专题03 图形翻折模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题03 图形翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年初中各类考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题时，我们应充分利用折叠前后角相等的性质，并结合三角形内角和定理来构建等量关系。即使题目条件有限，我们也可以通过尝试写出一系列等量关系来逐步接近答案。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.图形中的翻折模型（角度问题） 4 模型2.图形中的翻折模型（长度问题） 6 9 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形重合、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 （24-25七年级上·广东梅州·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处．(1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数；(2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数；(3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 条件：点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处． 结论：如图1，当点恰好落在线段上时，则=90°； 如图2，当点落在的内部时，若=，则=90°-； 如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若=，则=90°+． 证明：如图1，由折叠的性质，得到，， ，； 如图2，由折叠的性质，得到，， ，， ，=90°-， 如图3，由折叠的性质，得到，， ，， ，=90°+， 条件：如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若， 结论：的周长=b-c+a。 证明：由折叠可得，，∴， ∴． 模型1.图形中的翻折模型（角度问题） 例1（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，将长方形沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 例2（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形纸片中，连接，将和分别对折，点和均落在线段上的点处，得折痕，，则的度数是 ． 例3（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知长方形纸条，点，在边上，点，在边上．将纸条分别沿着，折叠，如图，点A、分别折叠至点、，点、分别折叠至点、，当恰好落在上时，与的数量关系是 ． 例4（24-25七年级上·湖北恩施·期末）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小；(2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 例5（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，G为边上一点，再把折叠，使点C落在点的位置，折痕为． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①若，则_______；②若，求的度数． (2)如图2，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 模型2.图形中的翻折模型（长度问题） 例1（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，已知的两条边，，现将沿折叠，使点与点重合，则的周长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 例2（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，D，E分别是边，上的点，将沿直线折叠，点A落在点处．若的周长为10，则阴影部分图形的总周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 例3（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，将长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若的周长为，的周长为，则长方形纸片的周长是 cm． 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）将一长方形纸片按图所示的方式折叠，、为折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，的度数（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东茂名·一模）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点A落在点M处，使得点B落在点N处，若，则的度数是（   ）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，点分别在边上，将 沿折叠，使点落在处，则 的值为 ． 8．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，，沿直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，的周长为，则长为 ． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于点，交于点），点、分别落在、处，延长交线段于点，将长方形纸片沿折叠，点落在处．若，则 ． 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为 °． 13．（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 14．（24-25八年级上·北京顺义·期中）将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ． 15．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，已知三角形纸片中，于H，将纸片沿折叠，点B落到上的点D处，再沿过点D的直线折叠，如果点C恰好落在点A处．那么以下结论中：①；②；③；④若的周长是28，的周长是44，则，正确的有 （填序号）． 16．（2025·辽宁阜新·一模）将长方形纸片按如图方式折叠，使得，其中为折痕，则的度数为 ． 17．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在正方形中，为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数为： ；与的关系为： ． 18．（24-25七年级上·江西吉安·期末）将一张矩形纸片沿折叠成如右图所示的形状，则 °． 19．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）如图， 在长方形纸片中，M 为边的中点，将纸片沿、折叠，使点A落在点处，点D落在点处．若， 求的度数 20．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．(1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数．      21．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）已知长方形纸片，E为线段上一点，射线交线段于点F，将三角形沿翻折，点A落在点M处；射线交边于点G，将三角形沿翻折，点B落在N处． (1)点E，M，N共线时，如图1，求的度数；(2)点E，M，N不共线时，如图2，若设，，请写出图2中，满足的数量关系式．并说明理由；(3)如图3，设运动时间为t秒，若射线从绕点E以每秒顺时针旋转，当时，点F与D重合，射线停止旋转，若射线从绕点E以每秒逆时针旋转，当时，点G与C重合，射线停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t为多少时，？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 图形翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年初中各类考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题时，我们应充分利用折叠前后角相等的性质，并结合三角形内角和定理来构建等量关系。即使题目条件有限，我们也可以通过尝试写出一系列等量关系来逐步接近答案。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.图形中的翻折模型（角度问题） 4 模型2.图形中的翻折模型（长度问题） 6 9 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形重合、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【详解】解：由折叠可得，，∴， ∴．故选：D． （24-25七年级上·广东梅州·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处．(1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数；(2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数；(3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ，； （2）由折叠的性质，得到，，，， ，， ； （3），    ， 由折叠的性质，得到，， ，的度数为． 条件：点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处． 结论：如图1，当点恰好落在线段上时，则=90°； 如图2，当点落在的内部时，若=，则=90°-； 如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若=，则=90°+． 证明：如图1，由折叠的性质，得到，， ，； 如图2，由折叠的性质，得到，， ，， ，=90°-， 如图3，由折叠的性质，得到，， ，， ，=90°+， 条件：如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若， 结论：的周长=b-c+a。 证明：由折叠可得，，∴， ∴． 模型1.