第2章 圆与方程（知识清单）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第2章 圆与方程 1、圆的方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为 ,定长为 ). 圆心决定圆的 ,半径决定圆的 . （2）圆的标准方程： 1.方程 (r>0)叫作以 为圆心， 为半径的圆的标准方程. 2.圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3.圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. （3）圆的一般方程： 1.方程 叫做圆的一般方程. 2.圆的标准方程的适用条件：①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心 代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 3.圆的标准方程的优点：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 2、二元二次方程与圆的方程 （1）二元二次方程与圆的关系：二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. （2）二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是 . 3、点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系 ①如图所示，点M与圆A有三种位置关系： . ②圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 4、轨迹方程 （1）轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. （2）求轨迹方程步骤 (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 5、圆相关的对称 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 6、直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 图形 d与r的关系 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法: 通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即 ，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即 ，则直线与圆相切；若无实数解，即 ，则直线与圆相离. ②几何法: 由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当 时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆 ；当d>r时，直线与圆 . 7、圆的切线及切线方程 (1) 自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的 切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的 切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2) 求过圆上的一点的圆的切线方程： 1. 求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. 2.重要结论 ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 8、圆的弦长 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： ①几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式： . ②代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把 或 叫作弦长公式. 9、圆相关的最值问题 （1）圆的几何性质求最值 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ① 如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为 ，最大距离为AD= 其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ② 如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为 ，最大距离为AD= ； ③ 如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD= ，最大距离为AD= （2）直线与圆的位置关系求范围或最值 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为 的最值问题. ② 形如t=ax+by的最值问题，可转化为 的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为 的最值问题. (3)圆内弦长的最值 经过圆内一点的最长弦就是经过这点的 ，过这点和最长弦垂直的弦就是 弦. 10、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系: ，其中外离和内含统称为 ，外切和内切统称为 . (2)圆与圆的位置关系判断方法: ①几何法: 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 外切 相交 内切 内含 ③ 代数法: 联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点， ；当=0时，两圆只有一个公共点，包括 ；当<0时， 两圆无公共点，包括 11、两圆的公切线 (1)定义: 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)公切线判断两圆的位置关系: ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 （3）求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 12、两圆的公共弦 （1）公共弦方程：两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. （2）求两圆公共弦长的方法： ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 13、圆系方程及其应用 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 一、圆的方程 1.遗漏方程表示圆的充要条件 错误：特殊情况考虑时，容易忽略掉表示圆的前提． 注意：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 题型01 圆的方程 1. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ） A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1 3．（2004·上海·高考真题）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为 . 4．（2016·浙江·高考真题）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 5．（2004·北京·高考真题）圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ． 题型02点与圆的位置关系 6．（1988·全国·高考真题）设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（    ） A．点P在直线L上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线L上 C．点P既在圆M上，又在直线L上 D．点P既不在直线L上，也不在圆M上 7．（2013·陕西·高考真题）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ）． A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 8．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2020高三·安徽·学业考试）已知点在圆的内部，则（    ） A． B． C． D． 10．（16-17高一上·江苏·期中）已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　) A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断 题型03直线与圆的位置关系 11．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ． 12．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 13．（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ． 14．（2002·全国·高考真题）若直线与圆相切，则的值为（　　） A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．1 D．﹣1 15．（2004·全国·高考真题）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型04圆与圆的位置关系 16．（2007·天津·高考真题）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ． 17．（2009·四川·高考真题）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ． 18.（2012·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为 ． 19．（2012·山东·高考真题）圆与圆的位置关系为 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 20．（2014·湖南·高考真题）若圆与圆外切，则 A．21 B．19 C．9 D．-11 题型05圆的相关轨迹问题 21．（2004·天津·高考真题）如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（    ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 22．（2006·四川·高考真题）已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 23．（2004·全国·高考真题）由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为 ． 24．（1982·全国·高考真题）已知定点A，B且，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 25．（2014·四川·高考真题）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ． 圆与方程 圆的方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆的方程 点与圆的位置关系 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径 圆的标准方程、圆的一般方程、二元二次方程与圆的方程 点与圆有三种位置关系:点在圆上，点在圆内，点在圆外 直线与圆的位置关系:相交、相切、相离 直线与圆的位置关系的判定方法:(1)代数法;(2)几何法 圆的切线及切线方程:切线的条数、切线长、切线方程 圆的弦长:(1)几何法;(2)代数法、圆的中点弦 圆与圆有五种位置关系:外离、外切、相交、内切、内含 两圆的公切线:两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线 两圆的公共弦:(1)两圆公共弦所在的直线的方程;(2)两圆公共弦长 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程 1、圆的方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. （2）圆的标准方程： 1.方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. 2.圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3.圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. （3）圆的一般方程： 1.方程叫做圆的一般方程. 2.圆的标准方程的适用条件：①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 3.