专题01 圆与方程（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题01 圆与方程（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆的方程 1 题型二、直线与圆的位置关系 1 题型三、圆的切线方程 1 题型四、圆的弦长问题 2 题型五、圆与圆的位置关系 2 题型六、圆的公共弦 2 题型七、圆的公切线 2 题型八、圆相关的轨迹问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆的方程 1．下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 2．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 3．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二、直线与圆的位置关系 4．若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 6．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 题型三、圆的切线方程 7．过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 8．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 9．已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 题型四、圆的弦长问题 10．已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 11．，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 12．已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 题型五、圆与圆的位置关系 13．圆与圆的位置关系是 ． 14．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 15．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 题型六、圆的公共弦 16．已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 17．两圆和的公共弦长为 ． 18．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 题型七、圆的公切线 19．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 20．圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 题型八、圆相关的轨迹问题 22．已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 23．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 24．在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 1．（2016·全国II卷·高考真题）圆的圆心到直线的距离为1，则 A． B． C． D．2 2．（2012·天津·高考真题）设,若直线 与 轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆 相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为 ． 3.（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 6．（2008·重庆·高考真题）圆O1：和圆O2：的位置关系是 A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 7．（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 8．（2011·全国卷·高考真题）设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离= A．4 B． C．8 D． 9．（2007·山东·高考真题）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 . 10．（2007·上海·高考真题）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 12．（2004·湖北·高考真题）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 13．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 14．（2000·北京·高考真题）如图，设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 15．（1994·全国·高考真题）已知圆和，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明表示什么曲线. 16．（2015·广东·高考真题）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 17．（2003·北京·高考真题）设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹． 18．（1979·全国·高考真题）过原点O作圆的任意割线交圆于两点，求的中点的轨迹． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆与方程（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆的方程 1 题型二、直线与圆的位置关系 2 题型三、圆的切线方程 4 题型四、圆的弦长问题 5 题型五、圆与圆的位置关系 7 题型六、圆的公共弦 8 题型七、圆的公切线 9 题型八、圆相关的轨迹问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆的方程 1．下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 2．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 3．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 题型二、直线与圆的位置关系 4．若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意可知直线必过圆心，从而得，再利用二次函数性质求解最小值即可. 【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以． 所以， 所以，时，取到最小值为. 故选：B． 5．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 6．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先求出过的直线方程，然后求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出半径的值. 【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分， 所以该直线经过圆心. 所以该直线的斜率为. 所以该直线的方程为，倾斜角为. 因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为， 中，当时，， 从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点. 所以射出的直线方程为，即. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径， 即. 故答案为：. 题型三、圆的切线方程 7．过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 8．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 9．已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用数量积的运算律，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 题型四、圆的弦长问题 10．已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 11．，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 12．已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行分，时，计算求解参数，再应用几何法计算弦长即可求解. 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，由两直线平行，得，解得或， 当时，两直线重合，不符合，所以． 由得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 截得的弦长为， 当且仅当时，取等号． 故截得的弦长最短为． 故答案为：；. 题型五、圆与圆的位置关系 13．圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 14．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 15．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 题型六、圆的公共弦 16．已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 17．