第1章 直线与方程（复习讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第1章 直线与方程（复习讲义） 一、基础目标 1. 直线方程的表示形式 （1）掌握五种直线方程的形式及适用条件： 斜截式：y = kx + b（已知斜率与截距） 点斜式：y - y0 = k(x - x0)（已知一点与斜率） 两点式：（已知两点） 截距式：（已知坐标轴截距） 一般式：Ax + By + C = 0（通用形式，可表示所有直线） 2、几何要素的代数化 （1）理解斜率与倾斜角的关系：。 （2）能通过方程求截距、斜率、倾斜角等几何特征。 二、核心能力目标 1.位置关系与方程求解 （1）平行与垂直：通过斜率判断平行，垂直。 （2）交点坐标：联立方程组求直线交点。 2、距离问题： （1）点到直线距离 （2）平行线间距离 3. 对称问题 （1）求点关于直线的对称点（利用垂直平分条件）。 （2）直线关于直线的对称直线（结合交点与斜率）。 三、高阶应用目标 1.直线系方程 （1）理解过定点的直线系和平行直线系。 （2）能通过直线系解决未知参数问题（如求过两直线交点的直线方程）。 2. 实际建模 将实际问题转化为直线方程（如轨迹问题、最优路径、线性关系分析）。 四、数学思想培养 （1）数形结合：通过方程描述几何特征，通过图形理解方程意义。 （2）分类讨论：处理斜率不存在（竖直直线）或为零（水平直线）的情况。 （3）化归思想：将复杂问题（如对称）转化为斜率、距离等基本问题。 重点与难点 重点：直线方程的求法、位置关系的代数判断、距离公式。 难点：（1）含参数直线的讨论（如斜率是否存在）。（2）对称问题的转化与计算。（3）直线系方程的应用。 通过本章学习，学生应能灵活选择方程形式表示直线，并熟练运用代数工具解决几何问题，为后续学习圆锥曲线、向量几何等奠定基础。 知识点1：直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角． （2）范围： 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴不垂直的直线 横截距a，纵截距b ＋＝1 与x轴、y轴不垂直的直线且不经过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 知识点2：两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 题型一 直线的倾斜角与斜率求法 【例1】已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 . 【变式1-1】设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二 求解直线方程 【例2】已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ； 【变式2-1】过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【变式2-2】写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： （1）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； （2）经过两点，； （3）经过点，平行于x轴； （4）在x轴，y轴上的截距分别为，． 题型三 两条直线的位置关系 【例3】（2024高三·江苏·一模）（多选）已知，，直线：，：，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】“”是“直线：与：平行”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】已知直线和，则（ ） A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对 题型四 两条直线的交点与距离问题 【例4】若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为 ．  . 【变式4-1】）点到直线的距离是 ． 【变式4-2】已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 题型五 点、线对称问题 【例5】（22·23高三·全国·对口高考）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【变式5-1】与直线关于点对称的直线的方程为 . 【变式5-2】已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 基础巩固通关测 一、单选题 1．设直线的倾斜角为，且，则满足 A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 3．“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 二、填空题 4．已知直线与线段有公共点，则的取值是     . 5．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 . 三、解答题 6．已知直线：，：． (1)若，求实数m的值； (2)当与相交时，用m表示交点A的坐标，并说明点A一定在某一条定直线上． 7．已知为坐标原点，倾斜角为的直线与轴的正半轴分别相交于点， 的面积为. （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）直线过点且与平行，点在上，求的最小值. 8．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 9．平面直角坐标系xOy中，一动直线始终经过，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.求当的周长取最小时它的面积. 10．已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． (2)当取得最小值时，求直线l的方程． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2021高二上·新疆·学业考试）已知两点，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 4．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 10．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为 . 11．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程（复习讲义） 一、基础目标 1. 直线方程的表示形式 （1）掌握五种直线方程的形式及适用条件： 斜截式：y = kx + b（已知斜率与截距） 点斜式：y - y0 = k(x - x0)（已知一点与斜率） 两点式：（已知两点） 截距式：（已知坐标轴截距） 一般式：Ax + By + C = 0（通用形式，可表示所有直线） 2、几何要素的代数化 （1）理解斜率与倾斜角的关系：。 （2）能通过方程求截距、斜率、倾斜角等几何特征。 二、核心能力目标 1.位置关系与方程求解 （1）平行与垂直：通过斜率判断平行，垂直。 （2）交点坐标：联立方程组求直线交点。 2、距离问题： （1）点到直线距离 （2）平行线间距离 3. 对称问题 （1）求点关于直线的对称点（利用垂直平分条件）。 （2）直线关于直线的对称直线（结合交点与斜率）。 三、高阶应用目标 1.直线系方程 （1）理解过定点的直线系和平行直线系。 （2）能通过直线系解决未知参数问题（如求过两直线交点的直线方程）。 2. 实际建模 将实际问题转化为直线方程（如轨迹问题、最优路径、线性关系分析）。 