21.2.3 因式分解法&21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

吃透教材 10　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 21. 2. 3　 因式分解法 一阶 教材知识梳理 1.因式分解法的概念:通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于①　 0　 的形式,再 使这两个一次式分别等于 0,从而实现②　 降次　 . 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.因式分解法的依据:如果 a·b= 0,那么③　 a= 0　 ,或④　 b= 0　 . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　用因式分解法解一元二次方程 例 1　 【情境引入】(教材 P12 问题 2)根据物理学规律,如果把一个物体从地面以 10 m / s 的速度竖直 上抛,那么经过 x s 物体离地面的高度(单位:m)为 10x-4. 9x2 . 你能根据上述规律求出物体经过 多少秒落回地面吗(精确到 0. 01 s)? 解:设物体经过 x s 落回地面,这时它离地面的高度为 0,即 10x-4. 9x2 = 0, 因式分解,得 x(10-4. 9x) = 0,∴ x= 0 或 10-4. 9x= 0, ∴方程的两个根是 x1 = 0,x2 = 100 49 ≈2. 04, ∵ x= 0 表示被上抛离开地面的时间,不符合题意, ∴物体经过约 2. 04 s 落回地面. 【变式】 　 (教材 P14 例 3 改编)解下列方程: (1)3x2 -6x= -3; 解:移项、化简,得 x2-2x+1= 0. 因式分解,得(x-1) 2 = 0, 于是得 x-1= 0, ∴ x1 =x2 = 1. 　 　 　 　 　 　 (2)4x(x-1)= x2 -1. 解:移项,得 4x(x-1)-(x2-1)= 0, 即 4x(x-1)-(x+1)(x-1)= 0. 因式分解,得(x-1)[4x-(x+1)] = 0, 于是得 x-1= 0 或 4x-(x+1)= 0, ∴ x1 = 1,x2 = 1 3 . 【方法总结】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一般步骤 解题模板 /示例 (1)移项:将方程右边的项全部移至左边,使右边为　 　 　 ; (2)化积:将左边的式子因式分解为两个一次因式的　 　 　 ; (3)转化:分别令每个因式等于　 　 　 ,将方程转化为两个一元 一次方程; (4)求解:分别解这两个一元一次方程,得到的解就是一元二次 方程的解. 【简记口诀】右化零,左分解,两因式,各求解 解方程:x2 +4x+6 = -x. x2 +5x+6 = 0, (x+2)(x+3)= 0, ①　 　 　 　 　 　 　 　 　 , ②　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 11　 教材母题 2　用适当的方法解一元二次方程 例 2　 (教材 P25 复习题 T1 改编)用适当的方法解下列方程: (1)(2x+3) 2 -49 = 0; 解:移项,得(2x+3) 2 = 49, ∴2x+3= 7 或 2x+3=-7, 解得 x1 = 2,x2 =-5. 　 　 　 　 　 　 　 (2)2x2 -7x-2 = 0; 解:a= 2,b=-7,c=-2, Δ=b2-4ac= 49+16= 65, x= 7± 65 2×2 = 7± 65 4 , ∴ x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 . (3)(x+2) 2 = 3(x+2); 解:移项,得(x+2) 2-3(x+2)= 0. 因式分解,得(x+2)(x+2-3)= 0, ∴ x+2= 0 或 x+2-3= 0, 解得 x1 =-2,x2 = 1. (4)x2 -2x-3 = 0. 解:移项,得 x2-2x= 3. 方程两边同时加 1,得 x2-2x+1= 3+1, 即(x-1) 2 = 4, ∴ x-1= 2 或 x-1=-2, 解得 x1 = 3,x2 =-1. 【方法总结】解一元二次方程的方法的选择技巧: (1)若一元二次方程可化为(mx+n) 2 = p(m≠0,p≥0)的形式,则宜选用①　 　 　 　 　 　 　 法; (2)若一元二次方程的二次项系数为 1,一次项系数为偶数,则宜选用②　 　 　 　 　 　 　 ; (3)若一元二次方程整理后右边为 0,且左边能进行因式分解,则宜选用③　 　 　 　 　 　 　 ; (4)若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,则宜选用④　 　 　 　 　 　 　 . 三阶 易错剖析 易错点　解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导致漏解 例 3　 注重学习过程 在学习了解一元二次方程后,老师出示了这样一个题目: 解方程:(x-1)(x+2)= 3(x+2) . 佳琪同学的解答过程如下: 方程(x-1)(x+2)= 3(x+2)两边同时除以 x+2, 得 x-1 = 3, 所以 x= 4, 因此,方程的解为 x= 4. (1)试判断佳琪同学的解法是否正确. 