图形中的翻折模型（角度问题） 例1（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，将长方形沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， 由折叠的性质知，，， 在，，故答案为：． 例2（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形纸片中，连接，将和分别对折，点和均落在线段上的点处，得折痕，，则的度数是 ． 【答案】45° 【详解】解：四边形为正方形，， 由折叠的性质可得：，， ，；故答案为： 例3（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知长方形纸条，点，在边上，点，在边上．将纸条分别沿着，折叠，如图，点A、分别折叠至点、，点、分别折叠至点、，当恰好落在上时，与的数量关系是 ． 【答案】// 【详解】解：∵将纸条分别沿着，折叠，点A、B分别折叠至点、，点分别折叠至点、，且恰好落在上，∴，，， ∴，∴， ∴， ∴∴；故答案为：． 例4（24-25七年级上·湖北恩施·期末）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，折痕为． (1)若，求的大小；(2)若，求的大小； (3)如图，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵将对折，点落在直线上的点处，折痕为，∴， ∵，∴； （2）解：∵，，， ∴，∴； （3）解：∵将对折，点落在直线上的点处，得到折痕，∴， ∵，， ∴，∴，即． 例5（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，G为边上一点，再把折叠，使点C落在点的位置，折痕为． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①若，则_______；②若，求的度数． (2)如图2，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析 【详解】（1）解：①∵， 由折叠的性质可得，∴， ∵，∴； ②同理①得∵， ∴； （2）解：，理由如下：由折叠的性质可得， ∵，， ∴，∴． 模型2.图形中的翻折模型（长度问题） 例1（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，已知的两条边，，现将沿折叠，使点与点重合，则的周长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】解：根据折叠性可知，，的周长是，即， ，，的周长．故选：B． 例2（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，D，E分别是边，上的点，将沿直线折叠，点A落在点处．若的周长为10，则阴影部分图形的总周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】解：将沿直线折叠,点A落在点处，，， 则阴影部分图形的周长等于．故选：B． 例3（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，将长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若的周长为，的周长为，则长方形纸片的周长是 cm． 【答案】32 【详解】解：∵由折叠而成，∴，， ∵的周长为，的周长为，∴，， ∴矩形的周长． 故答案为：32． 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可得，又， ∴阴影部分的周长 ，故答案为：． 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）将一长方形纸片按图所示的方式折叠，、为折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠知，，，而， ∴，即． 故选：B ． 2．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，的度数（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵与互为“伙伴角”，∴，∴或， ∵，∴，则或，∴或，故选：． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据折叠可知：，∵，∴， ∴，∴，故选：B． 4．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠的性质得：，，∴， ∵的周长为，∴，∴， ∴的周长是，故选：D． 5．（2024·广东茂名·一模）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，∴， 由折叠的性质得：，， ∵，∴， ∴，解得，故选：D． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点A落在点M处，使得点B落在点N处，若，则的度数是（   ）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，由折叠性质可得：即， ∵，，∴ ∴∴ ∴．故选：B． 7．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，点分别在边上，将 沿折叠，使点落在处，则 的值为 ． 【答案】2 【详解】解：由折叠的性质得，∵， ∴，故答案为：2． 8．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：由折叠的性质得：，∵点在线段上，∴， ∵与互为“伙伴角”，∴，即或， 当时，，∵， ∴，解得：； 当时，，∵， ∴，解得：； 综上所述，的度数为或．故答案为：或 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，，沿直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，的周长为，则长为 ． 【答案】 【详解】解：由折叠得，，， ∵的周长为，∴，∴，即， ∵，∴，∴，故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于点，交于点），点、分别落在、处，延长交线段于点，将长方形纸片沿折叠，点落在处．若，则 ． 【答案】/128度 【详解】解：根据折叠可知：，， 设，则， ∵，∴，解得：， ∴，∴．故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 【答案】10 【详解】解：∵沿折叠点A落在边上的点E处，∴，， ∵，∴， ∴的周长为，故答案为：10． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为 °． 【答案】 【详解】解：由折叠性质可得：，长方形纸片中，， 又，， ．故答案为：． 13．（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 【答案】60 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵，∴，∴．故答案为：60 14．（24-25八年级上·北京顺义·期中）将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ． 【答案】8 【详解】解：将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，∴， ∵的周长为，故答案为：8 ． 15．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，已知三角形纸片中，于H，将纸片沿折叠，点B落到上的点D处，再沿过点D的直线折叠，如果点C恰好落在点A处．那么以下结论中：①；②；③；④若的周长是28，的周长是44，则，正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴，故①正确； ∵，∴，故②正确； ∵的周长是28，的周长是44，∴， ∴，即，∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误；故答案为：①②④． 16．（2025·辽宁阜新·一模）将长方形纸片按如图方式折叠，使得，其中为折痕，则的度数为 ． 【答案】/65度 【详解】解：∵折叠，∴，， ∵，，∴， ∴；故答案为：． 17．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在正方形中，为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数为： ；与的关系为： ． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴；故答案为：；． 18．（24-25七年级上·江西吉安·期末）将一张矩形纸片沿折叠成如右图所示的形状，则 °． 【答案】73 【详解】解：如图，∵，∴， ∴由折叠得．故答案为73． 19．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）如图， 在长方形纸片中，M 为边的中点，将纸片沿、折叠，使点A落在点处，点D落在点处．若， 求的度数 【答案】 【详解】解：∵长方形纸片中，M边为的中点，将纸片沿、折叠，使点A落在点处，点D落在点处，，∴， ∴，∴， ∴． 20．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)(2)的度数为 【详解】（1）解：由题意知，， ，， ，故答案为：； （2）解：由题意知，， ，，， ，． 21．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）已知长方形纸片，E为线段上一点，射线交线段于点F，将三角形沿翻折，点A落在点M处；射线交边于点G，将三角形沿翻折，点B落在N处． (1)点E，M，N共线时，如图1，求的度数；(2)点E，M，N不共线时，如图2，若设，，请写出图2中，满足的数量关系式．并说明理由；(3)如图3，设运动时间为t秒，若射线从绕点E以每秒顺时针旋转，当时，点F与D重合，射线停止旋转，若射线从绕点E以每秒逆时针旋转，当时，点G与C重合，射线停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t为多少时，？ 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)10或 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ∵，∴， ∴，∴． （2）解：，理由如下：由折叠的性质得：，， ∵，，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． （3）解：由题意可知，，， 由折叠的性质得：，， ①与相遇前，则， 即，解得； ②与相遇后，则， 即，解得， ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时，∴，解得， 综上，当为10或时，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$