23.1 图形的旋转(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

35　 　 例 3　 (1)y= -10x+800 (2)当销售单价定为 48 元时,商家销售该商品每天获得的 利润最大,最大利润为 5 760 元. 第 3 课时　 抛物线形问题 例 1　 2 2 例 2　 (1)抛物线的解析式为 y= - 3 10 x2 +18 5 x. (2)高度不超过 4. 5 m 的车辆能安全通过该隧道. 例 3　 D 第二十三章　旋转 23. 1　 图形的旋转 第 1 课时　 旋转的概念与性质 ①旋转中心　 ②旋转角 　 ③对应点 　 ④相等 　 ⑤旋转角 　 ⑥全等 例 1　 ③④⑤ 例 2　 解:(1)旋转中心是时针与分针的交点. (2)∵ 360°÷60 = 6°,6°×20 = 120°,∴ 分针旋转了 120 度. 例 3　 解:(1)旋转中心是点 A. (2)旋转了 90 度. (3)△AEF 是等腰直角三角形. 第 2 课时　 旋转作图 例 1　 解:(1)如解图 1,点 P′即为所求. (2)如解图 2,线段 A′B′即为所求. (3)如解图 3,△A′B′C′即为所求. (4)如解图 4,△A′BC′即为所求. 解图 1 　 　 解图 2 解图 3 　 　 解图 4 例 2　 画图略. 例 3　 B　 　 例 4　 B 23. 2　 中心对称 23. 2. 1　 中心对称 ①旋转 180° 　 ②重合　 ③关于这个点对称　 ④中心对称　 ⑤对称中心　 ⑥中心　 ⑦对称点　 ⑧经过　 ⑨平分　 ⑩全等 例 1　 C 例 2　 (1)A′　 (2)OA′　 OB′　 OC′　 (3)∠A′B′C′　 A′C′ 例 3　 画图略. 　 例 4　 画图略. 23. 2. 2　 中心对称图形 ①一个图形　 ②旋转 180°　 ③重合　 ④中心对称图形 ⑤对称中心　 ⑥经过　 ⑦平分　 ⑧对称中心　 ⑨一　 ⑩两 􀃊􀁉􀁓一个　 􀃊􀁉􀁔两个　 􀃊􀁉􀁕一个图形上　 􀃊􀁉􀁖两个图形上 􀃊􀁉􀁗对称中心　 􀃊􀁉􀁘对称中心　 􀃊􀁉􀁙一个整体　 􀃊􀁉􀁚中心对称图形 􀃊􀁉􀁛两部分　 􀃊􀁊􀁒中心对称　 􀃊􀁊􀁓点　 􀃊􀁊􀁔直线　 􀃊􀁊􀁕旋转 180° 􀃊􀁊􀁖翻折　 􀃊􀁊􀁗旋转　 􀃊􀁊􀁘翻折 例 1　 解:(1)(3) (5) (6) (9)是中心对称图形,(2) (4) (7) (8)不是中心对称图形. 【拓展设问】解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)(9)是轴对称图 形,(7)不是轴对称图形. 例 2　 2 cm　 24 cm2 例 3　 解:只要直线过平行四边形两条对角线的交点即可. 画 图略. 例 4　 解:如解图,连接 BD 交 EF 于点 O. ∵ 正方形 ABCD 与折线 D-E-F-B 构成了 中心对称图形,∴ OE = 1 2 EF,OD = 1 2 BD. ∵ AD= 50,∴ AB = 50,∴ BD = 502 +502 = 50 2 ,∴ OD= 25 2 .设 EF= 2m,则 OE=m,DE=EF+25= 2m+ 25.在 Rt△DOE 中,OE2 +DE2 = OD2 ,即 m2 + ( 2m+ 25) 2 = (25 2 ) 2 ,解得 m= 5 或 m= -25(舍去),∴ EF= 5×2 = 10. 23. 2. 3　 关于原点对称的点的坐标 ①相反　 ②(-x,-y)　 ③(x,-y)　 ④(-x,y)　 ⑤(-x,-y) 例 1　 (1)(1,-3)　 (2)(0,3)　 (3)(x,-y)　 (4)-1　 2 例 2　 解:(1)(2)画图略. (3)△A1B1C1 与△A2B2C2 关于 x 轴对称. 23. 3　 课题学习　 图案设计 ①轴对称　 ②平移　 ③旋转 例 1　 C 例 2　 解:画图略. (答案不唯一) 第二十四章　圆 24. 1　 圆的有关性质 24. 1. 