23.2.3 关于原点对称的点的坐标&23.3 课题学习 图案设计(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

吃透教材 44　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 23. 2. 3　 关于原点对称的点的坐标 一阶 教材知识梳理 1. 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号① 　 相反 　 ,即点 P ( x, y) 关于原点的对称点为 P′②　 (-x,-y) 　 . 2.关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别 名称 区别 示例 关于 x 轴对称 横坐标相同,纵坐标互为相反数 点(x,y)关于 x 轴的对称点为点③　 (x,-y) 　 关于 y 轴对称 横坐标互为相反数,纵坐标相同 点(x,y)关于 y 轴的对称点为点④　 (-x,y) 　 关于原点对称 横、纵坐标都互为相反数 点(x,y)关于原点的对称点为点⑤　 (-x,-y)　 简记:关于谁,谁不变,关于原点都改变 二阶 教材母题变式 教材母题 1　关于原点对称的点的坐标 例 1　 (教材 P69 练习 T2 改编)(1)点 A( -1,3)关于原点对称的点的坐标是　 (1,-3) 　 ; (2)点 B(0,-3)关于原点对称的点的坐标是　 (0,3) 　 ; (3)点 C( -x,y)关于原点对称的点的坐标是　 (x,-y) 　 ; (4)若点 D(m,-2),E(1,n)关于原点对称,则 m= 　 -1　 ,n= 　 2　 . 教材母题 2　利用关于原点对称的点的坐标特征作图 例 2　 (教材 P68 例 2 改编)△ABC 在如图所示的平面直角坐标系中. (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (2)画出△ABC 关于原点对称的△A2B2C2; (3)请直接写出△A1B1C1 与△A2B2C2 的位置关系. 解:(1)(2)画出图形如解图. (3)△A1B1C1 与△A2B2C2 关于 x 轴对称. 【方法总结】在平面直角坐标系中作关于原点对称的图形的步骤: (1)找出图形中的关键点(如线段的端点,三角形的顶点等); (2)写出各关键点关于原点对称的点的坐标; (3)在平面直角坐标系中描出这些对称点; (4)参照原图形顺次连接各点,即为所求作的对称图形. 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 45　 23. 3　 课题学习　 图案设计 知识回顾 平移 轴对称 旋转 定义 把一个图形整体沿某一直 线方向移动一定距离 把一个图形沿着某一条直 线折叠 把一个平面图形绕着平面内某一 点转动一个角度 图示 【温馨提示】掌握这三类图形变换的定义,是解决本课时问题的关键. 一阶 教材知识梳理 二阶 教材母题变式 教材母题 1　分析图案的形成过程 例 1　 (教材 P76 复习题 T2 改编)观察下图,依次几何变换顺序正确的是 ( C ) A. 轴对称、旋转、平移 B. 旋转、轴对称、平移 C. 轴对称、平移、旋转 D. 平移、轴对称、旋转 【方法总结】分析图案形成过程的步骤:(1)分析构成原图案的基本图形;(2)分析图形变换的过程 和方式:是通过平移、轴对称、旋转中的一种变换,还是其中几种变换的组合. 【温馨提示】(1)一般情况下,图案形成方式不是唯一的;(2)基本图形也不唯一,可能是一种图形, 也可能是两种或多种图形的组合图形. 在分析时,要全面思考,认真分析. 教材母题 2　设计图案 例 2　 如图是一个 4×4 的正方形网格,每个小正方形的边长均为 1. 请你在网格中以左上角的三角形 为基本图形,通过平移、轴对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足: ①既是轴对称图形,又是以点 O 为对称中心的中心对称图形; ②所作图案用阴影标识,且阴影部分的面积为 4. 解:如解图所示. (答案不唯一) 35　 　 例 3　 (1)y= -10x+800 (2)当销售单价定为 48 元时,商家销售该商品每天获得的 利润最大,最大利润为 5 760 元. 第 3 课时　 抛物线形问题 例 1　 2 2 例 2　 (1)抛物线的解析式为 y= - 3 10 x2 +18 5 x. (2)高度不超过 4. 5 m 的车辆能安全通过该隧道. 例 3　 D 第二十三章　旋转 23. 1　 图形的旋转 第 1 课时　 旋转的概念与性质 ①旋转中心　 ②旋转角 　 ③对应点 　 ④相等 　 ⑤旋转角 　 ⑥全等 例 1　 ③④⑤ 例 2　 解:(1)旋转中心是时针与分针的交点. (2)∵ 360°÷60 = 6°,6°×20 = 120°,∴ 分针旋转了 120 度. 例 3　 解:(1)旋转中心是点 A. (2)旋转了 90 度. (3)△AEF 是等腰直角三角形. 