山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市淄川区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列式子中的“□”内，填入“+，-，，”中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是(    ) A. B. C. D. 2.下列四条线段单位：中，不是成比例线段的是(    ) A. B. 3，6，2，4 C. 4，6，5，10 D. 3.下列各式化简正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知，，则下列比例式错误的是(    ) A. B. C. D. 5.方程的两个实数根为，，下列各式正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.已知a、b、c为常数，点在第四象限，则关于x的方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7.已知k是方程的一个实数根，则代数式的值为(    ) A. B. C. 2 D. 3 8.随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量如图所示，若该品牌汽车的销售量月平均增长率为x，则根据图中信息，得到x所满足的方程是(    ) A. B. C. D. 9.如图1，能保证使与相似的条件是(    ) A. B. CD：：AC C. AC：：BC D. 10.若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为(    ) A. B. 4 C. D. 5 11.如图，D是的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为(    ) A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 3：4 12.如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形(    ) A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 13.的算术平方根是______. 14.已知，则的值为______. 15.计算的结果是______. 16.已知是方程的一个根，则______. 17.如图，在矩形ABCD中，，，DF平分交BC于点F，，则EF的长为______. 18.如图，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截取一个矩形图中阴影部分所示，使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为______ 19.若正数a是关于x的一元二次方程的一个实数根，是关于x的一元二次方程的一个实数根，则a的值为______. 20.如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在CD，AD上，，BE，CF相交于点若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的周长为______. 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题20分 计算： ； 已知，，求的值. 解方程： ； 22.本小题20分 如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻BC在地面的影长，AC在地面的影长，求窗户的高度. 在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升.某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间发现后，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 23.本小题10分 如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E， 判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论； 若，，求线段CE的取值范围． 24.本小题10分 问题再现： 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长.于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______； 应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接HC，则的最小值是______； 类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值. 25.本小题10分 在直角中，，点E在AC边上，连结BE，作交AB于点F，同时点D在BE上，且 已知：如图，， ①求证：≌ ②求的值． 若，，则的值是多少直接写出结果 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、，故符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选： 根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； B、，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； C、，故本选项的四条线段，不是成比例线段，符合题意； D、，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意． 故选： 可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 此题重点考查两条线段的比、成比例线段等知识，将四条线段从小到大排列，再求出前面两条线段的比及后面两条线段的比，看这两个比是否相等，即可判断这四条线段是否成比例． 3.【答案】D  【解析】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选： 利用二次根式的乘除法则逐项判断即可． 本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：， ， 故A不符合题意； ， ， 故B不符合题意； ∽， ， 假设成立，则， ，与已知条件不符， 不成立， 故C符合题意； ，， 四边形BDEF是平行四边形， ， ∽， ， ， ， 故D不符合题意， 故选： 由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断A不符合题意；由变形得，可判断B不符合题意；可证明∽，由，假设成立，可推导出，与已知条件不符，可判断C符合题意；由，，证明四边形BDEF是平行四边形，则，再证明∽，得，推导出，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明∽，∽及四边形BDEF是平行四边形是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：根据题意有：，， 故选： 根据根与系数的关系直接求解即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则， 6.【答案】A  【解析】解：点在第四象限， ，， ， 方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根． 故选： 先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7.【答案】B  【解析】解：是方程的一个实数根， ，显然，两边同时除以k，得：， ，， ， 故选： 由k是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可． 本题考查了方程的解的概念、代数式的变形和整体代入的数学思想方法，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 8.【答案】A  【解析】解：由题意得： 故选： 根据等量关系：一月份的销售量增长率三月份的销售量，把相关数值代入计算即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 9.