1　 圆 ①圆　 ②圆心　 ③半径　 ④O　 ⑤定长(半径 r) 　 ⑥同一个 圆上　 ⑦等于　 ⑧弦 　 ⑨直径 　 ⑩圆弧 　 􀃊􀁉􀁓弧 　 􀃊􀁉􀁔大于半 圆　 􀃊􀁉􀁕小于半圆　 􀃊􀁉􀁖半圆　 􀃊􀁉􀁗重合　 􀃊􀁉􀁘同圆或等圆　 􀃊􀁉􀁙重合 例 1　 证明:连接 BD,取 BD 的中点 O,连接 OA,OC. ∵ ∠BAD= ∠BCD= 90°,OB=OD,∴ OA=OB=OD=OC, ∴ A,B,C,D 四个点在同一个圆上. 例 2 　 解: ( 1 ) 劣 弧: AF ( , AD ( , AC ( , AE ( ; 优 弧: AFE ( , AFC ( , AED ( ,AEF ( . (2)弦 AF,AB,AC;其中弦 AB 又是直径. (3)弦 AF,它所对的弧是 AF ( 和 ABF ( (答案不唯一) . 例 3　 4　 例 4　 ③④⑨ 24. 1. 2　 垂直于弦的直径 ①直径所在的直线　 ②平分 　 ③平分 　 ④直径 　 ⑤垂直 　 ⑥平分 例 1　 D 例 2　 解:图 1,3,5,6 具备垂径定理的条件. 图 2 因为没有垂直,所以不具备; 图 4 因为两条弦都不过圆心,所以不具备. 例 3　 C 例 4　 蔬菜大棚的高度 CD 为 4 m. 例 5　 C 24. 1. 3　 弧、弦、圆心角 ①圆心　 ②圆心　 ③重合　 ④圆心　 ⑤同圆或等圆　 ⑥弦 ⑦同圆或等圆　 ⑧相等　 ⑨相等　 ⑩同圆或等圆　 􀃊􀁉􀁓相等 􀃊􀁉􀁔相等 例 1　 D　 【变式】B 例 2　 证明:连接 OD,OE. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠A = ∠B= 60°. 又∵ OA = OD,OB = OE,∴ △AOD 和△OBE 是等 边三 角 形, ∴ ∠AOD = ∠BOE = 60°, ∴ ∠DOE = 60°, ∴ ∠AOD= ∠DOE= ∠BOE,∴ AD ( =DE ( =EB ( . 例 3　 B 24. 1. 4　 圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 ①圆上　 ②相交　 ③一半　 ④圆上　 ⑤无数　 ⑥圆心　 ⑦1 ⑧一半　 ⑨同弧或等弧　 ⑩相等　 􀃊􀁉􀁓直角　 􀃊􀁉􀁔直径 例 1　 C 例 2　 解:∵ ∠ACB = 50°,∴ ∠AOB = 2∠ACB = 100°. ∵ ∠AOC = 140°,∴ ∠BOC= ∠AOC-∠AOB = 140°-100° = 40°,∴ ∠BAC = 1 2 ∠BOC= 20°. 例 3　 (1)∠4　 ∠8　 ∠6　 ∠7　 (2)∠4,∠2,∠8 例 4　 解:BD =CD. 理由如下:连接 AD,∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°,即 AD⊥BC. 又∵ AC = AB,∴ △ABC 是等腰 三角形,∴ BD=CD. 例 5　 2. 5　 例 6　 30°或 150° 第 2 课时　 圆内接四边形 ①同一个圆　 ②圆内接多边形　 ③外接圆　 ④互补　 ⑤等于 例 1　 解:∵ ∠C= 130°,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠A= 180°-∠C= 50°,∴ ∠BOD= 2∠A= 100°. 例 2　 解:四边形 ABCD 不是圆内接四边形,理由略. 例 3　 解:连接 BD. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴ ∠C+ ∠BAD = 180°, ∴ ∠BAD = 180° - 100° = 80°. ∵ AB = AD, ∴ ∠ABD= ∠ADB,∴ ∠ABD = 1 2 ×(180°- 80°) = 50°. ∵ 四 边形 ABDE 为☉O 的内接四边形,∴ ∠E+ ∠ABD = 180°, ∴ ∠E= 180°-50° = 130°. 24. 2　 点和圆、直线和圆的位置关系 24. 2. 