第2章 圆与方程（复习讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第2章 圆与方程（复习讲义） 一、基础目标 1.圆的方程表示 （1）掌握圆的两种标准方程形式及几何意义； （2）能根据已知条件（如圆心、半径，或三点坐标）求圆的方程。 2.几何要素的代数化 （1）通过方程确定圆心坐标、半径，并绘制图形； （2）理解方程系数对圆的位置和大小的影响。 二、核心能力目标 1.圆与点、直线的位置关系； （1）点与圆的位置：代入方程判断（点在圆上、圆内、圆外）。 （2）直线与圆的位置：代数法：联立方程，通过判别式；几何法：计算圆心到直线距离比较与半径的关系。 （3）切线问题：求切线方程（已知切点或切线斜率）；已知圆外一点，求过该点的切线方程（注意斜率不存在的情况）。 2. 圆与圆的位置关系 （1）通过圆心距和半径判断：相离、外切、相交、内切、内含。 （2）求两圆的公共弦方程（两圆方程相减）。 三、高阶应用目标 1. 圆的几何性质综合应用 （1）利用圆的对称性、弦长公式解决最值问题。 （2）结合向量或参数方程研究动点轨迹（如阿波罗尼斯圆）。 2. 实际建模 将实际问题转化为圆方程（如圆形轨道、光学反射、几何约束优化）。 四、数学思想培养 1.数形结合：通过方程分析几何特征（如圆心、半径），通过图形验证代数结论。 2.分类讨论：处理直线与圆、圆与圆的多种位置关系。 3.转化思想：将几何问题（如切线、弦长）转化为代数方程求解。 重点与难点 1.重点： （1）圆的标准方程与一般方程的互化。 （2）直线与圆的位置关系及切线方程求法。 （3）圆与圆的位置关系判断。 2.难点： （1）含参数圆的方程讨论； （2）公共弦与切线问题的综合应用。 （3）动点轨迹与圆的转化（如利用定义法求轨迹方程）。 知识点1：圆的方程 （1）圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ （2）点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 （3）二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： 1）当F＝0时，圆过原点． 2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． 3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． 4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点2：直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系及判断 1．三种位置关系：相交、相切、相离． 2．两种判断方法： ① ② （2）圆的切线与切线长 1．过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2．过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 3．切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： 2 几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点3：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 题型一 求圆的方程 【例1】（2023高三·天津·二模）经过点的圆的方程为 . 【变式1-1】圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（ ）. A． B． C． D． 【变式1-2】（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 弦长问题 【例2】若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 【变式2-1】若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为 . 【变式2-2】“”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 切线方程 【例3】（2023高三·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为 【变式3-1】过圆上点的切线方程为 ． 【变式3-2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 题型四 圆有关的轨迹方程 【例4】已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【变式4-2】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 2．过圆外一点作圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 3．已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 4．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 6．已知直线：与圆交于两点，则使弦长为整数的直线共有（　　） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 7．过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 8．若两条直线和均与圆相交，且依次连接四个交点得到一个矩形，则（    ）． A．4 B．2 C． D． 二、多选题 9．已知圆，则（    ） A．圆可能过原点 B．圆心在直线上 C．圆与直线相切 D．圆被直线所截得的弦长为 10．已知点圆：，圆：上，则（    ） A．圆与圆相交 B．圆与圆有三条公切线 C．若为定值，点P的轨迹为一条直线 D．点P为圆上一点，点Q为圆一点，则为定值 11．已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为 三、填空题 12．已知等腰三角形ABC的顶点A的坐标为，底边，且圆A：与直线BC相切，则点B到原点O的最大距离为 . 13．从点射出两条光线的方程分别为：和，经轴反射后都与圆相切，则 ． 14．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 16．已知圆. (1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若圆与圆C相切，求实数m的值. 17．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 18．已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 19．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．     5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 10．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 11．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 12．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 13．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程（复习讲义） 一、基础目标 1.圆的方程表示 （1）掌握圆的两种标准方程形式及几何意义； （2）能根据已知条件（如圆心、半径，或三点坐标）求圆的方程。 2.几何要素的代数化 （1）通过方程确定圆心坐标、半径，并绘制图形； （2）理解方程系数对圆的位置和大小的影响。 二、核心能力目标 1.圆与点、直线的位置关系； （1）点与圆的位置：代入方程判断（点在圆上、圆内、圆外）。 （2）直线与圆的位置：代数法：联立方程，通过判别式；几何法：计算圆心到直线距离比较与半径的关系。 （3）切线问题：求切线方程（已知切点或切线斜率）；已知圆外一点，求过该点的切线方程（注意斜率不存在的情况）。 2. 圆与圆的位置关系 （1）通过圆心距和半径判断：相离、外切、相交、内切、内含。 （2）求两圆的公共弦方程（两圆方程相减）。 三、高阶应用目标 1. 圆的几何性质综合应用 （1）利用圆的对称性、弦长公式解决最值问题。 （2）结合向量或参数方程研究动点轨迹（如阿波罗尼斯圆）。 2. 实际建模 将实际问题转化为圆方程（如圆形轨道、光学反射、几何约束优化）。 四、数学思想培养 1.数形结合：通过方程分析几何特征（如圆心、半径），通过图形验证代数结论。 2.分类讨论：处理直线与圆、圆与圆的多种位置关系。 3.转化思想：将几何问题（如切线、弦长）转化为代数方程求解。 重点与难点 1.重点： （1）圆的标准方程与一般方程的互化。 （2）直线与圆的位置关系及切线方程求法。 （3）圆与圆的位置关系判断。 2.难点： （1）含参数圆的方程讨论； （2）公共弦与切线问题的综合应用。 （3）动点轨迹与圆的转化（如利用定义法求轨迹方程）。 知识点1：圆的方程 （1）圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ （2）点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 （3）二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： 1）当F＝0时，圆过原点． 2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． 3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． 4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点2：直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系及判断 1．三种位置关系：相交、相切、相离． 2．两种判断方法： ① ② （2）圆的切线与切线长 1．过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2．过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 3．切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： 2 几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点3：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 题型一 求圆的方程 【例1】（2023高三·天津·二模）经过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的一般方程为，代入点可得： ，解得 故圆的一般方程为： 故答案为： 【变式1-1】圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆心在射线上，故设圆心为， 又半径为5，且经过坐标原点，所以，解得或（舍去）， 即圆的圆心坐标为，则圆的方程为， 即.故选：C 【变式1-2】（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 题型二 弦长问题 【例2】若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 【答案】或． 【解析】由题可知圆心，半径，弦长，设弦心距是d， 则，解得， 若l斜率不存在，直线是，代入圆的方程解得， 故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意， 若l斜率存在，设直线方程，即， 则圆心到直线的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． 【变式2-1】若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解析】将圆C的方程整理得， 圆心坐标为，半径为， 要求，，则圆心到直线的距离应小于等于， ∴，即（）， ∴，， 设直线l的斜率为k，则， ∴， 直线l的斜率的取值范围是. 【变式2-2】“”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为圆的圆心，半径. 又直线被圆截得的弦长为. 所以圆心C到直线的距离， 因此，解得或， 易知“”是“或”的充分不必要条件；故选：A. 题型三 切线方程 【例3】（2023高三·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 【变式3-1】过圆上点的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题知，，则切线斜率， 所以切线方程为，整理为． 故答案为： 【变式3-2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      题型四 圆有关的轨迹方程 【例4】已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为， 联立，消去得， 则， 即，两切线垂直故其斜率之积为-1， 则由根与系数关系知，即. 当切线斜率不存在或为0时，此时点坐标为，，，， 满足方程，故所求轨迹方程为.故选：A. 【变式4-1】动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【答案】（） 【解析】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外）， 即以的中点为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为：. 【变式4-2】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得， 即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 基础巩固通关测 一、单选题 1．直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】根据直线所过定点，求弦长的最小值和最大值，再结合选项，即可求解. 【详解】直线恒过点，且点在圆内， 当点是弦的中点时，此时弦长最短，圆心和点的距离为2，此时弦长，最长的弦长是直径为8， 所以弦长的取值范围是，其中只有B成立. 故选：B 2．过圆外一点作圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】先确定动点的轨迹，再结合基本（均值）不等式或直线与圆的位置关系求最大值. 【详解】如图： 依题意，，即. 解法一：，当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：B 解法二：设，由题意知直线与圆：有公共点，令，解得，故的最大值为. 故选：B 3．已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 【答案】D 【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形的中位线，所以，即， 即， 所以的最小值为30. 故选：D. 4．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径，设圆心到直线的距离为，用表示出的面积，由面积为50解出，再结合点到直线的距离公式解出的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，则， 所以的面积，解得. 又，所以，化简，得，解得. 故选：A. 5．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 6．已知直线：与圆交于两点，则使弦长为整数的直线共有（　　） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】C 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用圆的标准方程及垂径定理，结合两直线的垂直关系及直线的点斜式方程分析即可求解. 