四、数学思想培养 （1）数形结合：通过方程描述几何特征，通过图形理解方程意义。 （2）分类讨论：处理斜率不存在（竖直直线）或为零（水平直线）的情况。 （3）化归思想：将复杂问题（如对称）转化为斜率、距离等基本问题。 重点与难点 重点：直线方程的求法、位置关系的代数判断、距离公式。 难点：（1）含参数直线的讨论（如斜率是否存在）。（2）对称问题的转化与计算。（3）直线系方程的应用。 通过本章学习，学生应能灵活选择方程形式表示直线，并熟练运用代数工具解决几何问题，为后续学习圆锥曲线、向量几何等奠定基础。 知识点1：直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角． （2）范围： 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴不垂直的直线 横截距a，纵截距b ＋＝1 与x轴、y轴不垂直的直线且不经过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 知识点2：两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 题型一 直线的倾斜角与斜率求法 【例1】已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则， 为钝角，，则，解得：， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-1】设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】∵，，， ∴直线的斜率，直线的斜率， ∵直线与线段相交，如图所示， ∴直线的斜率的取值范围为或．故选：B 【变式1-2】直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为. 因为，，，所以，. 又，则. 当时，单调递增，解，可得； 当时，单调递增，解，可得. 综上所述，.故选：B. 题型二 求解直线方程 【例2】已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ； 【答案】x－y－3＝0 【解析】由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°， 故所求直线倾斜角为60°，斜率为， 故所求直线的方程为y-(－)＝，即x－y－3＝0． 故答案为：x－y－3＝0 【变式2-1】过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【答案】和 【解析】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 故答案为：和 【变式2-2】写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： （1）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； （2）经过两点，； （3）经过点，平行于x轴； （4）在x轴，y轴上的截距分别为，． 【答案】（1）；(2)；（3）；（4）. 【解析】（1）直线的斜率为，其倾斜角为， 因此所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的方程为，即. （2）直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （3）经过点，平行于x轴的直线斜率为0， 所以经过点，平行于x轴的直线方程为. （4）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即. 题型三 两条直线的位置关系 【例3】（2024高三·江苏·一模）（多选）已知，，直线：，：，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，得，即， ，，则，当且仅当，即时等号成立， 所以有，A选项正确； 由，有， 当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立； 由，有，，，则，， 由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误； 由，有， ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确.故选：ABD. 【变式3-1】“”是“直线：与：平行”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】时，直线：即，与直线：平行，充分性成立； 直线：与：平行，有，解得或， 其中时，两直线重合，舍去，故，必要性成立. “”是“直线：与：平行”的充要条件.故选：A. 【变式3-2】已知直线和，则（ ） A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对 【答案】C 【解析】直线，斜率为； 直线，斜率为； ，所以和不可能重合，A错误； 时，，和可能垂直，所以B错误； 由知和不平行，设和相交于点， 则直线以为中心旋转后与重合，所以C正确，D错误.故选：C. 题型四 两条直线的交点与距离问题 【例4】若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为 ．  . 【答案】 【解析】由，得，即直线的交点坐标为， 因为三条直线相交于同一点， 所以， 所以点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离， 故答案为： 【变式4-1】）点到直线的距离是 ． 【答案】 【解析】依题意，点到直线的距离为． 故答案为：． 【变式4-2】已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【答案】 【解析】根据题意，两条平行直线，， 必有，解可得， 则即，变形可得， 又由两条平行直线间的距离为，则有，解可得或， 故. 故答案为：． 题型五 点、线对称问题 【例5】（22·23高三·全国·对口高考）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点的坐标为. 【变式5-1】与直线关于点对称的直线的方程为 . 【答案】 【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中 又点到直线与到直线的距离相等 所以，即，所以或（舍）. 故所求直线方程为：. 【变式5-2】已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【解析】直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为， 则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 基础巩固通关测 一、单选题 1．设直线的倾斜角为，且，则满足 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， ，，． 故选D 2．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 3．“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围． 【详解】当时，两直线分别为：，， 两直线斜率相等，则平行且不重合． 若两直线平行且不重合，则 或， 综上所述，是两直线平行的充分不必要条件． 故选：A 二、填空题 4．已知直线与线段有公共点，则的取值是     . 【答案】 【详解】如图所以：而直线恒过定点（1，-1），斜率为k，讨论临界值：当直线过B时结合图形知：，当直线过点A时，综合得 点睛：先求出直线所恒过得定点，然后根据图线分析可得在AB处为直线与线段相交的临界值，从而求解 5．