1　 点和圆的位置关系 ①>　 ② = 　 ③<　 ④不在同一条直线上　 ⑤垂直平分 ⑥顶点　 ⑦垂直平分线 　 ⑧外心 　 ⑨不成立 　 ⑩不正确 　 􀃊􀁉􀁓成立 例 1　 解:(1)点 B 在☉A 内,点 C 在☉A 外,点 D 在☉A 上. (2)3<r<5. 例 2　 A 例 3　 解:(1)如解图,☉O 即为所求. (2)如解图,连接 OB,连接 OA 交 BC 于 点 D,∵ AB = AC = 13,∴ AB ( = AC ( ,∴ OA 垂直平分 BC,即 BD = CD = 1 2 BC = 12, OD ⊥ BD. 在 Rt △ABD 中, AD = 132 -122 = 5. ∵ △ABC 的外接圆☉O 的半径为 r,∴ OB = r,OD= r-5. 在 Rt△OBD 中,122 +( r- 5) 2 = r2 ,解得 r = 169 10 , ∴ △ABC 的外接圆半径 r 为169 10 . 例 4　 △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° 　 ∠A> 60°, ∠B>60°,∠C>60°　 ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60° = 180° 　 三角形的内角和为 180° 　 △ABC 中至少有一个内角小于 或等于 60° 例 5　 11 或 8 24. 2. 2　 直线和圆的位置关系 第 1 课时　 直线和圆的位置关系 ①相切　 ②2　 ③1　 ④0　 ⑤<　 ⑥ = 　 ⑦>　 ⑧切线 ⑨切点 例 1　 (1)d>5 cm　 (2)d= 5 cm　 (3)0 cm≤d<5 cm 例 2　 (1)相离　 (2)相交　 (3)3 3 2 例 3　 D　 例 4　 1 或 5 第 2 课时　 切线的判定和性质 ①外端　 ②垂直　 ③一个　 ④半径　 ⑤垂直　 ⑥切点 ⑦一个　 ⑧半径 例 1　 证明略. 　 例 2　 证明略. 例 3　 ☉O 的半径为 3. 第 3 课时　 切线长定理和三角形的内切圆 ①圆外　 ②两　 ③相等　 ④平分　 ⑤各边都相切 ⑥角平分线　 ⑦内心　 ⑧垂直平分线　 ⑨三个顶点 ⑩2　 􀃊􀁉􀁓角平分线　 􀃊􀁉􀁔三边　 􀃊􀁉􀁕 1 2 ∠BAC 例 1　 (1)3　 OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥PC (2)3　 ∠OBC,∠APC,∠BPC (3)AC=BC (4)6　 △AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP, △ACE≌△BCE,△AOE≌△BOE,△APE≌△BPE (5)5　 △ABP,△AOB,△AEB,△AOE,△BOE 例 2　 (1)△PCD 的周长为 12. (2)∠COD= 65°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 第二十三章　旋转 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 37　 23. 1　 图形的旋转 第 1 课时　 旋转的概念与性质 一阶 教材知识梳理 二阶 教材母题变式 教材母题 1　认识旋转 例 1　 (教材 P59 练习 T1 改编)有下列现象:①高层公寓电梯的上升;②传送带上瓶装饮料的移动; ③方向盘的转动;④钟表的指针的转动;⑤荡秋千运动;⑥足球飞入球网中. 其中属于旋转的是 　 ③④⑤　 (填序号) . 【方法总结】判断一种运动是否属于旋转,先看图形是否在同一平面内运动,其次看是否有旋转中 心、旋转角、旋转方向,还要注意判断运动前后图形大小是否发生了变化. 例 2　 (教材 P59 练习 T2 改编)钟表的分针匀速旋转一周需要 60 min. (1)指出它的旋转中心; (2)经过 20 min,分针旋转了多少度? 解:(1)旋转中心是时针与分针的交点. (2)∵360°÷60= 6°,6°×20= 120°,∴分针旋转了 120 度. 