【答案】A  【解析】解：在和中，， 根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：， 故选： 题目中隐含条件，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例性质即可推出答案． 本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 10.【答案】A  【解析】解：， 或， 该菱形的对角线长分别为2或4， 由勾股定理可知：菱形的边长为， 故选： 根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长，然后利用勾股定理即可求出答案． 本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 11.【答案】C  【解析】解：如图，过点D作，交AC于H， 则， 是的边BC的中点， ， ， ， ：：：2， ：：4， 故选： 过点D作，交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 12.【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽∽∽， 图中共有相似三角形有6对， 故选： 根据的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：，的算术平方根为， 故答案为： 先计算，进而即可求解． 本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的性质化简，难度不大． 14.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为： 由比例的内项之积等于外项之积，得到，代入，即可求值． 本题考查比例的性质，关键是掌握比例的内项之积等于外项之积． 15.【答案】  【解析】解：原式 ， 故答案为： 利用二次根式的乘除法则计算即可． 本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16.【答案】1  【解析】解：将代入原方程得：， 解得： 故答案为： 将代入原方程，可得出，解之即可得出c的值． 本题考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 17.【答案】5  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ≌， ， ， 故答案为： 由ASA可证≌，可得，由勾股定理可求解． 本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18.【答案】27  【解析】解： 矩形ABCD和矩形EFCD相似， ， ， 解得：， ， 留下的矩形EFCD的面积为， 故答案为： 根据相似得出比例式，求出DE的长，再求出矩形EFCD的面积即可． 本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出是解此题的关键． 19.【答案】7  【解析】解：正数a是关于x的一元二次方程的一个根， ①， 关于x的方程一元二次方程的一个根， ②， 由①②可得， ， 或， 是正数， ， 故答案为： 首先根据题意得到①和②，根据①②求出m的值，进而求出a的值． 本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是求出m的值，此题难度一般． 20.【答案】  【解析】解：阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， 阴影部分的面积为， 空白部分的面积为， 由，，，可得≌， 的面积与四边形DEGF的面积相等，均为， ， ， ，即， 设，，则， 又， ， 即， ，即， 的周长， 故答案为： 根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据的面积以及勾股定理，得出的长，进而得出其周长． 此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 21.【答案】； ；  或；  或  【解析】 由题意，，， ，， ， 或 ， 或 依据题意，根据二次根式的混合运算法则计算即可得解； 依据题意，由，，则，，，结合，进而代入计算可以得解； 依据题意，由，则，进而计算可以得解； 依据题意，由，则，进而计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的化简求值、解一元二次方程-公式法、解一元二次方程-因式分解法，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 22.【答案】窗户的高度为2m；  下调后每辆汽车的售价为21万元．  【解析】， ，， ∽， ， ， 解得：， ， 答：窗户的高度为2m； 解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时， ， 整理可得：，解得：，， 因为要尽量让利顾客，所以 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度． 本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，列出方程是解题的关键． 23.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ， ， 图形翻折后点G与点C重合，EF为折线， ， ， ， 图形翻折后BC与GE完全重合， ， ， 四边形CEGF为平行四边形， 四边形CEGF为菱形； 由得四边形CEGD是菱形， ； 如图2，当G与A重合时，CE取最大值， 由折叠的性质得， ， ，即， ， 线段CE的取值范围  【解析】由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得是等腰三角形，即可得，又由，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形； 如图1，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得，，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到；如图2，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了翻折变换-折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 24.【答案】13；  ；    【解析】解：如图，，， 由勾股定理，得， 的最小值是 13， 故答案为：13； 如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ，，， 设，则， 可得，， ， 的最小值为MG的长， 过点M作交GH延长线于Q，则，， ，， ， 由勾股定理， 的最小值为， 故答案为：； 模仿可知，构造图形如下： 矩形AEBF中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 即的值最大，就是的值最大， ， 的最大值为AD， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为 利用题目中的构图，推出的最小值是AB的长，再利用勾股定理求出AB即可； 设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照的构图和求解方法解答即可； 构造矩形AEBF中，C是BE的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为AD，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 本题属于综合题，考查了最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，构造符合题意的图形，灵活运用勾股定理． 25.【答案】证明：①，，， 由等腰三角形的三线合一的性质可得：CD是的角平分线，， 在与中， ， ≌； ②由①可知：， ， ， ∽， ； ， ，，   【解析】①根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； ②根据相似三角形的性质解答即可； 根据②结论和图中条件解答即可． 此题考查三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和相似三角形的判定和性质进行解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$