若不正确,请说明理由. (2)根据你对一元二次方程解法的理解,写出你的解答过程. 解:(1)佳琪同学的解法错误,原因是第一步出现错误,方程两边不能同时除以 x+2. (2)∵ (x-1)(x+2)= 3(x+2),∴ (x-1)(x+2)-3(x+2)= 0, ∴ (x+2)[(x-1)-3] = 0,即(x+2)(x-4)= 0, ∴ x+2= 0 或 x-4= 0,∴方程的解为 x1 =-2,x2 = 4. 易 错 提 醒 当等号两边含有相同的因式时,切记不可在等号两边同时约去含有未知数的项,一定 要将等号右边的式子移至左边再进行因式分解. 吃透教材 12　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) ※ 21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 一阶 教材知识梳理 一元二次方程的根与系数的关系:一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的两个根 x1,x2 与系数 a,b,c 有 如下关系:x1 +x2 = ①　 　 　 　 ,x1·x2 = ②　 　 　 　 . 这表明两根之和等于一次项系数与二次项系数 的比的③　 相反数　 ,两根之积等于常数项与④　 二次项系数　 的比. 【特别提醒】一元二次方程的根与系数的关系的使用条件:Δ⑤　 　 　 　 0. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 例 1　 (教材 P16 例 4 改编)不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积: (1)x2 +3x+1 = 0; 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)2x2 +3 = 5x2 +x. 解:(1)Δ= 32-4×1×1= 5>0,∴方程有两个实数根 x1,x2,∴ x1+x2 =-3,x1x2 = 1. (2)将原方程整理,得 3x2+x-3= 0,Δ= 12-4×3×(-3)= 37>0, ∴方程有两个实数根 x1,x2,∴ x1+x2 =- 1 3 ,x1x2 =-1. 教材母题 2　已知一根求另一根及待定字母的取值 例 2　 已知方程 x2 -x+c= 0 的一根为 3,求方程的另一根及 c 的值. 解:设方程的另一根为 x1,∵ x1+3= 1,∴ x1 =-2. ∵ x1·3=-2×3=c,∴ c=-6. 【变式 1】关于 x 的一元二次方程 x2 +px+4 = 0 的一个根为 x1 = 2,则另一个根为 x2 = 　 2　 . 【变式 2】已知关于 x 的方程 x2 -(k+2)x+2k-1 = 0 的一个根为 x= 3,则方程的另一个根是 x= 　 1　 . 教材母题 3　利用根与系数的关系求代数式的值 例 3　 (教材 P16 练习改编)设 x1,x2 是一元二次方程 2x2 -5x+1 = 0 的两个根,利用根与系数的关系 求下列各式的值: (1)x1 +x2 -x1x2; 解:∵ x1+x2 = 5 2 ,x1x2 = 1 2 , ∴ x1+x2-x1x2 = 5 2 - 1 2 = 2. 　 　 (2)x21 +x22; 解:x21+x22 =(x1+x2) 2-2x1x2 = 25 4 -1= 21 4 . 　 　 (3) 1 x1 + 1 x2 . 解: 1 x1 + 1 x2 = x2+x1 x1x2 = 5. 三阶 易错剖析 易错点　用根与系数的关系时忽视隐含条件 例 4　 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +(2m-3)x+m2 = 0 的两个不相等的实数根 α,β 满足 1 α + 1 β = 1, 则 m 的值为　 -3　 . 易 错 提 醒 用根与系数的关系时,一定要注意前提条件 Δ≥0,还要注意二次项系数不能为 0. 34　 21. 2. 3　 因式分解法 ①0　 ②降次　 ③a= 0　 ④b= 0 例 1　 物体经过约 2. 04 s 落回地面. 【变式】(1)x1 = x2 = 1. 　 (2)x1 = 1,x2 = 1 3 . 【方法总结】(1)0　 (2)积　 (3)0　 ①x+2 = 0 或 x+3 = 0　 ②x1 = -2,x2 = -3 例 2　 (1)x1 = 2,x2 = -5. (2)x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 . (3)x1 = -2,x2 = 1. (4)x1 = 3,x2 = -1. 【方法总结】①直接开平方　 ②配方法　 ③因式分解法　 ④公式法 例 3　 (1)佳琪同学的解法错误,原因是第一步出现错误,方 程两边不能同时除以 x+2. (2)x1 = -2,x2 = 4. ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 ①- b a 　 ② c a 　 ③相反数　 ④二次项系数　 ⑤≥ 例 1　 解:(1)Δ= 32 -4×1×1 = 5>0,∴ 方程有两个实数根 x1 , x2 ,∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = 1. (2)将原方程整理,得 3x2 +x-3 = 0,Δ= 12 -4×3×( -3)= 37> 0,∴ 方程有两个实数根 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = - 1 3 ,x1x2 = -1. 