【方法总结】旋转中心是唯一不动的点. 教材母题 2　旋转的性质 例 3　 (教材 P60 例改编)如图,四边形 ABCD 是正方形,△ADE 经顺时针旋转后与△ABF 重合. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度? (3)如果连接 EF,那么△AEF 是怎样的三角形? 解:(1)旋转中心是点 A. (2)∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠BAD= 90°,∴旋转了 90 度. (3)由旋转的性质得 AE=AF,∠EAF= 90°,∴△AEF 是等腰直角三角形. 【方法总结】利用旋转的性质解决问题时应抓住以下几点:(1)明确旋转中的“变”与“不变”;(2)找 准旋转前后的“对应关系”;(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系. 吃透教材 38　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 2 课时　 旋转作图 一阶 教材知识梳理 旋转作图的步骤: (1)确定旋转中心;(2)确定旋转角和旋转方向:注意方向是顺时针还是逆时针;(3)利用旋转的性质 (任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等)作出各 点的对应点;(4)连接得到的各点,从而作出旋转图形. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　旋转作图 例 1　 (教材 P62 习题 T1 改编)分别按下列要求作图: (1)如图 1,以点 O 为中心,把点 P 顺时针旋转 45°; 图 1 (2)如图 2,以点 O 为中心,把线段 AB 逆时针旋转 90°; 图 2 (3)如图 3,以点 O 为中心,把△ABC 顺时针旋转 120°; 图 3 (4)如图 4,以点 B 为中心,把△ABC 旋转 180°. 图 4 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 39　 教材母题 2　平面直角坐标系或网格中的旋转 例 2　 (教材 P62 习题 T4 改编)如图,在网格中有一个四边形 OABC,其中∠AOC= 90°,OA=OC. 请画 出该图形绕点 O 按顺时针方向分别旋转 90°,180°,270°的图形. 解:如解图,四边形 OA1B1C1、四边形 OA2B2C2、四边形 OA3B3C3 即为所求. 教材母题 3　旋转设计图案 例 3　 (教材 P63 习题 T5 改编)小华将图案 绕某点连续旋转若干次,每次旋转相同角度 α,设 计出一个如图所示的雪花图案,则 α 可以为 ( B ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【知识拓展】[源于教材 P73 阅读与思考]把正 n 边形绕着它的中心旋转360° n 的整数倍后所得的正 n 边形与原正 n 边形重合. 我们说,正 n 边形关于其中心有360° n 的旋转对称. 特别地,圆关于圆心有任 意角度的旋转对称. 三阶 易错剖析 易错点　忽视分类讨论旋转方向而出错 例 4　 如图,在△ABO 中,已知 AB⊥OB,OB= 3 ,AB= 1,若将△ABO 绕点 O 旋转 90°后得到△A1B1O, 则点 A1 的坐标是 ( B ) A. ( -1, 3 )　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. ( -1, 3 )或(1,- 3 ) C. ( -1,- 3 ) D. ( -1, 3 )或( -1,- 3 ) 易 错 提 醒 在解旋转相关题目时,若未指明旋转方向,需要分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况 进行讨论.