第二十四章 圆 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九上 一、单选题 1．用反证法证明命题“在 中，如果 ，那么 ”时，应假设（ ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图是某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（ ） A．13m B．15m C．20 m D．26m 5．如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 6．如图，，分别与相切于点A，B，与相切于点E，交于点F，交于点G，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 9．如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 11．若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为 ．（结果保留）． 12．如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 13．如图，是的半径，弦于点，已知，，则弦 ． 14．如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 15．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成 如图 ，它可以看作如图 所示的几何图形 已知 ， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ， ， 的半径 ，则圆盘离桌面 最近的距离是______． 16．如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 17．如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为 ． 18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ． 三、解答题 19．如图，为的直径，内接于，，交于点． （1）求的度数； （2）若为的中点，，求直径的长． 20．如图，是的直径，点D在上，∠DAB=45°．，． （1）判断直线和的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 21．问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． （1）探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． （2）问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． （3）拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （1）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小； （2）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径． 23．阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． （2）如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． （3）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 参考答案 1．【答案】 【详解】反证法证明“在 中，如果 ，那么 ”时，应假设 ， 故选 C ． 2．【答案】B 【分析】连接，由得，在中，设半径为R，应用勾股定理得：，继而求得的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴, 根据勾股定理： 解得， 故选B． 3．【答案】D 【分析】由于是的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【详解】解：是的直径， ，即； 又， ． 故选D． 4．【答案】A 【详解】如图， 桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H， 由垂径定理知，点F是AB的中点，由题意知，FH=10-2=8，则AE=EH，EF=EH-HF， 由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE-HF）2，解得AE=13m． 故选A． 5．【答案】D 【分析】由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半，即与，利用勾股定理即可求解出，再根据点与圆的位置关系判断即可 【详解】在中，，则， ∵， ∴． ∴． 圆C是以点C为圆心，2为半径的圆， ， 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 故选D． 6．【答案】D 【分析】从圆外一点引圆的切线，则其切线长相等．根据切线长定理得到，，，结合三角形的周长公式可求得的周长． 【详解】解：是的切线，， ，，， 的周长 ． 故选D． 7．【答案】D 【分析】设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选D． 8．【答案】C 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选C． 9．【答案】C 【分析】折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，由垂径定理可得，设，，则，，利用勾股定理得出，再根据圆的切线的性质，得出，利用的长得到关于的一元二次方程，利用公式法求出，即可求解． 【详解】解：如图，折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ， 为半圆上的一条弦，， ， 设，， ，，， ， ， ， ， 折叠后的弧所在的圆与半径相等， ， 折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点， ， ， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 故选C． 10．【答案】A 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选A． 11．【答案】 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为2，母线长为6， ∴圆锥的侧面积公式：. 12．【答案】 【分析】设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、，由勾股定理得出，由三角形内切圆的性质得出平分，从而得出在的垂直平分线上，证明出、、在同一直线上，得出，推出，连接、、，设的内切圆的半径长为，根据列式计算即可得出答案 【详解】解：如图，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点为的内切圆的圆心， ∴平分， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， 连接、、，设的内切圆的半径长为， ∵， ∴， 解得：. 13．【答案】8 【分析】利用垂径定理得出，利用勾股定理得出长度，即可得到答案． 【详解】解： 如图所示，根据垂径定理可得： ， 在中，由勾股定理得： ， 14．【答案】 【分析】由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出． 【详解】解：与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得， ， ． 15．【答案】 【详解】解：如图 ，连接 ， ，过点 作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ． ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 圆盘离桌面 最近的距离是 ． 16．【答案】 【分析】先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 17．【答案】 【分析】先证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得到答案． 【详解】解：如图，连接OB，是的切线， 设 18．【答案】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD， 即OM的最大值为 19．【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据圆周角定理可得，可证是等边三角形，由此即可求解； （2）如图所示，过点作于点，由等边三角形的性质可得，，设，则，在中，由勾股定理可得，根据点为的中点，可得，，在中，由勾股定理可得，由此即可得到，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴是的中线，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴． 20．【答案】（1）直线与相切，见详解 （2）图中阴影部分的面积为 【分析】（1）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接，证是否与垂直即可． （2）阴影部分的面积可由梯形和扇形的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，求出梯形上底的长，可通过证四边形是平行四边形，得出，由此可求出的长，即可得解． 【详解】（1）直线与相切．理由如下： 如图，连接 ， ，即 又∵点D在上， ∴直线与相切； （2）∵ ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴．， ∴ 答：图中阴影部分的面积为· 21．【答案】（1）相等，6 （2） （3）不够长；理由见详解 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得. （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 22．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，先由切线的性质得的度数，求出，进而得，则可求出答案； （2）连接，由等腰三角形的性质求出，根据含解的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． （2） 连接， 设 是的切线， 即 在中， 即 解得 在中， 即的半径为2； 23．【答案】（1）； （2）三角形纸片的周长是； （3）． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， . （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$