【详解】由，得，所以直线恒过点， 圆的圆心为，半径，则， 当直线与垂直时，为中点，此时，符合题意，此时直线有一条， 当直线过圆心C时，，满足题意，此时直线有一条， 则当时，各对应两条直线， 综上，共8条直线． 故选：C． 7．过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】先根据切线长度求出为定值，即，设，两个方程联立，利用求的取值范围. 【详解】由题意：，即. 设，则，代入，得. 因为关于的一元二次方程一定有解， 所以. 故选：A. 8．若两条直线和均与圆相交，且依次连接四个交点得到一个矩形，则（    ）． A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行、直线与圆的位置关系即可判断． 【详解】由已知可得圆的圆心到两条直线的距离相等， 过点且斜率为2的直线方程为， 则关于对称，故． 故选：C. 二、多选题 9．已知圆，则（    ） A．圆可能过原点 B．圆心在直线上 C．圆与直线相切 D．圆被直线所截得的弦长为 【答案】AD 【分析】依据点与圆的位置关系即可判断A，把圆心代入直线方程看是否满足方程即可判断B，求出圆心到直线的距离即可判断C，利用弦长公式求得弦长即可判断D. 【详解】由圆知：圆心，半径， 对于A：把原点代入圆的方程得， 所以解得或， 所以当或时，圆过原点，故A正确； 对于B：把圆心代入得， 当时，，此时圆心不在直线上，故B不正确； 对于C：圆心到直线的距离：， 所以圆与直线相离，故C不正确； 对于D：圆心到直线的距离为：， 所以圆被直线所截得的弦长为：，故D正确. 故选：AD. 10．已知点圆：，圆：上，则（    ） A．圆与圆相交 B．圆与圆有三条公切线 C．若为定值，点P的轨迹为一条直线 D．点P为圆上一点，点Q为圆一点，则为定值 【答案】BC 【分析】结合圆的方程及其性质，对选项分别判断即可得到答案. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 对于A，，所以圆与圆外切，故A错误， 对于B，因为圆与圆外切，所以圆与圆有三条公切线，故B正确， 对于C，因为为定值，设，，R， 则 整理得：，所以点P的轨迹为一条直线，故C正确， 对于D，因为点P为圆上一点，所以，即， 所以， 点Q为圆一点，同理可得，， 因为,之间的变化无联系，所以无法确定为定值，故D错误. 故选：BC. 11．已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为 【答案】ACD 【分析】直线与圆相交，由图分析计算即可. 【详解】如图： 对于A选项，当时，的值最小，， ，故选项A正确； 对于B选项，取的中点的中点， 的轨迹方程为， ，故选项B错误； 对于C选项，设， ，故选项C正确； 对于D选项，当时，的面积最大， ， 所以底边上的高所在的直线方程为，故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．已知等腰三角形ABC的顶点A的坐标为，底边，且圆A：与直线BC相切，则点B到原点O的最大距离为 . 【答案】6 【分析】根据题意可知点B的轨迹方程为，即可分析出在处时，点B到原点O的距离最大，进而求出最大距离. 【详解】由题意知圆A的圆心，半径为3. 设圆A与直线BC相切的切点为M，则，，所以，所以点B的轨迹方程为， 故在处时，点B到原点O的距离最大，为. 故答案为：6. 13．从点射出两条光线的方程分别为：和，经轴反射后都与圆相切，则 ． 【答案】 【分析】根据光学性质求出反射光线所在直线方程，再根据直线与圆相切列式，解方程组可得结果. 【详解】依题意知关于轴的对称点在反射光线所在直线上. 因为入射光线经轴反射，所以反射光线所在直线的斜率与入射光线所在直线的斜率互为相反数， 因为的斜率为，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为， 所以与其对应的反射光线所在直线方程为，即. 因为的斜率为，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为， 所以与其对应的反射光线所在直线方程为，即. 依题意有,且圆在轴上方，所以，且， 若，即，则，得或，均不符合题意； 若，即，则，得或（舍去），则. 则. 故答案为：. 14．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先进行转化，假设存在这样的点，使得，则，设点，可得，该圆对照，所以，求得点，再由，即可得解. 【详解】 假设存在这样的点，使得，则，设点，则， 即， 该圆对照，所以，所以点， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 16．已知圆. (1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若圆与圆C相切，求实数m的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况； （2）分内切和外切，结合公式，列式求值. 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 则，解得，所以直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）圆的方程可化为. 若圆与圆C外切，则，解得. 若圆与圆C内切，则，解得. 综上，或. 17．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程； （2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标. 【详解】（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为， 又圆的标准方程为， 所以，圆心到切线的距离等于圆的半径， 则，解得或， 因此，所求切线的方程为或. （2）解：，， 又，， 所以，，则． 所以，点在直线上． ，的长度的最小值就是长度的最小值， 而长度的最小值为到直线的距离， 此时直线的方程为． 由，解得， 因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为． 18．已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 19．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2)②证明见解析，；② 【分析】（1）分与两种情况，借助两点间距离公式求解即可. （2）①时，联立圆与直线方程，借助韦达定理及两点斜率公式求解，并验证时满足； ②由，将，代入计算即可. 【详解】（1）设，由题意得，，， 当时，即， 解得，当时，三点共线，舍去，所以， 当时， 即，解得，所以， 综上或； （2）①设，，，，，， ，， 设直线斜率存在， 联立，消去y可得， 设，， 则，， 故，，， 或舍去， 则直线， ∴直线恒过定点， 当时，过定点，符合， 综上，直线恒过定点； ②由①得，， 则 ， ， 令， 则，当时，取得最大值， 当直线，四边形面积有最大值 . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解. 【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角， 结合对称性可得所求概率. 故选：C.      2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 二、填空题 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 10．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 11．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 12．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 13．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$