专题2.2相似三角形的判定（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题2.2相似三角形的判定 教学目标 1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应角和对应边。 2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。 教学重难点 教学重点：相似三角形判定定理的理解与应用。 教学难点：相似三角形判定定理的探索与证明；复杂图形中相似三角形的判；定相似三角形判定的实际应用。 知识点01 相似三角形及其表示方法 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 【即学即练】下列能够相似的一组三角形为( ). 　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形 　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 【答案】C 【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等； C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C. 【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等. 知识点02 利用平行线判定三角形相似 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 【即学即练】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【详解】证明：、分别是、的中点， ， ． 知识点03 判定两个三角形相似的定理（两角对应相等） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【即学即练】如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 知识点04 判定两个三角形相似的定理（两边对应成比例且夹角相等） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 【即学即练】如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 知识点05 判定两个三角形相似的定理（三边对应成比例） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． 【即学即练】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 知识点06 判定两个直角三角形相似的定理（斜边和直角边对应成比例） 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在和中，如果，，那么∽． 【即学即练】如图，，，且．求证：． A B C D 【解析】证明：，， ． ， ． ． ． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识． 题型01 添加条件来说明三角形相似 【例1-1】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得选项A，选项B的条件都能判定与相似；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得选项D的条件都能判定与相似，即可解答． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故添加选项A，选项B的条件都能判定与相似； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，符合题意； 当时，，则（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故选项D的条件都能判定与相似． 故选：C． 【例1-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知，补充一个条件： ，可使． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，结合题意，求解即可． 【详解】解：补充： ∵， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例1-3】（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【答案】4 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可． 【详解】解：如图： ①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB； ②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB ③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB； ④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的三角形相似，根据三边对应成比例的三角形相似得判定方法逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴能判定两个三角形相似，符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，D是的边上一点，要使，则必须具备的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的证明，两三角形的有公共角，故添加夹这角的对应边成比例即可证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴只要添加，即 ∴， 故添加即可证明， 故选：B． 题型02 寻找图形中三角形的对数 【例2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键； 根据相似三角形的判定定理分析即可求解； 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 【例2-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，垂足分别为与交于点．请你在图中找出4对相似三角形（不需要写出证明过程）． 【答案】，，，， 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等的三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（   ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定．平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对． 故选：A． 【变式2-2】（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：依题意，, ， ， ∴，， ∴， 而，，与不相似， 故选：B． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 【答案】(1)相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解； （2）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 所以，①， ， 所以，②，③， 所以④，⑤， 故图中相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴；； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意与都与相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方． 题型03 相似三角形的判定定理的运用 【例3-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 【例3-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【例3-3】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明． 【详解】证明：，，，， ， ， ， ． 【例3-4】（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【知识点】相似三角形的判定综合、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定；过点O作，交于点M，先证明，得出，从而证出，再根据，即可证出结论． 【详解】证明：过点O作，交于点M， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【知识点】相似三角形的判定综合、根据等边对等角证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，线段、是的两条高．求证：．    【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键． 【详解】证明：∵线段、是的两条高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3-3】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    【知识点】相似三角形的判定综合、利用平行四边形的性质证明、根据等边对等角证明 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得，从而得到，再通过证明即可得到． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【变式3-4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【知识点】相似三角形的判定综合、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 题型04 利用相似三角形证明等积式 【例4-1】如图所示，在矩形中，为边上一点，且，求证：． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，先由矩形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，为斜边上的高，平分，交于点E．求证：． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明等腰三角形、相似三角形的判定与性质综合、三角形角平分线的定义 【分析】利用等量代换可得，再由角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质可得，利用等量代换可得，根据等角对等边可得，证明，可得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵CE平分， ∴， ∵是△BCE的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，为公共角， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握掌握相关定理是解题的关键． 