第2章 圆与方程（单元测试·基础卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·基础通关 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A B D C A A 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 ACD AC ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14．8 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 【解析】（1）若此方程表示圆，则， 解得， 即实数m的取值范围是；（4分） （2）由（1）可知，此时圆E：， 圆心坐标为，半径为1，（6分） 因为圆F和圆E关于y轴对称， 所以圆F圆心坐标是，半径是1，（8分） 故圆F方程为，（9分） 则圆心到直线的距离，（11分） 故到直线的距离的最大值为，最小值.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）根据题意得两圆的半径分别为和，两圆的圆心距 d＝＝5. 从而. 有唯一公共点时，由，得5＝2a＋1，解得a＝2.（5分） （2）有两个公共点时，由，得5＜2a＋1，解得a＞2.（10分） （3）无公共点时，由，得5＞2a＋1，解得0＜a＜2.（15分） 17.（15分） （1）若选①.因为圆心在直线，设圆心， 则， 解得，故圆心为，半径为， 则圆的标准方程为；（5分） 若选②，设圆的方程为， 因为圆C过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为， 可化为圆的标准方程为.（5分） （2）由题意，，，则四点共圆且为直径， 因为，所以的中点为，， 所以以线段为直径的圆的方程为， 整理得：，（8分） 因为也在圆上 所以由两圆的方程作差得：，即， 故直线的方程为.（11分） 因为到直线的距离， 所以（15分） 18．（17分） （1）由题意得：圆的圆心坐标，半径为， 圆整理可得，其圆心坐标，半径为3， 由两圆外切得，解得；（5分） （2）由题意得：点A坐标为，点B坐标为， 设P点坐标为， 则直线PA的方程为，直线PB的方程为， 所以点M的坐标为，点N的坐标为，（9分） 则四边形ABNM的面积 ，（12分） 由点P在圆上，可得，代入上式， 所以四边形ABNM的面积，（16分） 即四边形ABNM的面积为定值4．（17分） 19．（17分） （1）解：由圆，可得圆心为，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为.（5分） （2）解：记点，则表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最大值为，最小值为.（11分） （3）解：设， 则等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 根据圆的性质，可得， .（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 【答案】C 【分析】由题意可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，根据圆与圆的位置关系分析即可得出结果． 【详解】由题意知，，圆心为，半径为1； ，圆心为，半径为4， 两圆的圆心距为：，又两圆半径之和为5，两圆半径之差为3， 因为3＜＜5，所以两圆相交． 故选：C 2．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝（　　） A．－1 B．±1 C．－2 D．±2 【答案】D 【分析】根据圆心到y轴的距离建立方程求解. 【详解】因为圆心坐标为， 所以，解得. 故选：D 3．已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意，直线过圆心，进而有，又，从而利用均值不等式即可求解的最大值. 【详解】解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称， 所以直线过圆心， 所以，又， 所以即当取最大值为， 故选：A. 4．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案. 【详解】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 5．已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B． C．-1 D．0 【答案】D 【分析】写出圆的标准形式确定圆心和半径，求圆心到直线距离并结合已知，判断与半径的关系求实数a. 【详解】由圆的标准方程为，则圆心为，半径为且， 又到的距离， 所以要使圆上仅有一点到直线距离为1，只需且，则. 故选：D 6．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（    ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】C 【分析】由题意只需直线过圆心，所截得的弦为直径最长，将圆心坐标代入方程求参数即可. 【详解】要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心， 所以，可得. 故选：C 7．已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易求直线的方程，可求圆心到直线的距离，进而可求圆上的点到直线的距离的范围，因为对任意的点，总存在点，，使得，则以为直径的圆包含圆，故，化简即得所求. 【详解】由题可得点，在直线上， 圆的方程为，则圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离的范围为. 因为对任意的点，总存在点，，使得， 所以以为直径的圆包含圆，故， 所以，得， 故选：A. 8．已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点坐标，利用圆与圆的位置关系求得直线的方程，从而求得定点坐标. 【详解】设， 圆的圆心为，一般方程为①， 线段中点坐标为， ， 所以以线段为直径的圆的方程为， 整理得②， ①-②并化简得， 即， . 所以定点坐标为. 故选：A 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答. 