例 2　 解:设方程的另一根为 x1 ,∵ x1 +3 = 1,∴ x1 = -2. ∵ x1 ·3 = -2×3 = c,∴ c= -6. 【变式 1】2　 【变式 2】1 例 3　 (1)x1 +x2 -x1x2 = 2. (2)x21 +x 2 2 = 21 4 . (3) 1 x1 + 1 x2 = 5. 例 4　 -3 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 ①a(1+x) 2 　 ②n(n -1) 2 　 ③n(n-1) 例 1　 每轮传染中平均一个人传染了 6 个人. 【变式】每轮传染中平均一个人传染了 5 个人. 例 2　 5　 【变式】A　 例 3　 31 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 ①a(1+x) 2 = b　 ②a(1-x) 2 = b　 ③销售量 例 1　 每月生产成本的下降率为 15%. 【变式】(1)该公司投递快递总件数的月平均增长率为 30%. (2)5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 例 2　 每件应降价 4 元. 【变式】(1)55 (2) 当这种背包的销售单价为 42 元时, 销售利润是 3 120 元. (3)这种背包的销售利润不可能达到 3 700 元. 理由略. 第 3 课时　 面积问题 ①(a-2x)(b-2x)　 ②(a-x)(b-x)　 ③(a-x)(b-x) 例 1　 两条直角边的长分别为 3 cm,4 cm. 【变式】A 例 2　 上、下边衬的宽为( 40 - 16 5 ) cm,左、右边衬的宽为 (30-12 5 )cm. 【变式】B　 例 3　 垂直于墙的边 AB 的长度为 15 m. 第二十二章　二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 ①y=ax2 +bx+c　 ②常数项　 ③2　 ④二次项 例 1　 解:(1)y= 2x2 -3 是二次函数, 二次项系数是 2,一次项系数是 0,常数项是-3. (2)y= 3x-1 不是二次函数,是一次函数. (3)y= (2x-1)(1-x)= -2x2 +3x-1 是二次函数, 二次项系数是-2,一次项系数是 3,常数项是-1. (4)y= 1 x2 +1 不是二次函数. 【变式】D 例 2　 m= 1 2 n(n-1)　 是　 例 3　 y= 50(1+x) 2 例 4　 解:(1)S= 2x2 +4×6x= 2x2 +24x,V= 6x2 . (2)它们都是关于 x 的二次函数. 例 5　 2　 【变式】-1 22. 1. 2　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 ①抛物线　 ②抛物线　 ③向上　 ④向下　 ⑤越小　 ⑥y 轴　 ⑦低　 ⑧高　 ⑨减小　 ⑩增大　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔减小 例 1　 4　 1　 0　 1　 4 描点、连线略. (1)开口向上　 (2)对称轴是 y 轴 (3)当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>0 时,y 随 x 的增 大而增大(答案不唯一) 例 2　 解:画图象略. 这些抛物线的特点:当 a> 0 时,开口向上,有最小值,在对 称轴左侧,y 随 x 的增大而减小;在对称轴右侧,y 随 x 的增 大而增大. 当 a<0 时,开口向下,有最大值,在对称轴左侧,y 随 x 的增 大而增大;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小. 【变式】①③② 22. 1. 3　 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③y 轴　 ④(0,k)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨k　 ⑩k 例 1　 8　 4. 5　 2　 0. 5　 0　 0. 5　 2　 4. 5　 8 9　 5. 5　 3　 1. 5　 1　 1. 5　 3　 5. 5　 9 7　 3. 5　 1　 -0. 5　 -1　 -0. 5　 1　 3. 5　 7 描点、连线略. 向上　 y 轴　 (0,0) 　 向上　 y 轴　 (0,1) 　 向上　 y 轴　 (0,-1) 【思考 1】答:a 决定开口方向和开口大小:当 a> 0 时,开口 向上;当 a<0 时,开口向下; | a |越大,开口越小. 【思考 2】答:k 决定顶点的纵坐标. (答案不唯一,合理即 可) 例 2　 (1)上　 1　 (2)下　 1　 (3)下　 1　 (4)上　 1 (5)下　 2　 (6)上　 2　 【思考】上　 下　 | k | 例 3　 -6≤y≤-2 第 2 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③x=h　 ④(h,0)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨0　 ⑩0 例 1　 -4. 