【变式4-2】已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比． （1）由三角形的外角性质推出，又，推出，得到，即可证明； （2）由，推出，得到，判定，推出，判定，推出，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， 点，点分别是，边上的中点， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ． 【变式4-3】如图，中，，于，过点作，边上的中线延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）证明，可得，证明，可得，从而可得结论； （2）过作交于，连接，先证明，，根据相似三角形的性质，结合是中线得出，根据，得出是等腰三角形，根据“三线合一”的性质得出，结合，得出，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：， 是直角三角形． ， ∴， ∵， ， ∴， ． 是直角三角形，， 同理可得：， ∴， ， ； （2）解：过作交于，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中线， ∴， ∴， ∴是边中点， ∵， ． 又， ， 是等腰三角形， 是的中线，， 是中线， ∴， ， ，， ， ∴， ∴； ，即； 题型05 相似三角形的应用 【例5】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【答案】尺 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设井深是尺，则尺，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：设井深是尺， ∵尺， ∴尺， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵尺，尺， ∴， 解得， 答：井深是尺． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．过点作于点，交于点，证明，得到，即，求出即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 即旗杆的高度为． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度是米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，判定，，得出比例式，进而代入数据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 同理：， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， ， 米， 飞虹塔的大致高度是米． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 【答案】信号发射塔的高度为19.8米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，先证明，利用三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ∴， ， ，，， ， ， （米）， ∴信号发射塔的高度为米． 题型06 与相似三角形有关的实践操作题 【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查格点图中画相似三角形． （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均在格点上． (1)在图1中，则________________； (2)仅利用网格和无刻度的直尺，在图2中的线段上确定点，使（保留痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)图见详解 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了作图—相似，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质与判定． （1）证明，即可求解； （2）取格点E，F，连接交于点P，则问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知：，且， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：所作点P如图所示： 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1)135 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、根据正方形的性质求角度、相似三角形的判定综合、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据正方形的性质即可得解； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由如下： ∵，，，，， ∴， ∴； （3）解：如图，点即为所求， 理由如下：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图是解题的关键． 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形即为“准等腰梯形”．其中． (1)在图1所示的“准等腰梯形”中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形分割成一个有两边相等的梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）． (2)如图2，在“准等腰梯形”中，，为边上一点，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，取中点，连接，交于点，连接，若，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）过点作交于点，如图所示，则和四边形就是所求作的图形； （2）由，就可以得出，就可以得出，就可以得出结论； （3）延长、交于点，如图所示，结合（2）中，设，，由全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求出相关线段长度，再由相似比列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示： ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴四边形是梯形． ∴和四边形就是所求作的图形； （2）解：， ． 又， ． ． ． 又， ． ． ； （3）解：延长、交于点，如图所示： 由（2）知， 设，， ， ； 是的中点， ， 在与中， ， ； ． ； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题考查了几何综合，涉及等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解答时灵活运用等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识求解是关键． 题型07 相似三角形与函数综合题 【例7】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，，且与反比例函数的图象在第一象限内交于点，作轴于点，． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出时对应的的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程； （1）根据题意得出，，，则，待定系数法求一次函数解析式；进而证明得出，待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）联立一次函数与反比例函数解析式，得出，结合函数图象，写出直线在双曲线下方时的自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，，，则， 把，代入 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为 （2）解：联立 解得：或 ∴ 根据函数图象可得时对应的的取值范围为或． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求B到的距离； (3)直接写出长． 【答案】(1)直线的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)2 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）设直线的解析式为，把点A的坐标代入，即可得到结论； （2）根据中心对称的性质，再求出B到的距离即可； （3）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴直线的解析式为； 把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点A的坐标为， 根据中心对称可得， ∴B到的距离为； （3）解：∵， ∴， ∵对角线垂直于x轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 【变式7-2】如图，双曲线y＝（x＞0）的图象经过点A（，4），直线y＝x与双曲线交于B点，过A，B分别作y轴、x轴的垂线，两线交于P点，垂足分别为C，D． （1）求双曲线的解析式； （2）求证：△ABP∽△BOD． 【答案】（1）；（2）详见解析； 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论； （2）先求出点B坐标，进而求出OD，BD，进而判断出，即可得出结论． 【详解】（1）∵点A（，4）在双曲线y＝上， ∴k＝×4＝2， ∴双曲线的解析式为y=； （2）如图， 由（1）知，双曲线的解析式为y＝①， 直线OB的解析式为y＝x②， 连接①②解得，或（舍去）， ∴B（2，1）， ∴BD＝1，OD＝2， ∵CP⊥y轴，PD⊥x轴， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°＝∠COD， ∴四边形OCPD是矩形， ∴∠ODB＝∠P＝90°， CP＝OD＝2，PD＝OC， ∵A（，4）， ∴OC＝4，CA＝， ∴AP＝CP﹣AC＝，BP＝PD﹣1＝3， ∴， ∴， ∵∠P＝∠ODB＝90°， ∴△ABP∽△BOD． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直线与双曲线的交点坐标的确定，相似三角形的判定和性质，判断出，是解本题的关键． 【变式7-3】已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 【答案】（1）-1；（2）①；②见解析 【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点， 以方程有两个相等的实数根， 所以，即． （1）因为抛物线过点，所以， 所以，即． 所以， 当时，取到最小值． （2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点， 所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧． 又点中恰有两点在抛物线的图象上， 所以只能是在抛物线的图象上， 由对称性可得抛物线的对称轴为，所以， 即，因为，所以． 