【详解】对于A，，点在圆内； 对于B，，点在圆外； 对于C，，在圆上； 对于D，，在圆内. 故选：ACD 10．已知过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．的面积为 【答案】AC 【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，准线判定，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 又由点在圆内部， 因为过点的直线与圆交于两点， 所以的最大值为，所以A正确； 因为， 当直线与垂直时，此时弦取得最小值， 最小值为，所以B错误； 当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值， 且最大值为，所以C正确； 由，可得，即， 所以的面积为，所以D错误. 故选：AC. 11．已知圆，直线，则（    ） A．直线与圆C相交 B．直线过定点（2，1） C．圆C被y轴截得的弦长为 D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1 【答案】ACD 【分析】先考虑直线过定点，再判断该点在圆的内部，故可判断AB，利用弦长公式结合圆心到直线的距离可判断D的正误，在圆的方程中令后可求圆C被y轴截得的弦长，故可判断B的正误. 【详解】可整理为， 令，则，故直线过定点，故B错误. 因为，故定点在圆的内部，故直线与圆C相交， 故A正确. 在圆的方程中令，则即， 故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确. 因为直线过定点，该定点与圆心的距离为， 故圆心到直线的距离， 故圆C被直线截得的弦长为， 当且仅当时等号成立，此时定点与圆心连线的斜率为0， 该连线垂直于直线，故直线的方程为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆：上的点到直线的距离最大值是 . 【答案】 【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标和半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,求出即为所求的距离最大值. 【详解】化为标准方程得:, 所以圆心坐标为,圆的半径, 所以圆心到直线的距离, 则圆上的点到直线的距离最大值为, 故答案为 . 此题考查了点到直线的距离公式,找出圆上的点到已知直线的距离最大值为是解本题的关键. 13．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为 ． 【答案】＝2 【分析】由圆与轴的交点和的坐标，根据垂径定理得到圆心在直线上，又圆心在直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集得到交点坐标即为圆心坐标，由求出的圆心坐标和的坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到的距离即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程即可． 【详解】解：由题意得：圆心在直线上， 又圆心在直线上，令，得 圆心的坐标为，又， 半径， 则圆的方程为． 故答案为： 14．如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米． 【答案】8 【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度. 【详解】 画出圆拱图示意图，设圆半径为,雨季时水位方程，解得； 旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为. 所以答案为 8. 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值 【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围； （2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案. 【详解】（1）若此方程表示圆，则， 解得， 即实数m的取值范围是； （2）由（1）可知，此时圆E：， 圆心坐标为，半径为1， 因为圆F和圆E关于y轴对称， 所以圆F圆心坐标是，半径是1， 故圆F方程为， 则圆心到直线的距离， 故到直线的距离的最大值为，最小值. 16．（15分）已知两圆， (a＞0)，试求当为何值时，两圆： (1)有唯一公共点？ (2)有两个公共点？ (3)无公共点？ 【答案】(1)a＝2 (2)a＞2 (3)0＜a＜2 【分析】由两圆的半径之和或差与两圆的圆心距比较即可求解. 【详解】（1）根据题意得两圆的半径分别为和，两圆的圆心距 d＝＝5. 从而. 有唯一公共点时，由，得5＝2a＋1，解得a＝2. （2）有两个公共点时，由，得5＜2a＋1，解得a＞2. （3）无公共点时，由，得5＞2a＋1，解得0＜a＜2. 17．（15分）在平面直角坐标系中： ①圆C过和，且圆心在直线上； ②圆C过三点． (1)在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程； (2)在（1）的条件下，过直线上的点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长． 【答案】(1) (2), 【分析】（1）选①，根据圆心在直线上设出圆心，再利用圆心到圆上两点距离等于半径求解，选②，设圆的一般方程，代入圆上三点坐标，求解即可； （2）由切线性质知四点共圆且为直径，写出圆的方程，两圆方程作差即可求出直线的方程，再由圆的几何性质求弦长即可. 【详解】（1）若选①.因为圆心在直线，设圆心， 则， 解得，故圆心为，半径为， 则圆的标准方程为； 若选②，设圆的方程为， 因为圆C过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为， 可化为圆的标准方程为. （2）由题意，，，则四点共圆且为直径， 因为，所以的中点为，， 所以以线段为直径的圆的方程为， 整理得：， 因为也在圆上 所以由两圆的方程作差得：，即， 故直线的方程为. 因为到直线的距离， 所以 18．