5　 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2　 -4. 5 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2　 -4. 5　 -8 -8　 -4. 5　 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2 描点、连线略. 向下　 y 轴　 (0,0)　 向下　 x= -1　 (-1,0)　 向下　 x= 1 (1,0) 【归纳】向上　 低　 向下　 高　 x=h　 (h,0) 例 2　 (1)左　 1　 (2)右　 1　 (3)右　 1　 (4)左　 1 (5)右　 2　 (6)左　 2 【思考】右　 左　 | h | 第 3 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 +k 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③x=h　 ④(h,k)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨k　 ⑩k　 􀃊􀁉􀁓左加右减 例 1　 向上　 (1,-1)　 x= 1　 >1　 <1　 1　 小　 -1 【思考】1　 下　 1 例 2　 (1)该抛物线对应的函数解析式为 y = - 3 4 ( x- 1) 2 + 3 (0≤x≤3) . (2)柱形喷水装置的高度为 9 4 m. 例 3　 B　 【变式】D 22. 1. 4　 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③- b 2a 　 ④- b 2a 　 ⑤4ac -b2 4a 　 ⑥减小 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 ⑩小　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔- b 2a 　 􀃊􀁉􀁕4ac -b2 4a 例 1　 解:y= 2x2 -4x+6 = 2(x2 -2x+1)-2+6 = 2(x-1) 2 +4, 故该二次函数图象的对称轴为 x= 1,顶点坐标为(1,4) . 例 2　 解:(1)y= x2 -4x+3 = x2 -4x+22 -22 +3 = (x-2) 2 -1, ∴ 抛物线的对称轴为 x= 2,顶点坐标为(2,-1) . (2)由(1)得 y= x2 -4x+3 = (x-2) 2 -1, ∴ 抛物线 y= x2 -4x+3 可以看作是由抛物线 y= x2 先向右平 移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得到的. (3)画抛物线略. 例 3　 B　 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数的解析式 ①(x-h) 2 　 ②(x-x1 )(x-x2 ) 例 1　 能. 这个二次函数的解析式为 y= x2 +2. 例 2　 此抛物线的解析式为 y= -17x2 -34x-8. 【变式】抛物线的解析式为 y= 5 4 x2 -5x. 例 3　 此抛物线的解析式为 y= 5x2 +20x+15. 例 4　 y= 2x2 -4x-6 或 y= -2x2 +4x+6 22. 2　 二次函数与一元二次方程 ①有两个不相等的实数根　 ②有两个相等的实数根 ③无实数根　 ④x<x1 或 x>x2 　 ⑤x1 <x<x2 例 1　 解:(1)画出函数图象略. (2)图象与 x 轴的交点坐标为(-1,0),(3,0) . (3)当 x= -1 或 x= 3 时,y= 0,这里 x 的取值是方程 x2 -2x- 3 = 0 的根. 例 2　 解:(1)x1 = -4,x2 = 1 (2)当 x<-4 或 x>1 时,y>0. (3)当-4<x<1 时,y<0. 例 3　 解:画出函数 y= x2 -3x-2 的图象略. (1)方程 x2 -3x-2 = 0 的近似根为 x1 ≈-0. 6,x2 ≈3. 6. (2)方程 x2 -3x-2 = 2 的实数根为 x1 = -1,x2 = 4. (3)方程 x2 -3x-2 = -3 的近似根为 x1 ≈0. 4,x2 ≈2. 6. 例 4　 D　 例 5　 C 22. 3　 实际问题与二次函数 第 1 课时　 面积问题 例 1　 解:(1)有最小值,最小值为-7. (2)有最大值,最大值为 6. 例 2　 45　 1 350 例 3　 (1) y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 2x2 + 40x( 0<x< 20) . (2)当 AB 边的长为 10 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 200 m2 . 【变式】BC 为 12 m,AB 为 9 m 时,菜园的面积最大,最大面积 为 108 m2 . 第 2 课时　 销售利润问题 例 1　 25 例 2　 当每副春联的售价定为 35 元时,日销售利润最大,最 大日销售利润是 2 250 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案