两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 18．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 题型七、圆的公切线 19．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 20．圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 21．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 题型八、圆相关的轨迹问题 22．已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 【答案】 【分析】利用动点坐标来表示距离之比，通过距离之比为常数，可得对应系数成比例，从而可求解. 【详解】设动点，则有， 由， 由于为常数,所以， 解得或，因为，所以， 故答案为：. 23．在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 . 【答案】 【分析】利用两点距离公式求得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，易得点到直线的最大距离，从而求得面积的最大值. 【详解】设点，由可得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又直线与轴重合，所以点到直线的最大距离为圆的半径， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 24．在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解. 【详解】由动点到点距离的平方和为10，得， 则点的轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为： 1．（2016·全国II卷·高考真题）圆的圆心到直线的距离为1，则 A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A. 【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 2．（2012·天津·高考真题）设,若直线 与 轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆 相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为 ． 【答案】3. 【分析】由点到直线的距离公式和弦长公式求得的关系，利用基本不等式即可求解即可. 【详解】如图所示,取CD中点E,连接OE,则OE⊥CD, ∵l与圆相交所得弦的长为2,,又∵圆的半径, 直线的方程为, 由点到直线的距离公式得=, ∴m2＋n2=≥2|mn|,∴|mn|≤,当且仅当时取等号, 的最大值为. l与x轴交点A(,0),与y轴交点B(0,), =·||||=·, 的面积的最小值为. 故答案为：3. 3.（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 5．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 6．（2008·重庆·高考真题）圆O1：和圆O2：的位置关系是 A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】B 【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B． 考点：圆与圆的位置关系． 7．（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 8．（2011·全国卷·高考真题）设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离= A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】试题分析：依题意设两圆方程分别为，分别将代入得，所以，圆心距. 考点：圆与圆的位置关系. 9．（2007·山东·高考真题）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】曲线化为， 其圆心到直线的距离为 所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为 标准方程为． 10．（2007·上海·高考真题）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得已知圆的圆心坐标和半径；求得圆心关于直线的对称点坐标，即为所求圆的圆心，又半径不变，从而可得圆的方程. 【详解】由圆的方程可知圆心坐标为：，半径为： 设圆心关于直线的对称点为 则：，解得：，即所求圆圆心为： 所求圆的方程为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查求解圆关于直线对称的圆的方程的求解，关键是明确两圆半径相同，且圆心关于直线对称. 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 12．（2004·湖北·高考真题）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 13．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为. 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：（1）由圆，即， 圆的圆心坐标为，半径． 设，则，． 由题意可得，即． 整理得． 的轨迹方程是． （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于， 故在线段的垂直平分线上， 又在圆上， 从而． ， 直线的斜率为． 直线的方程为，即． 则到直线的距离为． 又到的距离为， ． ． 14．（2000·北京·高考真题）如图，设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 【答案】，M 的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，去掉坐标原点． 【分析】设出点的坐标，根据给出的两个垂直关系，得到各个坐标间的关系，消去参数得到轨迹方程，并去掉不符合的点． 【详解】设 ， 的斜率分别为 ． 所以 由 ，得 由点在 上，得直线方程 由 ，得直线 方程 设点 ， 则 满足②、③两式，将②式两边同时乘 ，并利用③式整理得 由③、④两式得 由①式知， ∴ 因为 是原点以外的两点，所以 ． 所以点 M 的轨迹方程为， 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，去掉坐标原点． 15．（1994·全国·高考真题）已知圆和，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明表示什么曲线. 【答案】方程为 （1）时，方程表示的曲线是直线；（2）时，方程表示的曲线是圆． 【分析】设点的坐标为，利用勾股定理计算出切线长，结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，再对二次项的系数是否为零讨论曲线的形状． 【详解】设点的坐标为，则切线长为，， 由题意可得，化简得. （1）当时，即当时，方程为，表示的图形是直线； （2）当时，即当且时，方程可化为， 由于，该方程表示的图形为圆. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程，考查圆的切线长的计算以及两点间距离公式的应用，在确定方程所表示的曲线为圆时，将方程化为一般式，同时要对不等式 是否成立进行检验，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中等题． 16．（2015·广东·高考真题）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由得， ∴ 圆的圆心坐标为； （2）设，当x=3时，符合题意； 当x不等于3时， ∵ 点为弦中点即， ∴即， ∴ 线段的中点的轨迹的方程为； （3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点， 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 17．（2003·北京·高考真题）设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹． 【答案】答案见解析 【分析】设动点P坐标为，根据题意列方程整理后讨论可得. 【详解】设动点P坐标为，则由题可得 整理可得： 当时，方程可化简为； 当时，方程为， 因为， 所以，此时方程表示圆. 综上，当时，P点的轨迹为直线； 当时，P点的轨迹为圆 18．（1979·全国·高考真题）过原点O作圆的任意割线交圆于两点，求的中点的轨迹． 【答案】以为圆心，为半径的圆的一段弧 【分析】法一：利用点差法可求得斜率与的关系式，再将代入即可得到点的轨迹方程，从而得到点的轨迹，注意轨迹只是圆的一段弧. 法二：利用垂径定理可得，故点落在以为直径的圆上，由此可求得圆的方程，从而得到点的轨迹. 【详解】法一： 依题意，设，， 当斜率不存在时，为，代入圆得，即，得，即与圆只有一个交点（相切），不满足题意； 当斜率存在时，设为，则， 因为在圆上，则， 两式相减整理得，即， 又因为， 所以，代入，得， 整理得，即， 由此作出圆与的图像如图，由于点是的中点，所以点的轨迹一定在圆的内部， 联立，解得或， 所以点的轨迹方程为， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在已知圆内的一段弧. 法二：由得， 假设圆的圆心为，则，如图，连结， 因为点是的中点，所以由垂径定理得， 所以点落在以为直径的圆（不妨设为圆）上，则，半径为， 故圆为， 由于点是的中点，所以点的轨迹一定在圆的内部，余者解法与法一同，略. 1 / 10 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