又点在抛物线的图象上，所以， 故抛物线的解析式为． ②由题意设，则． 记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F， 即， 因为，所以． 又，所以，所以． 所以，所以，即． 所以， 即．① 把代入，得， 解得， 所以．② 将②代入①，得， 即，解得，即． 所以过点A且与x轴垂直的直线为， 将代入，得，即， 将代入，得， 即， 所以，因此， 所以与的面积相等． 【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键． 题型08 与相似三角形有关的探究性问题 【例8】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）【问题背景】如图（1），点E为正方形边的中点，连接交于点M，试求的值； 【问题探究】如图（2），正方形的边长为4，E、F分别为的中点，连接交于点N，试求的长度； 【问题拓展】如图（3），在【问题探究】的条件下，连接交于点O，连接，试求的长度． 【答案】【问题背景】；【问题探究】；【问题拓展】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明得，再都同即可； （2）延长AD、BF交于点H，可得，证明可得结论； （3）分别证明，可得结论． 【详解】问题背景 解：∵为正方形 ∵E为中点 问题探究 解：延长交于点H，可得 ∵为正方形 问题拓展 解：由可得 由得 即：， ，即 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】（1）填空：①若，则______； ②若，则______； …… （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则______（用含的式子表示，不用说理）． 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；【猜想】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等 【分析】（1）根据［问题感知]即可得出①和②的结论； （2）选取（1）①给予证明．如图，过点作交于点，证明，得，证明，得，由得，继而推出，可得结论；选取（1）②可按同样的方法证明； ［猜想] 结合（2）的证明及结论即可得出答案． 【详解】（1）解：①若，则， 故答案为：； ②若，则， 故答案为：； （2）证明：选取（1）①给予证明． 如图，过点作交于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选取（1）②给予证明． 如图（见上图），过点作交于点， 由①得：， ∴， 由①得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ［猜想] 解：∵， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，中点的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 【变式8-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）数学兴趣小组在陈老师带领下探究某种类型矩形的性质，如图1是小明同学在边上取了一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得，从而利用证明结论； （2）①利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明，得，从而解决问题； ②设，则，，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， 将沿折叠至， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）①证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②解：设， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用设参数表示出各线段的长是解决问题（2）的关键． 【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式8-4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，得出，根据，，得出即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出， 证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点C作，交于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同（2）可得， ∴， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】解：A、，， ，，故A能判定； B、，， ，故B能判定； C、， ． 且， 由已知条件无法判定两三角形相似，故C不能判定 D、， ． 且， 根据两边成比例夹角相等两三角形相似，故D能判定， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，． 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； D、无法证明，符合题意； 故选：D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，．下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B不符合题意； C、根据两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、根据两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 8．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，已知直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，过点B作，点P在双曲线上，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】过P点作轴于点C，则可得到，即，求出A，B两点坐标，进而求出点坐标，代入求值即可． 【详解】如图，过P点作轴于点C， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵直线分别与y轴、x轴交于A，B两点， ∴A，B两点坐标为:， ∴， ∴ ∴， ∴ 代入得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点，相似三角形形的判定和性质，反比例函数的解析式，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题 9．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 10．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 11．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F，    (1)求证：； (2)若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． (1)猜想：的度数为______； (2)请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图-相似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得． （2）结合相似三角形的判定与性质，画即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，画，即为所求． ， 则． 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定． （1）先由点A的坐标为，根据中点的性质得出点P的坐标，根据反比例函数的性质得出k值，即可得反比例函数的表达式； （2）先根据题意得出Q的坐标，再得各线段长，进而得，再由即可证． 【详解】（1）解：点A的坐标为，P是的中点， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）证明：当时，， 解得：， ， ∵， ，，， ，， ， 又， ． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 15．（2025·安徽淮南·模拟预测）在矩形中，为直线上的点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点为线段上一点，连接和，与相交于点． (1)如图1，若，平分，求证：∽． (2)如图2，若，点与点重合，为的中点，则的值是_______，与的位置关系是________． (3)如图3，若，且，探究与的位置和数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，然后根据三线合一得到，进而得到，证明相似即可； （2）先得到四边形是正方形，然后证明，，根据全等三角形的性质解答即可； （3）根据矩形的性质得到∽，即可得到，然后证明，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵是由绕点逆时针旋转得到的， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：记与的交点为点E， ∵是矩形，， ∴是正方形， ∴，，， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 又∵点P是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：；； （3）解：． 理由：∵， ∴为等腰直角三角形． 如图，记与交于点， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴三点共线，垂直平分． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 由（2）可得． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 16．（22-23九年级下·安徽蚌埠·期中）如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结． ①证明：； ②证明：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，，即可得的度数； （2）①由题意可得，由等腰三角形的性质可得，，进而可得，可证，易得，可得，可证结论； ②延长至，使得，先证，进而可证，可得，是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 由旋转可知，，， ∴ ∴， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， 又∵平分， ∴，，则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：延长至，使得， ∵， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 17．