第二章 一元二次方程 单元测试2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为(　　) A.x(x﹣1)＝10 B.x(x﹣1)＝10 C.x(x+1)＝10 D.2x(x﹣1)＝10 2.方程(x-3)(2x-4)=0的根是(　　) A.x1=-3，x2=-2 B.x1=3，x2=2 C.x1=3，x2=-2 D.x1=-3，x2=2 3.一块矩形花圃的面积是120 m2，它的长比宽多2 m，设长为x m，由题意可列方程(　　) A.x(x+2)＝120 B.x(x﹣2)＝120 C.x(x+2)＝240 D.x(x﹣2)＝240 4.已知关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，则a的值是(　　) A.-1 B.2 C.-1或3 D.3 5.若方程□-3=x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是(　　) A.-2x B.22 C.2x2 D.y2 6.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A.m≠1 B.m=1 C.m＞1 D.m≠0 7.若m，n是方程2x2-4x-7=0的两个根，则2m2-3m+n的值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.5 8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是(　　) A.18.63(1+x)2＝23 B.23(1﹣x)2＝18.63 C.18.63(1﹣x)2＝23 D.23(1﹣2x)＝18.63 9.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是(　　) A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 10.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？(备注：1丈＝10尺)．设芦苇长为x尺，水的深度为y尺，则可列方程为(　　) A.x2+102＝(x+1)2 B.(x﹣1)2+52＝x2 C.y2+52＝(y﹣1)2 D.y2+102＝(x+1)2 11.如果关于x的方程x2-ax+a2-3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是(　　) A.-2＜a＜2 B.＜a≤2 C.−＜a≤2 D.−≤a≤2 12.若一元二次方程式a(x-b)2=7的两根为±，其中a，b为两数，则a+b等于(　　) A. B. C.3 D.5 二、填空题 13.已知一个一元二次方程的二次项是2y2，一次项系数是-3，常数项是-2，那么这个方程的一般形式是_____________． 14.填上适当的数，使下列等式成立：y2+_______+()2=(y+________)2． 15.设x1，x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则x1+x2=_______，m=_____． 16.三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是____________． 17.若a为一元二次方程(x-2)2=4的较大的一个根，b为一元二次方程(y-4)2=18的较小的一个根，则a-b的值为________． 三、解答题 18.解方程： （1）4x2-16=0； （2）12y2-25=0． 19.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根，求m的值． 20.一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1 458，求原两位数． 21.某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后(减少的条数在总条数的20%以内时)，每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台，若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？ 22.由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0<a<14)确定的△PAB的面积为18，求a的值，如果a>14呢？ 北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为(　　) A.x(x﹣1)＝10 B.x(x﹣1)＝10 C.x(x+1)＝10 D.2x(x﹣1)＝10 【答案】A 【解析】设x人参加这次聚会，则每个人需握手：(x﹣1)次，依题意，可列方程为：＝10． 故选：A. 2.方程(x-3)(2x-4)=0的根是(　　) A.x1=-3，x2=-2 B.x1=3，x2=2 C.x1=3，x2=-2 D.x1=-3，x2=2 【答案】B 【解析】(x-3)(2x-4)=0，x-3=0或2x-4=0，x1=3，x2=2． 故选：B. 3.一块矩形花圃的面积是120 m2，它的长比宽多2 m，设长为x m，由题意可列方程(　　) A.x(x+2)＝120 B.x(x﹣2)＝120 C.x(x+2)＝240 D.x(x﹣2)＝240 【答案】B 【解析】 4.已知关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，则a的值是(　　) A.-1 B.2 C.-1或3 D.3 【答案】A 【解析】∵关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，∴a-3≠0且|a-1|=2，解得a=-1． 故选：A. 5.若方程□-3=x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是(　　) A.-2x B.22 C.2x2 D.y2 【答案】C 【解析】A．-2x-3=x，是一元一次方程，此选项不符合题意； B．22-3=x，是一元一次方程，此选项不符合题意； C．2x2-3=x，是一元二次方程，此选项符合题意； D．y2-3=x，是二元二次方程，此选项不符合题意． 故选：C. 6.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A.m≠1 B.m=1 C.m＞1 D.m≠0 【答案】A 【解析】∵关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，∴m-1≠0，解得m≠1． 故选：A. 7.若m，n是方程2x2-4x-7=0的两个根，则2m2-3m+n的值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.5 【答案】A 【解析】∵m，n是方程2x2-4x-7=0的两个根，∴m+n=2，2m2-4m=7． ∴2m2-3m+n=2m2-4m+m+n=7+(m+n)=7+2=9． 故选：A. 8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是(　　) A.18.63(1+x)2＝23 B.23(1﹣x)2＝18.63 C.18.63(1﹣x)2＝23 D.23(1﹣2x)＝18.63 【答案】B 【解析】 9.