第1章 直线与方程（知识清单）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第一章 直线与方程 1、直线的倾斜角 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . (2)直线的倾斜角α的取值范围为 2、直线的斜率 （1）把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ . (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ . 3、直线方程的形式 （1）点斜式方程： 1）定义：设直线l经过一点，斜率为k，则方程 叫作直线l的点斜式方程. 2）适用情况：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为 若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为 （2）斜截式方程： 1）定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为 ，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2）适用情况：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. （3）两点式方程： 1）定义：设直线l经过两点 ()，则方程 叫作直线l的两点式方程. 2）适用情况：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 . ③当时，直线方程为 . （4）截距式方程 1）定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程 叫作直线l的截距式方程. 2）适用情况：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为 ，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程 （5）一般式方程 1）定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为 在y轴上的截距为 的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于 的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成 ，它表示垂直于 的直线 2）适用情况：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 4、两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 图示 5、两条直线垂直判定 图示 对应关系 6、两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） （2）平行直线的设法：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为 （3）垂直直线的设法：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为 7、两条直线的交点坐标 （1）定义：一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线 ，此解就是交点的坐标；若方程组 ，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有 ，则两条直线重合. （2）位置关系与方程组解的关系：设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 直线l1和l2的位置关系 8、距离公式 （1）两点间的距离公式：平面内两点间的距离公式为 . 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|= . （2）点到直线的距离公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d= . （3）两条平行线间的·距离公式：设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d= . 9、中点坐标公式 设平面上两点，线段的中点为，则 10、点、线间的对称关系 （1）点关于点对称 （2）直线关于点对称 （3）点关于线对称 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 y轴 y=x y=-x x=m(m≠0) y=n(n≠0) （4）线关于线对称 一、直线的倾斜角与斜率 1.混淆倾斜角范围 错误：认为倾斜角的范围0°≤α≤180°． 注意：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. 直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2.斜率与倾斜角的联系 错误：认为斜率的范围是R． 注意：k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． 二、直线方程的五种形式 3.截距的理解 错误：认为截距与距离相同． 注意：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 4.线面角与向量夹角转化不明 错误：针对不同题干，随意选择直线方程的形式求解 纠正：①点斜式斜、截式适用与x轴不垂直的直线； ②两点式适用与x轴、y轴均不垂直的直线； ③截距式适用不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 只有假设一般式时可以应用于所有直线。 5.两条直线平行的判定 错误：忽略重合情况的讨论． 注意：判断两直线平行位置关系时，要针对题目中是否重合进行单独讨论，特别是含参数的求解问题，需验证是否包含重合的情况。 6.两条直线垂直的判定 错误：斜率不存在情况忽略． 注意：两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 题型01 直线的倾斜角与斜率求法 1．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 2．直线与直线的夹角的大小为 ． 3．（多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在点处切线的斜率为，倾斜角为，则 . 5．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 题型02求解直线方程 6．直线在轴上的截距为（   ） A． B． C．-1 D． 7．求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 8．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 9．（多选）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 10．方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 11．已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 题型03两条直线的位置关系 12．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 13．已知直线．若，则实数的值为 ． 14．（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 15．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ． 题型04两条直线的交点 17．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 18．直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 19．（多选）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 21．（多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 22．设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 题型05点、线间的距离问题 23．点到直线的距离为 24．已知在直线上，则的最小值为 ． 25．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 26．已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 27．已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 28．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 题型06对称问题 29．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则 ， ． 30．已知点P在直线上，点，则的最小值为 31．与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 32．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 33．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 34．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 35．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 直线与方程 直线的斜率与倾斜角 直线的方程 两条直线的平行与垂直 平面上的距离 倾斜角的定义：当直线l与X轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即k=tanα 直线方程的几种形式 求直线方程的一般方法 两条直线的交点 两条直线平行和垂直的判定 两条直线的位置关系 两条直线的交点坐标 距离公式 点、线间的对称关系 相交、平行、重合、垂直 与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0 与直线4x+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-A y+m=0 一般地，将两条直线的方程联 一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式:点P到直线/的距离，就是从点P到直线的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足 两条平行直线间的距离公式:两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长 (1)点关于点的对称;(2)直线关于点的对称;(3)点关于直线的对称;(4)直线关于直线的对称 两条直线平行的判定:分斜率存在或斜率不存在两类 两条直线垂直的判定:两直线的斜率存在时，斜率之积为-1 点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程 (1)直接法;(2)待定系数法 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与方程 1、直线的倾斜角 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2、直线的斜率 （1）把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的形式 （1）点斜式方程： 1）定义：设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2）适用情况：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为 （2）斜截式方程： 1）定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2）适用情况：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. （3）两点式方程： 1）定义：设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2）适用情况：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). （4）截距式方程 1）定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2）适用情况：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程 （5）一般式方程 1）定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线 2）适用情况：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 4、两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 5、两条直线垂直判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 6、两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） （2）平行直线的设法：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. （3）垂直直线的设法：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 7、两条直线的交点坐标 （1）定义：一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. （2）位置关系与方程组解的关系：设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 8、距离公式 （1）两点间的距离公式：平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. （2）点到直线的距离公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. （3）两条平行线间的·距离公式：设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 9、中点坐标公式 设平面上两点，线段的中点为，则 10、点、线间的对称关系 （1）点关于点对称 （2）直线关于点对称 （3）点关于线对称 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) （4）线关于线对称 一、直线的倾斜角与斜率 1.混淆倾斜角范围 错误：认为倾斜角的范围0°≤α≤180°． 注意：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. 直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2.斜率与倾斜角的联系 错误：认为斜率的范围是R． 注意：k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． 二、直线方程的五种形式 3.截距的理解 错误：认为截距与距离相同． 注意：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 4.线面角与向量夹角转化不明 错误：针对不同题干，随意选择直线方程的形式求解 纠正：①点斜式斜、截式适用与x轴不垂直的直线； ②两点式适用与x轴、y轴均不垂直的直线； ③截距式适用不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 只有假设一般式时可以应用于所有直线。 5.两条直线平行的判定 错误：忽略重合情况的讨论． 注意：判断两直线平行位置关系时，要针对题目中是否重合进行单独讨论，特别是含参数的求解问题，需验证是否包含重合的情况。 6.两条直线垂直的判定 错误：斜率不存在情况忽略． 注意：两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 题型01 直线的倾斜角与斜率求法 1．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 2．直线与直线的夹角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】分别求得两直线的倾斜角，进而可求得两直线的夹角. 【详解】直线的斜率不存在，故倾斜角为， 直线的斜率为，故倾斜角为， 所以直线与直线的夹角的大小为. 故答案为：. 3．已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误. 【详解】当时，； 当时，. 故选：AB 4．已知函数在点处切线的斜率为，倾斜角为，则 . 【答案】/ 【分析】分子分母同时除以化弦为切，然后代入可得. 【详解】由题知，，，所以. 故答案为： 5．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 题型02求解直线方程 6．直线在轴上的截距为（   ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】直线方程中令求得值即得. 【详解】在中令得， 故选：A. 7．求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 8．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【分析】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断. 【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 9．已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【分析】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D. 【详解】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 10．方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【答案】D 【分析】依次化简方程为点斜式方程、斜截式方程、一般式方程可判断ABC选项，再根据求点法式方程的方法求出点法式即可检验D选项. 【详解】将方程化简为，此为点斜式方程，故A错误； 将方程化简为，此为斜截式方程，故B错误； 将方程化简为，此为一般式方程，故C错误； 由一般式方程可知直线的方向向量为，则法向量为， 又直线过点， 设直线上任意一点,则， 又，则，故D正确. 故选：D 11．已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 题型03两条直线的位置关系 12．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 13．已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 14．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 【答案】ACD 【分析】根据即可求解定点，代入时，即可判断BC，根据圆心到直线的距离即可求解D. 【详解】对于A, ，由且，故，故直线恒过点，故A正确， 对于B，当时，，即，直线与直线平行，B错误，C正确， 对于D,当时，直线，此时圆心到直线的距离为1，与半径1相等，因此直线与圆相切，D正确， 故选：ACD 15．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 16．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为，由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：. 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故答案为：2. 题型04 两条直线的交点 17．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 18．直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 19．若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 20．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 21．设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】BD 【分析】M集合可以看作一条挖去一点的直线，N集合为一条直线，交集为空集，则N的直线经过或M与N的直线平行﹒ 【详解】∵，∴． 将点代入，得，解得(舍去)或． 又当时，可变形为， 当直线与平行时， 有，解得或(舍去) 当或时，符合题意. 故选：BD 22．设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得，再用累乘法计算. 【详解】令，可得， 所以 ． 故选：C． 题型05点、线间的距离问题 23．点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 24．已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 25．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 26．已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又， . 故选：C 27．已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)； (2)存在点. 【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】（1）， 与间的距离为， 即 ， ， ； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 28．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 题型06对称问题 29．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则 ， ． 【答案】 【分析】根据直线与关于直线对称，可求的值. 【详解】由题意，直线与直线关于直线对称， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上， 所以，所以， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上，所以，所以． 故答案为：； 30．已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 31．与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 32．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 33．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 34．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 35．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 36．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 直线与方程 直线的斜率与倾斜角 直线的方程 两条直线的平行与垂直 平面上的距离 倾斜角的定义：当直线l与X轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即k=tanα 直线方程的几种形式 求直线方程的一般方法 两条直线的交点 两条直线平行和垂直的判定 两条直线的位置关系 两条直线的交点坐标 距离公式 点、线间的对称关系 相交、平行、重合、垂直 与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0 与直线4x+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-A y+m=0 一般地，将两条直线的方程联 一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式:点P到直线/的距离，就是从点P到直线的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足 两条平行直线间的距离公式:两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长 (1)点关于点的对称;(2)直线关于点的对称;(3)点关于直线的对称;(4)直线关于直线的对称 两条直线平行的判定:分斜率存在或斜率不存在两类 两条直线垂直的判定:两直线的斜率存在时，斜率之积为-1 点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程 (1)直接法;(2)待定系数法 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$