第 2 课时　 旋转作图 例 1　 解:(1)如解图 1,点 P′即为所求. (2)如解图 2,线段 A′B′即为所求. (3)如解图 3,△A′B′C′即为所求. (4)如解图 4,△A′BC′即为所求. 解图 1 　 　 解图 2 解图 3 　 　 解图 4 例 2　 画图略. 例 3　 B　 　 例 4　 B 23. 2　 中心对称 23. 2. 1　 中心对称 ①旋转 180° 　 ②重合　 ③关于这个点对称　 ④中心对称　 ⑤对称中心　 ⑥中心　 ⑦对称点　 ⑧经过　 ⑨平分　 ⑩全等 例 1　 C 例 2　 (1)A′　 (2)OA′　 OB′　 OC′　 (3)∠A′B′C′　 A′C′ 例 3　 画图略. 　 例 4　 画图略. 23. 2. 2　 中心对称图形 ①一个图形　 ②旋转 180°　 ③重合　 ④中心对称图形 ⑤对称中心　 ⑥经过　 ⑦平分　 ⑧对称中心　 ⑨一　 ⑩两 􀃊􀁉􀁓一个　 􀃊􀁉􀁔两个　 􀃊􀁉􀁕一个图形上　 􀃊􀁉􀁖两个图形上 􀃊􀁉􀁗对称中心　 􀃊􀁉􀁘对称中心　 􀃊􀁉􀁙一个整体　 􀃊􀁉􀁚中心对称图形 􀃊􀁉􀁛两部分　 􀃊􀁊􀁒中心对称　 􀃊􀁊􀁓点　 􀃊􀁊􀁔直线　 􀃊􀁊􀁕旋转 180° 􀃊􀁊􀁖翻折　 􀃊􀁊􀁗旋转　 􀃊􀁊􀁘翻折 例 1　 解:(1)(3) (5) (6) (9)是中心对称图形,(2) (4) (7) (8)不是中心对称图形. 【拓展设问】解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)(9)是轴对称图 形,(7)不是轴对称图形. 例 2　 2 cm　 24 cm2 例 3　 解:只要直线过平行四边形两条对角线的交点即可. 画 图略. 例 4　 解:如解图,连接 BD 交 EF 于点 O. ∵ 正方形 ABCD 与折线 D-E-F-B 构成了 中心对称图形,∴ OE = 1 2 EF,OD = 1 2 BD. ∵ AD= 50,∴ AB = 50,∴ BD = 502 +502 = 50 2 ,∴ OD= 25 2 .设 EF= 2m,则 OE=m,DE=EF+25= 2m+ 25.在 Rt△DOE 中,OE2 +DE2 = OD2 ,即 m2 + ( 2m+ 25) 2 = (25 2 ) 2 ,解得 m= 5 或 m= -25(舍去),∴ EF= 5×2 = 10. 23. 2. 3　 关于原点对称的点的坐标 ①相反　 ②(-x,-y)　 ③(x,-y)　 ④(-x,y)　 ⑤(-x,-y) 例 1　 (1)(1,-3)　 (2)(0,3)　 (3)(x,-y)　 (4)-1　 2 例 2　 解:(1)(2)画图略. (3)△A1B1C1 与△A2B2C2 关于 x 轴对称. 23. 3　 课题学习　 图案设计 ①轴对称　 ②平移　 ③旋转 例 1　 C 例 2　 解:画图略. (答案不唯一) 第二十四章　圆 24. 1　 圆的有关性质 24. 1. 1　 圆 ①圆　 ②圆心　 ③半径　 ④O　 ⑤定长(半径 r) 　 ⑥同一个 圆上　 ⑦等于　 ⑧弦 　 ⑨直径 　 ⑩圆弧 　 􀃊􀁉􀁓弧 　 􀃊􀁉􀁔大于半 圆　 􀃊􀁉􀁕小于半圆　 􀃊􀁉􀁖半圆　 􀃊􀁉􀁗重合　 􀃊􀁉􀁘同圆或等圆　 􀃊􀁉􀁙重合 例 1　 证明:连接 BD,取 BD 的中点 O,连接 OA,OC. ∵ ∠BAD= ∠BCD= 90°,OB=OD,∴ OA=OB=OD=OC, ∴ A,B,C,D 四个点在同一个圆上. 例 2 　 解: ( 1 ) 劣 弧: AF ( , AD ( , AC ( , AE ( ; 优 弧: AFE ( , AFC ( , AED ( ,AEF ( . (2)弦 AF,AB,AC;其中弦 AB 又是直径. (3)弦 AF,它所对的弧是 AF ( 和 ABF ( (答案不唯一) . 例 3　 4　 例 4　 ③④⑨ 24. 1. 2　 垂直于弦的直径 ①直径所在的直线　 ②平分 　 ③平分 　 ④直径 　 ⑤垂直 　 ⑥平分 例 1　 D 例 2　 解:图 1,3,5,6 具备垂径定理的条件. 图 2 因为没有垂直,所以不具备; 图 4 因为两条弦都不过圆心,所以不具备. 例 3　 C 例 4　 蔬菜大棚的高度 CD 为 4 m. 例 5　 C 24. 1. 3　 弧、弦、圆心角 ①圆心　 ②圆心　 ③重合　 ④圆心　 ⑤同圆或等圆　 ⑥弦 ⑦同圆或等圆　 ⑧相等　 ⑨相等　 ⑩同圆或等圆　 􀃊􀁉􀁓相等 􀃊􀁉􀁔相等 例 1　 D　 【变式】B 例 2　 证明:连接 OD,OE. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠A = ∠B= 60°. 又∵ OA = OD,OB = OE,∴ △AOD 和△OBE 是等 边三 角 形, ∴ ∠AOD = ∠BOE = 60°, ∴ ∠DOE = 60°, ∴ ∠AOD= ∠DOE= ∠BOE,∴ AD ( =DE ( =EB ( . 例 3　 B 24. 1. 