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是(　　) A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 【答案】D 【解析】A项，如果方程M有两个相等的实数根，那么Δ=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B项，如果方程M的两根符号相同，那么Δ=b2-4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，所以＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意； C项，如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意； D项，如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，(a-c)x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意． 故选：D. 10.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？(备注：1丈＝10尺)．设芦苇长为x尺，水的深度为y尺，则可列方程为(　　) A.x2+102＝(x+1)2 B.(x﹣1)2+52＝x2 C.y2+52＝(y﹣1)2 D.y2+102＝(x+1)2 【答案】B 【解析】∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，芦苇长x尺，水的深度为y尺，∴y＝x﹣1． 根据题意得y2+()2＝x2，即(x﹣1)2+52＝x2或y2+52＝(y+1)2． 故选：B. 11.如果关于x的方程x2-ax+a2-3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是(　　) A.-2＜a＜2 B.＜a≤2 C.−＜a≤2 D.−≤a≤2 【答案】C 【解析】∵Δ=a2-4(a2-3)=12-3a2， （1）当方程有两个相等的正根时，Δ=0，此时a=±2， 若a=2，此时方程x2-2x+1=0的根为x=1符合条件， 若a=-2，此时方程x2+2x+1=0的根为x=-1不符合条件，舍去， （2）当方程有两个根时，Δ＞0可得-2＜a＜2， ①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有x1x2=a2-3≤0，解得-≤a≤， 而a=-时不符合题意，舍去，所以-＜a≤符合条件， ②若方程有两个正根，则解得a＞， 综上可得-＜a≤2． 故选：C. 12.若一元二次方程式a(x-b)2=7的两根为±，其中a，b为两数，则a+b等于(　　) A. B. C.3 D.5 【答案】B 【解析】a(x-b)2=7， 两边同时除以a得(x-b)2=， 两边直接开平方可得x-b=±， 则x=±+b， ∵两根为±，∴a=4，b=，∴a+b=4=． 故选：B. 二、填空题 13.已知一个一元二次方程的二次项是2y2，一次项系数是-3，常数项是-2，那么这个方程的一般形式是_____________． 【答案】2y2-3y-2=0 【解析】 14.填上适当的数，使下列等式成立：y2+_______+()2=(y+________)2． 【答案】±y　± 【解析】 15.设x1，x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则x1+x2=_______，m=_____． 【答案】4　3 【解析】∵x1，x2是方程x2-4x+m=0的两个根，∴x1+x2=-=4，x1x2==m． ∵x1+x2-x1x2=4-m=1，∴m=3． 16.三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是____________． 【答案】24或8 【解析】∵x2-16x+60=0，∴(x-6)(x-10)=0，解得x1=6，x2=10， 当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①AB=AC=6，BC=8，AD是高， ∴BD=4，AD==2， ∴S△ABC=BC•AD=×8×2=8； 当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10， ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，S△ABC=BC•AC=×8×6=24． 综上所述，该三角形的面积是24或8． 17.若a为一元二次方程(x-2)2=4的较大的一个根，b为一元二次方程(y-4)2=18的较小的一个根，则a-b的值为________． 【答案】5-2 【解析】方程(x-2)2=4， 开方得x-2=2或x-2=-2， 解得x1=2+2，x2=2-2， 方程(y-4)2=18， 开方得y-4=3或y-4=-3， 解得y1=4+3，y2=4-3， ∴a=2+2，b=4-3， 则a-b=2+2-4+3=5-2． 三、解答题 18.解方程： （1）4x2-16=0； （2）12y2-25=0． 【答案】解：（1）4x2-16=0， 移项得4x2=16， 两边同时除以4得x2=4， 两边直接开平方得x=±2， 则x1=2，x2=-2． （2）12y2-25=0， 移项得12y2=25， 两边同时除以12得y2=， 两边直接开平方得y=±， 则y1=，y2=-． 【解析】 19.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】解：∵x2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根， ∴Δ=(2m-1)2-4×4=0， 解得m=-或m=． 【解析】 20.一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1 458，求原两位数． 【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为(9-x)． 则[10x+(9-x)][10(9-x)+x]=1458， 整理，得(x-8)(x-1)=0， 解得x=8或x=1． 故这个两位数是81或18． 【解析】 21.某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后(减少的条数在总条数的20%以内时)，每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台，若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？ 【答案】解：设应减少x条生产线，则每条生产线每个月可生产(8+x)台该种医疗器械， 依题意得(80﹣x)(8+x)＝840， 解得x1＝10，x2＝50． ∵x＜80×20%＝16，∴x＝10． 答：应减少10条生产线． 【解析】 22.由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0<a<14)确定的△PAB的面积为18，求a的值，如果a>14呢？ 【答案】解：当0＜a＜14时，如图，作PD⊥x轴于点D， ∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)， ∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a， ∴S△PAB=S梯形OBPD-S△OAB-S△ADP=×14(a+1)-a2-×1×(14-a)=18， 解得a1=3，a2=12； 当14≤a＜15时，如图，作PD⊥x轴于点D， S△ABP=S梯形OBPD+S△PAD-S△AOB=18， ∴18=(1+a)×14+(a-14)•1-a2， 解得a=3或12(都不符合题意)， 当a＞15时，如图，作PD⊥x轴于点D， ∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)， ∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a， ∴S△PAB=S△OAB-S梯形OBPD-S△ADP=a2-×14(a+1)-×1×(a-14)=18， 解得a1=，a2=(不符合题意，舍去)， ∴a=． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$