2025年九年级数学秋季开学摸底考02（广东专用）

2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 1、 选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C D D C C D A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．1（不唯一） 12． 13．3 14． 15．或6 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16． 【详解】解：（1） 由①得  ， 由②得  ， ∴该不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： ...................3分 （2）                   ，...................5分 ∵，， ∴当时，原式； 当时，原式．...................7分 17． 【详解】（1）解：由，运用了完全平方公式因式分解，即公式法． 故选：B；...................2分 （2）解：设， 原式 ．...................7分 18． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形．...................3分 （2）解：连接，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 又， ， 是等边三角形，， ， 在中，由勾股定理得，， ∴， ．...................7分 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19． 【详解】解：（1）设购买甲种原料的单价为x元/克，则购买乙种原料的单价为（）元/克． 由题意，可得， 解得． 经检验，为分式方程的解，且符合题意． （元/克）． 答：购买甲种原料的单价为元/克，购买乙种原料的单价为元/克．...................3分 （2）设购买甲种原料m克，则购买乙种原料（）克． 由题意，得，解得．...................6分 设费用为W元． 由题意，可得， ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当m取最小值时，W有最小值，最小值为． ∴（克）． 答：当购买甲种原料克，乙种原料克时，才能使得费用最低，最低费用为元．...................9分 20． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；...................4分 （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则．...................9分 21． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ；...................4分 （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，   ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分．...................9分 五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22． 【详解】（1）解：如图， ∵和都是正三角形， ∴，， ∵将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；...................4分 （2）解：，理由如下： 过点作交于点，如图， ∵和都是正三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴...................8分 （3）解：作于点， ∴， 由勾股定理得； ①当点在线段上时，点在线段时，如图， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点，则， 而, ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴, ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴； ②当点在线段上时，点在线段时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得, 综上，满足条件的的值为5或3或1．...................13分 23． 解：（）证明：如图，延长至，使，连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，；...................4分 （）， 理由如下：如图，延长至点，使，连接， 同（）理， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；...................8分 （）．理由如下： 如图，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即；...................11分 解：由题意知，， 分是的中位线和不是的中位线两种情况求解， 当是的中位线时，， ∴； 当不是的中位线时，如图，取中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上可知：的长为或．...................14分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．__________________ 12.__________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分） 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版八年级下册全册+九年级上册第一章 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，若，则下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知菱形的周长为12，，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，在中，，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 9．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 10．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 12．如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为 ． 13．把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 14．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 15．如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为 时，为直角三角形． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（1）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集； （2）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值． 17．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步）． （第三步）． （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法 B.公式法 (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 18．如图，点O是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求菱形的面积． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含单位的钠元素，每克乙种原料含单位的钠元素． (1)求购买甲、乙两种原料的单价． (2)若购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下，如何选购原料才能使得费用最低？最低费用是多少元？ 20．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 21．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段上，请直接写出、、三条线段之间的数量关系是____________________． (2)如图②，当点O在的延长线上时，E、F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)点O在线段上，若，，当时，请求出的长． 23．【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）请你完成以下证明： 已知：如图，是的中位线．求证：，． 【类比迁移】 （2）如图，是线段的中点，点在上，交于点，且，试判断线段和的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图，延长至点，使，连接，易证…… 请你完成以上证明过程． 【方法运用】 （3）如图，在中，，，为射线上一个动点（在点右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，，． 请你判断线段和的数量关系并说明理由； 若，，请直接写出的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季七年级开学摸底考试模拟卷 数学•全解全析 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意， 解得： 故选：D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 3．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】C 【详解】解：设， 根据分式的性质，得，扩大为原来的3倍， 故选：C． 4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵不是因式分解， ∴A不合题意； ∵不是因式分解， ∴B不合题意； ∵是因式分解， ∴C合题意； ∵， ∴D不符合题意； 故选：C． 5．在中，若，则下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，则．存在直角，能判定为直角三角形，排除． 选项B：设，，．验证勾股定理：满足勾股定理，能判定为直角三角形，排除． 选项C：．验证勾股定理：满足勾股定理，能判定为直角三角形，排除． 选项D：．验证三边关系：三边无法构成三角形，更不可能是直角三角形． 故选D． 6．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、根据不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．因为，两边同时减1，得到，而不是，所以A错误； B、根据不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 因为，两边同时除以2（2是正数），得到，而不是，所以B错误； C、左边加3，右边减3，相当于和的差距扩大．例如取，，则，，显然，故C错误； D、根据不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 因为，两边同时乘以，不等号方向改变，得到，所以D正确． 故选：D． 7．如图，已知菱形的周长为12，，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：如图， ∵菱形的周长为12， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 8．如图，在中，，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 9．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 10．