1）解：（米）， ∴测试线应画在距离墙的米处； （2）解：①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 设， 把，代入得到， ∴视力值V与字母宽度a的函数关系是， ②把，代入，得， ∴该行对应的视力值是． 【变式6-1】（2023·北京昌平·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 【分析】先建立平面直角坐标系，然后描出各点，观察这些点的分别规律即可得出结论． 【详解】解：如图，以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的点，，，，：    观察图中各点的分布规律，可知它们都在同一条直线上， ∴箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是一次函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象是一条直线是解题的关键． 【变式6-2】（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 【变式6-3】（2025·广西南宁·一模）综合与实践：生物生长规律的模型研究 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：天）的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【答案】（1）该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁；（2）；（3）该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天，理由见解析；（4）见解析 【分析】本题考查二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）根据函数的性质解答即可； （4）根据（3）的计算结果和作比较解答即可． 【详解】（1）将，代入， 得， ． ． 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）当，， ． （3）由模型1可知，当时，随的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； （或由模型2可知，当时，随的增大而减小，符合砗磲的生长规律．） 选择模型2． 当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． （4）因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 【题型7 分段函数问题】 【例7】（22-23九年级上·山东淄博·期中）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】(1) (2)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【分析】（1）由表格可推得：为定值，即当时，y是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． 【详解】（1）解：， y是x的反比例函数， （2）解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下： 当时，， y随x的增大而减小， 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数以及有关性质． 【变式7-1】（2025·辽宁铁岭·三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 【答案】(1) (2)物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为30时的两个时间，再将两时间之差与27比较，大于27则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意可知， ∴点C的坐标为 设反比例函数的解析式为， 将代入， 得 ， 解得∶， ∴反比例函数的解析式为 ， ∴将代入 得：， ∴点 D 的坐标为 ， ∴点A 的坐标为 ， 设时，y与x的函数解析式为， 由题图可得点B的坐标为， 将，代入， 得   解的： ， ∴当时，y关于x的函数解析式为； （2）解：物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由如下： 对于， 当时，， 解得． 对于 当时， ∵， ∴物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30． 【变式7-2】（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)36 (4)冰箱内的温度是－4.5℃ 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：当时， 设y与a的函数解析式为． 把，代入上式得解得 ∴当时，y与x的函数解析式为． 当时，设y与x的函数解析式为． 把点的坐标代入得，解得， 当时，y与x的函数解析式为． ∴ （3）解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； （4）解：当冰箱温度刚好达到－18℃时，已运行了4min，继续运行120min，总共为124min．， 124min冰箱运行3个周期零16min，当时，． ∴冰箱内的温度是－4.5℃． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东济南·期中）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)玻璃加热速度为 ； (2)求能够对玻璃进行加工的时长； (3)玻璃从降至室温需要的时间为 ． 【答案】(1)150； (2)； (3)76． 【分析】（1）根据题意，设正比例函数的解析式为，列式计算确定k值即可； （2）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到y与x的函数关系式是；根据题意解答即可得结论； （3）将代入得到，根据题意，得，于是得到结论． 本题考查了待定系数法求解析式，求工作时长，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 故玻璃加热速度为． 故答案为：150． （2）解：由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点得， 解得， 故y与x的函数关系式是， 当时，，得； 当时，，得； 故能够对玻璃进行加工的时长为． （3）解：根据题意，得， 当时，； 当时，； 故玻璃从降至室温需要的时间为． 故答案为：76． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$