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得，即可求证； （2）过点作的垂线，交延长线于点，可求得，进而求得，根据解直角三角形得出的长； （3）过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出，设，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得，根据解直角三角形可求得，再根据勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， ． （2）解：如图过点作的垂线，交延长线于点， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形，即， 又， ∴， ， ∴设，则， 又，即, ∴， ， ， ∴， ， ， ∴，即， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2相似三角形的判定 教学目标 1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应角和对应边。 2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。 教学重难点 教学重点：相似三角形判定定理的理解与应用。 教学难点：相似三角形判定定理的探索与证明；复杂图形中相似三角形的判；定相似三角形判定的实际应用。 知识点01 相似三角形及其表示方法 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 【即学即练】下列能够相似的一组三角形为( ). 　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形 　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 知识点02 利用平行线判定三角形相似 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 【即学即练】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 知识点03 判定两个三角形相似的定理（两角对应相等） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【即学即练】如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    知识点04 判定两个三角形相似的定理（两边对应成比例且夹角相等） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 【即学即练】如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 知识点05 判定两个三角形相似的定理（三边对应成比例） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． 【即学即练】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 知识点06 判定两个直角三角形相似的定理（斜边和直角边对应成比例） 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在和中，如果，，那么∽． 【即学即练】如图，，，且．求证：． A B C D 题型01 添加条件来说明三角形相似 【例1-1】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知，补充一个条件： ，可使． 【例1-3】（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【变式1-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，D是的边上一点，要使，则必须具备的条件可以是（   ） A． B． C． D． 题型02 寻找图形中三角形的对数 【例2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【例2-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，垂足分别为与交于点．请你在图中找出4对相似三角形（不需要写出证明过程）． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（   ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【变式2-2】（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 题型03 相似三角形的判定定理的运用 【例3-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【例3-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【例3-3】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 【例3-4】（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【变式3-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，线段、是的两条高．求证：．    【变式3-3】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    【变式3-4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 题型04 利用相似三角形证明等积式 【例4-1】如图所示，在矩形中，为边上一点，且，求证：． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，为斜边上的高，平分，交于点E．求证：． 【变式4-2】已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 【变式4-3】如图，中，，于，过点作，边上的中线延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型05 相似三角形的应用 【例5】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 题型06 与相似三角形有关的实践操作题 【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均在格点上． (1)在图1中，则________________； (2)仅利用网格和无刻度的直尺，在图2中的线段上确定点，使（保留痕迹，不写作法） 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形即为“准等腰梯形”．其中． (1)在图1所示的“准等腰梯形”中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形分割成一个有两边相等的梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）． (2)如图2，在“准等腰梯形”中，，为边上一点，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，取中点，连接，交于点，连接，若，求的值． 题型07 相似三角形与函数综合题 【例7】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，，且与反比例函数的图象在第一象限内交于点，作轴于点，． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出时对应的的取值范围． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求B到的距离； (3)直接写出长． 【变式7-2】如图，双曲线y＝（x＞0）的图象经过点A（，4），直线y＝x与双曲线交于B点，过A，B分别作y轴、x轴的垂线，两线交于P点，垂足分别为C，D． （1）求双曲线的解析式； （2）求证：△ABP∽△BOD． 【变式7-3】已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 题型08 与相似三角形有关的探究性问题 【例8】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）【问题背景】如图（1），点E为正方形边的中点，连接交于点M，试求的值； 【问题探究】如图（2），正方形的边长为4，E、F分别为的中点，连接交于点N，试求的长度； 【问题拓展】如图（3），在【问题探究】的条件下，连接交于点O，连接，试求的长度． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】（1）填空：①若，则______； ②若，则______； …… （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则______（用含的式子表示，不用说理）． 【变式8-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）数学兴趣小组在陈老师带领下探究某种类型矩形的性质，如图1是小明同学在边上取了一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【变式8-4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，．下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 7．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 8．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，已知直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，过点B作，点P在双曲线上，连接．若，则 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 10．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 11．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F，    (1)求证：； (2)若，求的长； 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． (1)猜想：的度数为______； (2)请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 15．（2025·安徽淮南·模拟预测）在矩形中，为直线上的点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点为线段上一点，连接和，与相交于点． (1)如图1，若，平分，求证：∽． (2)如图2，若，点与点重合，为的中点，则的值是_______，与的位置关系是________． (3)如图3，若，且，探究与的位置和数量关系，并说明理由． 16．（22-23九年级下·安徽蚌埠·期中）如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结． ①证明：； ②证明：． 17．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$