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【答案】1（不唯一） 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 12．如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为 ． 【答案】 【详解】在中，， ∴． 又因为是绕点旋转后得到的， 所以，且，，三点共线， 所以． 故答案为：． 13．把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 【答案】3 【详解】解：设两段铁丝的长分别为，，， 根据题意，得， ∴， ∵这两个正方形的面积之差是， ∴， ∴， ∴， ∴， 即这两个正方形的边长相差， 故答案为：3． 14．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为 时，为直角三角形． 【答案】或6 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ， ∵为边上一点，， ， 在中，由勾股定理得， 依题意得， ， ， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时， 过点作于点，如图1所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：； ②当时，如图2所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 解得：； 综上所述：当为或6时，为直角三角形， 故答案为：或6． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（1）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集； （2）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值． 【详解】解：（1） 由①得  ， 由②得  ， ∴该不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （2）                   ， ∵，， ∴当时，原式； 当时，原式． 17．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步）． （第三步）． （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法 B.公式法 (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【详解】（1）解：由，运用了完全平方公式因式分解，即公式法． 故选：B； （2）解：设， 原式 ． 18．如图，点O是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求菱形的面积． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：连接，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 又， ， 是等边三角形，， ， 在中，由勾股定理得，， ∴， ． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含单位的钠元素，每克乙种原料含单位的钠元素． (1)求购买甲、乙两种原料的单价． (2)若购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下，如何选购原料才能使得费用最低？最低费用是多少元？ 【详解】解：（1）设购买甲种原料的单价为x元/克，则购买乙种原料的单价为（）元/克． 由题意，可得， 解得． 经检验，为分式方程的解，且符合题意． （元/克）． 答：购买甲种原料的单价为元/克，购买乙种原料的单价为元/克． （2）设购买甲种原料m克，则购买乙种原料（）克． 由题意，得，解得． 设费用为W元． 由题意，可得， ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当m取最小值时，W有最小值，最小值为． ∴（克）． 答：当购买甲种原料克，乙种原料克时，才能使得费用最低，最低费用为元． 20．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 21．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，   ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段上，请直接写出、、三条线段之间的数量关系是____________________． (2)如图②，当点O在的延长线上时，E、F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)点O在线段上，若，，当时，请求出的长． 【详解】（1）解：如图， ∵和都是正三角形， ∴，， ∵将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点作交于点，如图， ∵和都是正三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：作于点， ∴， 由勾股定理得； ①当点在线段上时，点在线段时，如图， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点，则， 而, ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴, ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴； ②当点在线段上时，点在线段时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得, 综上，满足条件的的值为5或3或1． 23．【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）请你完成以下证明： 已知：如图，是的中位线．求证：，． 【类比迁移】 （2）如图，是线段的中点，点在上，交于点，且，试判断线段和的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图，延长至点，使，连接，易证…… 请你完成以上证明过程． 【方法运用】 （3）如图，在中，，，为射线上一个动点（在点右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，，． 请你判断线段和的数量关系并说明理由； 若，，请直接写出的长． 【详解】解：（）证明：如图，延长至，使，连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （）， 理由如下：如图，延长至点，使，连接， 同（）理， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）．理由如下： 如图，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即； 解：由题意知，， 分是的中位线和不是的中位线两种情况求解， 当是的中位线时，， ∴； 当不是的中位线时，如图，取中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上可知：的长为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版八年级下册全册+九年级上册第一章 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，若，则下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知菱形的周长为12，，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．如图，在中，，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 9．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 10．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 12．如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为 ． 13．把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 14．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 15．如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为 时，为直角三角形． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（1）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集； （2）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值． 17．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步）． （第三步）． （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提公因式法 B.公式法 (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 18．如图，点O是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求菱形的面积． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含单位的钠元素，每克乙种原料含单位的钠元素． (1)求购买甲、乙两种原料的单价． (2)若购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下，如何选购原料才能使得费用最低？最低费用是多少元？ 20．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 21．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段上，请直接写出、、三条线段之间的数量关系是____________________． (2)如图②，当点O在的延长线上时，E、F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)点O在线段上，若，，当时，请求出的长． 23．【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）请你完成以下证明： 已知：如图，是的中位线．求证：，． 【类比迁移】 （2）如图，是线段的中点，点在上，交于点，且，试判断线段和的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图，延长至点，使，连接，易证…… 请你完成以上证明过程． 【方法运用】 （3）如图，在中，，，为射线上一个动点（在点右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，，． 请你判断线段和的数量关系并说明理由； 若，，请直接写出的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3分，共 15分） 11．__________________ 12.__________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 三、解答题（一）本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分。 16．（7分） 17．（7分） 18．（7分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 四、解答题（二）本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分。 19．（9分） 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）本大题共 2小题，第 22小题 13分，第 23小题 14分， 共 27分。 22．（12分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！