专题01 直线与方程（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题01 直线与方程（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线的倾斜角与斜率 1 题型二、求解直线方程 3 题型三、两条直线的位置关系 4 题型四、两条直线的交点 5 题型五、距离问题 7 题型六、对称问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线的倾斜角与斜率 1．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 题型二、求解直线方程 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 6．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型三、两条直线的位置关系 7．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 8．（2024·四川南充·一模）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 题型四、两条直线的交点 10．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 11．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 题型五、距离问题 13．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为 . 14．（24-25高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B．2 C．0 D． 15．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 题型六、对称问题 16．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则下列结论中正确的有（    ） A． B．直线的方程为 C．与点关于直线对称的点的坐标为 D．为线段的中点 一、单选题 1．（23-24高二上·河南·期中）若直线与平行，则两直线之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2023·四川南充·三模）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（23-24高二上·山东·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题 6．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 三、填空题 7．（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 8．（9-10高一下·江苏南通·期末）直线的倾斜角为 ． 9．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 四、解答题 10．（1977·北京·高考真题）求过两直线和的交点且过点的直线方程． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与方程（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线的倾斜角与斜率 1 题型二、求解直线方程 3 题型三、两条直线的位置关系 4 题型四、两条直线的交点 5 题型五、距离问题 7 题型六、对称问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线的倾斜角与斜率 1．（2025·河南·模拟预测）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误. 【详解】当时，； 当时，. 故选：AB 2．（2022·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围. 【详解】，则， 设直线的倾斜角为，故， 所以当时，直线的倾斜角； 当时，直线的倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角 故选：B 3．（2024·全国·模拟预测）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线一般方程可求得，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果. 【详解】由直线的方程为，得斜率， 则 ； 故选：A． 题型二、求解直线方程 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的斜率，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 5．（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】依题意入射角，设折射角为，求出，即可求出点坐标，再求出所在直线的倾斜角，即可求出斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】如图，入射角，设折射角为，，， 则，， 所以，则，， 所以，且. 该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为， 则其所在直线的斜率为 ， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 6．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 题型三、两条直线的位置关系 7．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【答案】(1)或0 (2)或． 【分析】（1）根据垂直得到方程，求出m的值； （2）将代入中，解得，设直线l的方程，根据两截距相等得到方程，求出或，得到直线l的方程. 【详解】（1）由题意得，解得或0； （2）由在直线上，得，解得，可得， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为， 令，可得，再令，可得， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或． 8．（2024·四川南充·一模）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 9．（2025·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【详解】根据两直线平行，可知，解得. 故选：C 题型四、两条直线的交点 10．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 11．（2024·河北·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为或，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线斜率为， 有，则，依题意有或， 当时，， 即，解得，即直线的斜率为， 对比选项，只有B选项满足； 当时，， 即，解得，即直线的斜率为， 对比选项只有C选项满足. 故选：BC 12．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 题型五、距离问题 13．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 14．（24-25高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】利用两直线平行求得的值，再根据两平行直线的距离公式计算求得的值即得. 【详解】因直线与直线平行，则，即 又因直线与直线的距离为， 则有，即解得或（舍去）， 故. 故选：D 15．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 题型六、对称问题 16．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程中的换成即可得到所求直线方程. 【详解】直线关于轴对称的直线为：，即. 故选：B. 17．（2023·全国·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则下列结论中正确的有（    ） A． B．直线的方程为 C．与点关于直线对称的点的坐标为 D．为线段的中点 【答案】BD 【分析】对于A：由得到，再由，在抛物线上求解判断；对于B：设直线的方程为，与抛物线的方程联立，再结合A选项求解判断；对于C：由，结合选项B，利用点关于线对称求解判断；对于D：结合选项B，利用中点坐标公式求解判断. 【详解】对于A：由得，又，，（注意“点，在抛物线上”这一条件的应用）所以，得，所以A不正确； 对于B：由题及A易知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，消去得，由A得，（根与系数的关系的应用）得，直线的方程为，所以B正确； 对于C：由题，，设关于直线对称的点的坐标为，易知，则，（点拨：互相垂直的两直线的斜率之积为，中点在直线上） 解得，即关于直线对称的点的坐标为，所以C不正确； 对于D：由B可得，，结合中点坐标公式得的中点坐标为，所以D正确． 故选：BD 一、单选题 1．（23-24高二上·河南·期中）若直线与平行，则两直线之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，再由平行线间的距离公式即可求得结果. 【详解】依题意，由两直线平行可知，解得， 所以两直线分别为， 可得两直线之间的距离为， 故选：C． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的斜率，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 3．（2023·四川南充·三模）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，由条件得出，求出的值，再根据诱导公式即可得出答案． 【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线得出斜率， 因为直线与直线垂直， 所以，即，解得，即， 所以， 故选：B． 4．（23-24高二上·山东·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标. 【详解】由的顶点坐标，可知其重心为. 注意到，直线BC斜率不存在，则为直角三角形， 则其垂心为其直角顶点，则欧拉线方程为：. 因其与垂直，则. 则，则直线与的欧拉线的交点坐标满足，即交点为. 故选：B 5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将集合看作是直线的集合，求出定点坐标，即可得出答案. 【详解】集合可以看作是表示直线上的点的集合， 由变形可得，， 由可得，， 所以直线过定点. 集合可看作是直线上的点的集合， 由变形可得，， 由可得，， 所以，直线过定点. 显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值. 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 【答案】BC 【分析】对于A：求出点关于直线l的对称点，然后通过求最小值；对于B：通过，当三点共线时取最大值来求解；对于C：设，求出坐标，表示出，利用基本不等式求最小值；对于D：表示出，利用基本不等式求最小值. 【详解】对于A：设点关于直线l的对称点为， 则，解得 ， 当三点共线时取最小值.A错误； 对于B：，当三点共线时取最大值， 又，即， 联立，解得， 即直线l上一点使最大，B正确； 对于C：设， 当时，，当时，， 即， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，C正确； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 【答案】 【分析】由斜率公式得到，再利用点斜式得到直线的方程，最后利用两直线平行的充要条件解出即可. 【详解】直线的斜率，所以直线方程为，即， 因为，所以， 故答案为：. 8．（9-10高一下·江苏南通·期末）直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为， 所以， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故答案为：. 9．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.08 【分析】设整点，由点到线的距离公式，得到是5的倍数，进而可求解. 【详解】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 四、解答题 10．（1977·北京·高考真题）求过两直线和的交点且过点的直线方程． 【答案】4x－y－3＝0 【分析】求出两直线x＋y－7＝0和3x－y－1＝0 的交点，再用两点式方程求出直线方程. 【详解】由x＋y－7＝0和3x－y－1＝0联立并解得：x＝2，y＝5． ∵直线过点(2，5)和(1，1) ∴所求的直线方程为，即：4x－y－3＝0． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$