第2章 圆与方程（单元测试·提升卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·能力提升 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C A A A D A 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 ACD ABC ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14．/ 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） （1）将点代入， 则，解得，（2分） 即，（3分） 故圆的标准方程为，（4分） 故圆心，半径；（6分） （2）由题意得直线的方程为，即，（8分） 故圆心到直线的距离，（10分） 则弦长．（12分） （13分） 16．（15分） （1）解：因为，圆， 则，消去得整理得，因为，则； 若直线与圆相离，则，解得，即；（5分） （2）解：若直线与圆相离切，则，解得或；（10分） （3）解：若直线与圆相交，则，解得或， 即（15分） 17.（15分） （1）圆O的圆心为O(0，0)，半径 由圆C：得，． 所以圆C的圆心C(3，4)，半径（2分） 因为两圆相外切，所以，,即，解得（5分） （2）由（1）得圆C： ①当直线l的斜率不存在时，设l的方程为 依题意，解得，即l的方程为（7分） ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 依题意，所以（9分） 当时，，代入上式可得， 解得，即（11分） 所以此时l的方程为 当时，代入上式可得， 解得即（13分） 所以此时l的方程为 故满足题设的l的方程为或或．（15分） 18．（17分） （1）由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为；（7分） （2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即.     （17分） 19．（17分） （1）因为圆的半径为1， 所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于， 设过点的直线方程为：即， 则由题意有，解得， 所以所求直线的方程为：.（4分） （2）由题设，由已知可设圆心为， 则所求圆的方程为：或， 又直线关于圆的圆心距单位， 所以圆心到直线的距离为， 即有或3， 所以所求圆的方程为或.（10分） （3）假设存在点，设过的两条直线为： 和， 又的圆心半径为1， 的圆心半径为2， 由题意可得， 化简可得或， 即有或， 解得或， 所以存在这样的点和 满足条件.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A．3 B． C． D． 3．若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．直线：和圆：在同一坐标系的图形只能是（　　） A． B． C． D． 5．已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ） A．或2 B．或4 C． D． 7．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．1或3 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 10．已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 11．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为 ． 13．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 16.（15分） 已知直线，圆.当m为何值时，直线l与圆O： (1)相离？ (2)相切？ (3)相交？ 17.（15分） 已知圆O：与圆C：相外切． (1)求m的值； (2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程． 18.（17分） 已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 19.（17分） 定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1. （1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程； （2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程； （3）是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A．3 B． C． D． 3．若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．直线：和圆：在同一坐标系的图形只能是（　　） A． B． C． D． 5．已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ） A．或2 B．或4 C． D． 7．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．1或3 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 10．已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 11．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为 ． 13．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 16.（15分） 已知直线，圆.当m为何值时，直线l与圆O： (1)相离？ (2)相切？ (3)相交？ 17.（15分） 已知圆O：与圆C：相外切． (1)求m的值； (2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程． 18.（17分） 已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 19.（17分） 定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1. （1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程； （2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程； （3）是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合垂径定理分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所截线段的长度为. 故选：D. 2．过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆心为，即可求出，从而得到，再由诱导公式及倾斜角的定义判断即可. 【详解】设圆心为，则， 依题意，所以， 又，所以直线的倾斜角为3．. 故选：A 3．若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距. 【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切线），因此圆心距，结合解得． 故选：C. 4．直线：和圆：在同一坐标系的图形只能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法：先判断出直线的斜率，排除C，D.再由直线与圆相切得到A正确，B错误． 【详解】∵圆的方程可化为：， ∴圆心，半径， 又直线的方程可化为：. 由4个选项的圆心都在第三象限， ∴，∴，∴排除选项C，D. 又圆心到直线的距离， ∴直线与圆相切，故选项A正确，选项B错误． 故选：A． 5．已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，且，由此可求得，利用三角形两边之和大于第三边的性质可确定当三点共线时取得最小值. 【详解】设点，则， 设点，且，， 解得：，存在点，使得， （当且仅当三点共线时取等号）， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗尼斯圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解. 6．