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程. 【详解】因为中线CE所在直线方程为， 所以可设， 由AC中点为，可得， 所以， 为等腰直角三角形，CE为中线， ,， ①， 又是的中点，, ,， 化简得： ②， 由①②解得， 所以点,又因为， 所以直线方程为, 即所求方程为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题. 三、解答题 6．已知直线：，：． (1)若，求实数m的值； (2)当与相交时，用m表示交点A的坐标，并说明点A一定在某一条定直线上． 【答案】(1) (2)；说明见解析 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得m，然后验证是否重合可得； （2）联立直线方程求解可得点A坐标，然后消参可知点A在定直线上. 【详解】（1）因为，所以，解得， 又当时，：，：，显然此时两直线重合， 故. （2）由（1）知，当与相交时， 联立解得， 即． 因为（）， 即（）， 所以点A一定在某一条定直线上． 7．已知为坐标原点，倾斜角为的直线与轴的正半轴分别相交于点， 的面积为. （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）直线过点且与平行，点在上，求的最小值. 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析:（1）根据斜截式写出直线方程，，求出与坐标轴的截距，列出三角形面积，解方程可得，即得直线方程（2）根据几何意义求对称点化曲为直：即先求出点关于直线的对称点为，则的最小值为 试题解析：解：（Ⅰ）依题意得，直线的斜率 设直线的方程为 解得直线与坐标轴正半轴的交点坐标为与，其中 所以 解得. 所以直线的方程为 （Ⅱ） 由（Ⅰ）得, 直线的方程为 设点关于直线的对称点为， 由对称性可知 则 解得 所以 ∴当三点共线时，值最小，   所以 8．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形. 【分析】(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得； (2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得； (3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答 【详解】1）显然直线斜率存在，设直线方程为， 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 于是得，解得， 所以直线斜率为； （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， 又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则，于是有，解得，此时， 当时，由，知四边形为正方形， 设，则，于是有，解得，此时， 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时， 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. 9．平面直角坐标系xOy中，一动直线始终经过，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.求当的周长取最小时它的面积. 【答案】 【分析】设出坐标为，求出直线的方程，代入点，得到的关系式，根据周长的表示求解出周长最小值，并求解出面积的值. 【详解】设坐标为，所以， 所以，， 所以，， 所以，即， 整理，则， 解得或（舍）， 所以，此时，解得，此时， 所以. 10．已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． (2)当取得最小值时，求直线l的方程． 【答案】(1)存在，3x＋4y－12＝0 (2)3x＋3y－10＝0 【分析】（1）将直线方程化为，再根据定点满足条件列式，再设直线l的截距式方程，代入定点P，再分别表示△AOB的周长和面积，求解参数即可； （2）由（1）直线l的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可. 【详解】（1），即， 由，解得，故动直线过定点． 设直线l的方程为， 将代入得．① 由A（a，0），B（0，b），△AOB的周长为12，面积为6，得， 令a＋b＝t，则，所以，即，化简得24t＝168，解得t＝7， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线l的方程为，即3x＋4y－12＝0满足条件． （2）由（1）可知直线l过定点，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线l的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即3x＋3y－10＝0． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2021高二上·新疆·学业考试）已知两点，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用两点间的距离公式求解可得. 【详解】由两点间的距离公式得. 故选：B 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的斜率，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 3．（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又， . 故选：C 4．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】直线的斜率为1，则直线的倾斜角为. 故选：A. 5．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，解得， 此时，，满足题意. 故选：C. 6．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断与的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点，转化为圆心到直线的距离求解即可. 【详解】由两直线垂直的判断条件，可知， 所以直线与始终垂直， 又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点， 所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上， 所以该圆的圆心坐标为，半径为， 圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点. 圆心到直线的距离， 所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和， 又到直线的距离为，应舍去， 所以取值集合是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点是在以线段为直径的圆上，从而得解. 9．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 二、填空题 10．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 11．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 【答案】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$