圆的标准方程的优点：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 2、二元二次方程与圆的方程 （1）二元二次方程与圆的关系：二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. （2）二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是. 3、点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系 ①如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. ②圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 4、轨迹方程 （1）轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. （2）求轨迹方程步骤 (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 5、圆相关的对称 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 6、直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法: 通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法: 由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 7、圆的切线及切线方程 (1) 自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2) 求过圆上的一点的圆的切线方程： 1. 求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. 2.重要结论 ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 8、圆的弦长 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： ①几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. ②代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 9、圆相关的最值问题 （1）圆的几何性质求最值 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. （2）直线与圆的位置关系求范围或最值 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)圆内弦长的最值 经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 10、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系: 外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系判断方法: ①几何法: 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法: 联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 11、两圆的公切线 (1)定义: 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)公切线判断两圆的位置关系: ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 （3）求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 12、两圆的公共弦 （1）公共弦方程：两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. （2）求两圆公共弦长的方法： ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 13、圆系方程及其应用 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 一、圆的方程 1.遗漏方程表示圆的充要条件 错误：特殊情况考虑时，容易忽略掉表示圆的前提． 注意：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 题型01 圆的方程 1. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，方程可以表示圆，则，得； 由点在圆的外部可知：，得. 故.故选：C 2. 若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ） A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1 【答案】C 【解析】∵表示圆， ∴∴. 又圆过原点，∴，∴或（舍去）； .故选:C. 3．（2004·上海·高考真题）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，设圆的一般方程，结合已知条件列出方程组，进而可求解. 【详解】设圆的一般方程为. 因圆心在直线上， 所以，即.① 又因点，在圆上， 所以，② 由①②，解得，，， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 4．（2016·浙江·高考真题）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 【答案】 ； 5． 【详解】试题分析：由题意，知，，当时，方程为，即，圆心为，半径为5，当时，方程为，不表示圆． 圆的标准方程. 由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误． 5．（2004·北京·高考真题）圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由圆的标准方程即可求出圆心和半径；直线与该圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出实数a的取值范围. 【详解】由知圆的圆心坐标为，， 直线与该圆有公共点， 则圆心到直线的距离小于等于半径， 所以，化简得：. 所以实数a的取值范围是：. 故答案为：；. 题型02点与圆的位置关系 6．（1988·全国·高考真题）设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（    ） A．点P在直线L上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线L上 C．点P既在圆M上，又在直线L上 D．点P既不在直线L上，也不在圆M上 【答案】C 【分析】将点P的坐标分别代入圆的方程和直线方程验算即可. 【详解】由条件知：，代入圆  得： ， ∴点P在圆上； 再将点P的坐标代入直线 ，得： ，∴点P也在直线上； 故选：C. 7．（2013·陕西·高考真题）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ）． A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】点在圆外，， 圆心到直线距离， 直线与圆相交. 故选B. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 9．（2020高三·安徽·学业考试）已知点在圆的内部，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆的内部，则， 解得. 故选：D. 10．（16-17高一上·江苏·期中）已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　) A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断 【答案】B 【详解】因为 ,所以点M在圆上，选B. 题型03直线与圆的位置关系 11．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 12．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 13．（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ． 【答案】 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心和半径，根据相切得到，根据圆心在y轴的左侧得到，解得答案. 【详解】，即， 圆心为，半径为，圆心在轴的左侧，故，即， 圆与直线相切，故，解得. 故答案为： 14．（2002·全国·高考真题）若直线与圆相切，则的值为（　　） A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】D 【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线的距离等于半径，求得的值即可． 【详解】圆的方程可化为， 表示以为圆心、半径等于1的圆， 圆心到直线的距离，解得：， 故选：． 15．（2004·全国·高考真题）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 题型04圆与圆的位置关系 16．（2007·天津·高考真题）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ． 【答案】 【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为． 考点：相交弦所在直线的方程 17．（2009·四川·高考真题）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ． 【答案】4 【详解】依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4. 18.（2012·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为. 19．（2012·山东·高考真题）圆与圆的位置关系为 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为 ，，所以两圆相交 ．故选B． 考点：圆与圆的位置关系． 20．（2014·湖南·高考真题）若圆与圆外切，则 A．21 B．19 C．9 D．-11 【答案】C 【详解】试题分析：因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得 ,故选C. 考点：圆与圆之间的外切关系与判断 题型05圆的相关轨迹问题 21．（2004·天津·高考真题）如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（    ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 【答案】B 【分析】连接，由已知条件可得平面，从而可得，则点C在内的轨迹是以为直径的圆，进而可得答案 【详解】连接，因为，所以，又，， 所以平面，又平面，故， 因为A，B是平面上的定点，所以点C在内的轨迹是以为直径的圆， 又C是内异于A和B的点，故此轨迹要去掉A、B两个点，所以B正确. 故选：B 22．（2006·四川·高考真题）已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 【答案】B 【详解】已知两定点，，如果动点满足，设点的坐标为，则，即，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于，故选B. 23．（2004·全国·高考真题）由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】先设点的坐标为，则可得，根据可得，判断出，进而可求出结果； 【详解】设点的坐标为，则，因为，所以， 所以，即， 所以即为所求轨迹方程. 故答案为: 【点睛】本题主要考查求动点的轨迹方程，依题意列出等量关系，化简整理即可求出结果，属于基础题型. 24．（1982·全国·高考真题）已知定点A，B且，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 【答案】，圆 【分析】先依据条件建立恰当的直角坐标系，设，依据题中条件：“距离之比”列关于的方程式，化简即可得点P的轨迹方程． 【详解】选取AB所在直线为横轴， 从A到B为正方向，以AB中点O为原点， 过O作AB的垂线为纵轴，则A为（−a,0），B为（a,0），设 ， ， 所以轨迹表示的图形是圆． 25．（2014·四川·高考真题）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 圆与方程 圆的方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆的方程 点与圆的位置关系 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径 圆的标准方程、圆的一般方程、二元二次方程与圆的方程 点与圆有三种位置关系:点在圆上，点在圆内，点在圆外 直线与圆的位置关系:相交、相切、相离 直线与圆的位置关系的判定方法:(1)代数法;(2)几何法 圆的切线及切线方程:切线的条数、切线长、切线方程 圆的弦长:(1)几何法;(2)代数法、圆的中点弦 圆与圆有五种位置关系:外离、外切、相交、内切、内含 两圆的公切线:两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线 两圆的公共弦:(1)两圆公共弦所在的直线的方程;(2)两圆公共弦长 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$