4　 圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 ①圆上　 ②相交　 ③一半　 ④圆上　 ⑤无数　 ⑥圆心　 ⑦1 ⑧一半　 ⑨同弧或等弧　 ⑩相等　 􀃊􀁉􀁓直角　 􀃊􀁉􀁔直径 例 1　 C 例 2　 解:∵ ∠ACB = 50°,∴ ∠AOB = 2∠ACB = 100°. ∵ ∠AOC = 140°,∴ ∠BOC= ∠AOC-∠AOB = 140°-100° = 40°,∴ ∠BAC = 1 2 ∠BOC= 20°. 例 3　 (1)∠4　 ∠8　 ∠6　 ∠7　 (2)∠4,∠2,∠8 例 4　 解:BD =CD. 理由如下:连接 AD,∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°,即 AD⊥BC. 又∵ AC = AB,∴ △ABC 是等腰 三角形,∴ BD=CD. 例 5　 2. 5　 例 6　 30°或 150° 第 2 课时　 圆内接四边形 ①同一个圆　 ②圆内接多边形　 ③外接圆　 ④互补　 ⑤等于 例 1　 解:∵ ∠C= 130°,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠A= 180°-∠C= 50°,∴ ∠BOD= 2∠A= 100°. 例 2　 解:四边形 ABCD 不是圆内接四边形,理由略. 例 3　 解:连接 BD. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴ ∠C+ ∠BAD = 180°, ∴ ∠BAD = 180° - 100° = 80°. ∵ AB = AD, ∴ ∠ABD= ∠ADB,∴ ∠ABD = 1 2 ×(180°- 80°) = 50°. ∵ 四 边形 ABDE 为☉O 的内接四边形,∴ ∠E+ ∠ABD = 180°, ∴ ∠E= 180°-50° = 130°. 24. 2　 点和圆、直线和圆的位置关系 24. 2. 1　 点和圆的位置关系 ①>　 ② = 　 ③<　 ④不在同一条直线上　 ⑤垂直平分 ⑥顶点　 ⑦垂直平分线 　 ⑧外心 　 ⑨不成立 　 ⑩不正确 　 􀃊􀁉􀁓成立 例 1　 解:(1)点 B 在☉A 内,点 C 在☉A 外,点 D 在☉A 上. (2)3<r<5. 例 2　 A 例 3　 解:(1)如解图,☉O 即为所求. (2)如解图,连接 OB,连接 OA 交 BC 于 点 D,∵ AB = AC = 13,∴ AB ( = AC ( ,∴ OA 垂直平分 BC,即 BD = CD = 1 2 BC = 12, OD ⊥ BD. 在 Rt △ABD 中, AD = 132 -122 = 5. ∵ △ABC 的外接圆☉O 的半径为 r,∴ OB = r,OD= r-5. 在 Rt△OBD 中,122 +( r- 5) 2 = r2 ,解得 r = 169 10 , ∴ △ABC 的外接圆半径 r 为169 10 . 例 4　 △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° 　 ∠A> 60°, ∠B>60°,∠C>60°　 ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60° = 180° 　 三角形的内角和为 180° 　 △ABC 中至少有一个内角小于 或等于 60° 例 5　 11 或 8 24. 2. 2　 直线和圆的位置关系 第 1 课时　 直线和圆的位置关系 ①相切　 ②2　 ③1　 ④0　 ⑤<　 ⑥ = 　 ⑦>　 ⑧切线 ⑨切点 例 1　 (1)d>5 cm　 (2)d= 5 cm　 (3)0 cm≤d<5 cm 例 2　 (1)相离　 (2)相交　 (3)3 3 2 例 3　 D　 例 4　 1 或 5 第 2 课时　 切线的判定和性质 ①外端　 ②垂直　 ③一个　 ④半径　 ⑤垂直　 ⑥切点 ⑦一个　 ⑧半径 例 1　 证明略. 　 例 2　 证明略. 例 3　 ☉O 的半径为 3. 第 3 课时　 切线长定理和三角形的内切圆 ①圆外　 ②两　 ③相等　 ④平分　 ⑤各边都相切 ⑥角平分线　 ⑦内心　 ⑧垂直平分线　 ⑨三个顶点 ⑩2　 􀃊􀁉􀁓角平分线　 􀃊􀁉􀁔三边　 􀃊􀁉􀁕 1 2 ∠BAC 例 1　 (1)3　 OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥PC (2)3　 ∠OBC,∠APC,∠BPC (3)AC=BC (4)6　 △AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP, △ACE≌△BCE,△AOE≌△BOE,△APE≌△BPE (5)5　 △ABP,△AOB,△AEB,△AOE,△BOE 例 2　 (1)△PCD 的周长为 12. (2)∠COD= 65°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案