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ） A．或2 B．或4 C． D． 【答案】A 【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：的圆心，半径， 因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为， 即，整理得，解得或， 故选：A. 7．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．1或3 【答案】A 【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，求出切点的横坐标即可. 【详解】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点， 已知，则线段的中点坐标为，直线斜率为， 线段的垂直平分线方程为，即. 所以以线段为弦的圆的圆心在直线上， 所以可设圆心坐标为， 又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为， 所以，解得或， 即切点分别为和，两圆半径分别为. 由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小， 且过点的圆的半径比过的圆的半径大， 所以，故点为所求， 所以当取最大值时，点的横坐标是. 故选：A.    二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答. 【详解】对于A，，点在圆内； 对于B，，点在圆外； 对于C，，在圆上； 对于D，，在圆内. 故选：ACD 10．已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程. 【详解】根据题意可知，两圆心关于原点对称， 在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：    显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线； 又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确； 利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为， 又到切线的距离为1，即，解得或； 当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确； 由对称性可知，切线与直线平行， 易知，所以直线的方程为， 可设的方程分别为， 由两平行线间距离公式可得，解得， 即切线的方程分别为，； 整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误； 故选：ABC 11．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可知最大距离为；对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得所以；对于C，若为圆的切线，则，解得，另一条切线为，斜率不存在；对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时，点到的距离取最大值. 【详解】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为3， 设圆心到直线的距离为， 当时，； 当与直线不垂直时，总有， 综上，，所以点到的最大距离为，故A正确； 对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得， 所以，故B正确； 对于C，若为圆的切线，则，解得， 另一条切线为，斜率不存在，故C错误； 对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时， 点到的距离取最大值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为 ． 【答案】 【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长. 【详解】圆与圆联立可得： 公共弦的方程为， 变形为， 故的圆心为，半径为， 而满足，故弦AB的长为圆的直径， 故弦AB的长为． 故答案为：. 13．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，由题可得，即得. 【详解】令，则，代入， 可得， ∴， 解得， 即的取值范围为. 故答案为；. 14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，    则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是将点的曼哈顿距离转化为图形，从而利用数形结合即可得解. 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将点代入后计算即可得圆的方程，化为标准方程即可得圆心坐标与半径长； （2）由题意可得直线方程，借助弦长公式计算即可得. 【详解】（1）将点代入， 则，解得， 即， 故圆的标准方程为， 故圆心，半径； （2）由题意得直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离， 则弦长． 16.（15分） 已知直线，圆.当m为何值时，直线l与圆O： (1)相离？ (2)相切？ (3)相交？ 【答案】(1) (2)或0 (3) 【分析】联立直线与圆的方程，消去，表示出根的判别式，再根据直线与圆的关系得到不等式，解得即可； 【详解】（1）解：因为，圆，则，消去得整理得，因为，则； 若直线与圆相离，则，解得，即； （2）解：若直线与圆相离切，则，解得或； （3）解：若直线与圆相交，则，解得或，即； 17.（15分） 已知圆O：与圆C：相外切． (1)求m的值； (2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可. (2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解. 【详解】（1）圆O的圆心为O(0，0)，半径 由圆C：得，． 所以圆C的圆心C(3，4)，半径 因为两圆相外切，所以，,即，解得 （2）由（1）得圆C： ①当直线l的斜率不存在时，设l的方程为 依题意，解得，即l的方程为 ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 依题意，所以 当时，，代入上式可得， 解得，即 所以此时l的方程为 当时，代入上式可得， 解得即 所以此时l的方程为 故满足题设的l的方程为或或． 18.（17分） 已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； （2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即.      19.（17分） 定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1. （1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程； （2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程； （3）是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2） 或；（3）存在或. 【分析】（1）先运用直线的点斜式方程，建构直线方程，再运用点到直线的距离公式待定斜率； （2）由已知可设圆心为，借助题设建构方程求出即可； （3）可先设点的坐标为，再依据题设建构关于的方程组，最后通过解方程组可使本题获解. 【详解】（1）因为圆的半径为1， 所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于， 设过点的直线方程为：即， 则由题意有，解得， 所以所求直线的方程为：. （2）由题设，由已知可设圆心为， 则所求圆的方程为：或， 又直线关于圆的圆心距单位， 所以圆心到直线的距离为， 即有或3， 所以所求圆的方程为或. （3）假设存在点，设过的两条直线为： 和， 又的圆心半径为1， 的圆心半径为2， 由题意可得， 化简可得或， 即有或， 解得或， 所以存在这样的点和 满足条件. 学科网（北京）股份有限公司2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$