（17分）若圆与圆相外切． (1)求m的值； (2)若圆与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）分别求得圆、的圆心坐标和半径，根据两圆外切，可得圆心距等于两圆半径和，列出方程，即可得答案. （2）由题意求得A、B点坐标，设P点坐标为，即可求得直线PA的、PB的方程，进而可求得M、N点坐标，即可求得四边形ABNM的面积表达式，化简整理，即可得证. 【详解】（1）由题意得：圆的圆心坐标，半径为， 圆整理可得，其圆心坐标，半径为3， 由两圆外切得，解得； （2）由题意得：点A坐标为，点B坐标为， 设P点坐标为， 则直线PA的方程为，直线PB的方程为， 所以点M的坐标为，点N的坐标为， 则四边形ABNM的面积 ， 由点P在圆上，可得，代入上式， 所以四边形ABNM的面积， 即四边形ABNM的面积为定值4． 19．（17分）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. (3)， 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点，列出不等式，求得的取值范围，即可求解； （2）把表示直线的斜率，设直线的方程为，结合直线与圆有公共点，列出不等式，即可求解； 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）由，转化为圆的圆心到原点的距离的平方，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为. （2）解：记点，则表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）解：设， 则等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 根据圆的性质，可得， . 学科网（北京）股份有限公司12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 2．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝（　　） A．－1 B．±1 C．－2 D．±2 3．已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B． C．-1 D．0 6．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（    ） A． B．-1 C．1 D． 7．已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 10．已知过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．的面积为 11．已知圆，直线，则（    ） A．直线与圆C相交 B．直线过定点（2，1） C．圆C被y轴截得的弦长为 D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆：上的点到直线的距离最大值是 . 13．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为 ． 14．如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 16．（15分）已知两圆， (a＞0)，试求当为何值时，两圆： (1)有唯一公共点？ (2)有两个公共点？ (3)无公共点？ 17．（15分）在平面直角坐标系中： ①圆C过和，且圆心在直线上； ②圆C过三点． (1)在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程； (2)在（1）的条件下，过直线上的点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长． 18．（17分）若圆与圆相外切． (1)求m的值； (2)若圆与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 19．（17分）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第2章 圆与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 2．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝（　　） A．－1 B．±1 C．－2 D．±2 3．已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B． C．-1 D．0 6．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（    ） A． B．-1 C．1 D． 7．已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 10．已知过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．的面积为 11．已知圆，直线，则（    ） A．直线与圆C相交 B．直线过定点（2，1） C．圆C被y轴截得的弦长为 D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆：上的点到直线的距离最大值是 . 13．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为 ． 14．如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知方程. (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值. 16．（15分）已知两圆， (a＞0)，试求当为何值时，两圆： (1)有唯一公共点？ (2)有两个公共点？ (3)无公共点？ 17．（15分）在平面直角坐标系中： ①圆C过和，且圆心在直线上； ②圆C过三点． (1)在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程； (2)在（1）的条件下，过直线上的点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长． 18．（17分）若圆与圆相外切． (1)求m的值； (2)若圆与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 19．（17分）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$