21.2.2 公式法(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

33　 　 2.解:选择方案一:设 BC= x 米,则 AC= (x+4)米, 在 Rt△PAC 中,PC=AC·tan15°≈0. 27(x+4), 在 Rt△PBC 中,PC=BC·tan40°≈0. 84x, ∴ 0. 27(x+4)= 0. 84x,解得 x= 36 19 , ∴ PC= 36 19 ×0. 84≈1. 6(米) . 答:摄像机机位 P 到小车行驶轴线 AB 的竖直距离约为 1. 6 米. 二阶　 广西中考抢先练 1. C　 2. D　 3. C　 4. 2 3 . 　 5. 3 . 　 6. 3. 　 7. 4. 　 8. C　 9. 8 　 10. D　 11. A　 12. A　 13. A　 14. 50　 15. 21　 16. 15 17. 烟囱 AB 的高度约为 53. 2 m. 18.解:(1)延长 BA 交过点 D 且与 BC 平 行的直线于点 E,过点 C 作 CF⊥ED 于 点 F,由题意,知四边形 BCFE 是矩形, AB = 50 米, CD = 100 2 米, ∠CDF = 45°, ∠ADE = 60°, ∴ BE = CF. 在 Rt△CDF 中,CF = CD · sin ∠CDF = 100 2 ·sin45° = 100(米),DF =CD·cos∠CDF = 100 2 · cos45° = 100 ( 米), ∴ BE = CF = 100 米, AE = BE - AB = 50(米).在 Rt△ADE 中,AD = AE sin∠ADE = 100 3 3 ≈57. 7(米). 答:四边形空地 AD 边的长约为 57. 7 米. (2)∵ DE= AE tan∠ADE = 50 3 3 (米),∴ BC = EF = DE+DF = ( 50 3 3 + 100) 米. ∵ AB = 50 米,CD = 100 2 米,AD = 100 3 3 米. ∴ 防护栏的长为 AB +BC +CD + AD = 50 + 50 3 3 + 100 + 100 2 + 100 3 3 = 150+50 3 +100 2 ≈378(米),∴ 需要的费 用为 378 × 30 = 11 340 ( 元) . ∵ 15 000 > 11 340, ∴ 费用 充足. 19.解:(1)如解图,过点 E 作 EG⊥CD 于 点 G,∴ ∠EGC= 90°. ∵ BC = 60 cm,坐 垫 E 与点 B 的距离 BE 为 10 cm,则 CE= 70 cm. ∵ ∠ABC = 64°,AB∥CD, ∴ ∠ECD= 64°. ∴ EG = EC· sin64°≈ 70×0. 90 = 63(cm) . ∵ CD∥l,CF⊥l,l 与☉D 相切,车轮半 径为 32 cm,∴ CF = 32 cm. ∴ 坐垫 E 到地面的距离约为 63+32 = 95(cm) . 答:坐垫 E 到地面的距离为 95 cm. (2)如解图,过点 E′作 E′G′⊥CD 交 CD 的延长线于点 G′, 则∠E′G′C= 90°. ∵ 小明的腿长约为 84 cm,根据题意,得 E′G′= 84×0. 8 = 67. 2(cm). ∵ ∠ECD = 64°,∴ CE′= E′G′ sin64° ≈ 74. 67 ( cm ), ∴ EE′ = CE′ - CE ≈ 74. 67 - 70 = 4. 67 ≈ 4. 7(cm) . 答:EE′的长约为 4. 7 cm. 第二十九章　投影与视图 29. 1　 投影 1. A　 2. B　 3. C　 4. D　 5. A　 6. A　 7. B　 8. C　 9. 中上方 10. 略. 　 11. B　 12. D　 13. D　 14. B　 15. B　 16. ④①③② 17. A 29. 2　 三视图 第 1 课时　 三视图 1. C　 2. C　 3. C　 4. C　 【变式】D　 5. A　 6. A　 7. 略. 　 8. D 9. C　 10. B　 11. D　 12. ( 1) 左 　 主 　 俯 　 ( 2) 2 　 13. C　 14. A 第 2 课时　 由三视图想象出立体图形 1. B　 2. C　 3. B　 4. C　 5. D　 6. B 7. 圆柱　 圆锥(答案不唯一)　 8. 6 9. B　 【变式】A　 10. C　 11. D　 12. B　 13. 2　 14. C 15. (1)该物体共有 3 层. (2)一共需要 9 个正方体堆叠而成. 第 3 课时　 由三视图确定立体图形的面积或体积 1. A　 2. B 3. (1)由三视图可得,该几何体是三棱柱. (2)几何体的表面展开图略. 4. B　 5. B　 6. 72π+64　 7. A　 8. C 9.解:(1)直三棱柱. (2)展开图略. (3)这个几何体的侧面积为 3×8×3 = 72(平方厘米) . 10.解:(1)观察图形可知,这个几何体是四棱柱. (2)侧面积:13×(5+12+5+6)= 13×28 = 364; 左视图的宽:(12-6)÷2 = 3, 52 -32 = 4, 左视图的面积:13×4 = 52. 11.解:(1)圆锥. S表 =S侧面 +S底面 = π rl+π r2 = 12π+4π = 16π(平方厘米) . (2) 如解图,将圆锥侧面展开,得到扇形 BAB′,则线段 BD 为所求的最短路程. 设 ∠BAB′= n°. ∵ nπ·6 180 = 4π,∴ n = 120,即 ∠BAB′ = 120°. ∵ C 为 BB′ ( 的 中 点, ∴ ∠ADB= 90°,∠BAD = 60°,∴ BD = AB· sin∠BAD= 6× 3 2 = 3 3 (厘米),∴ 这个线路的最短路程为 3 3厘米. 29. 3　 课题学习　 制作立体模型 1. B　 2. 四棱柱　 3. C　 4. C　 5. A　 6. B 7.解:(1)此模型由两个长方体组成:上面是一个小长方体, 下面是一个大长方体. (2)此模型的表面积为 2×(100×200+100×300+200×300) + 2×(50× 80+ 80× 80+ 50× 80) - 2× 80× 80 = 236 000( cm2 ) = 23. 6(m2 ),故需要油漆 23. 6÷4 = 5. 9(千克) . 8. 6 3 第二十九章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 1. (1)② (2)①这个几何体的表面积为 108 dm2 ,这个几何体的体积 为 72 dm3 . ②4 2.解:(1)如解图,光源的位置为点 P,第三根旗杆在该灯光下 的影长为 MN. (2)D (3)灯杆 AB 的高度为 6. 4 m. 二阶　 广西中考抢先练 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. D　 6. A　 7. B　 8. D　 9. B　 10. A 11. B　 12. A　 13. C　 14. C　 15. B　 16. B 17. (1)圆锥. (2)这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 120°. (3)该几何体的全面积为 16π. 吃透教材 九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 ①整式　 ②一个　 ③最高　 ④ax2 　 ⑤a　 ⑥bx　 ⑦b　 ⑧c　 ⑨左右两边相等　 ⑩解 例 1　 D 例 2　 解:化成一元二次方程的一般形式为 x2 +4x+4 = 0. 其中 二次项为 x2 ,二次项系数为 1,一次项为 4x,一次项系数为 4,常数项为 4. 例 3　 当 m≠ 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx(2x-m+1)= x 是一元 二次方程, 当 m= 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx(2x-m+ 1) = x 不是一元 二次方程. 例 4　 B　 【变式】-2 023 例 5　 解:(1)设这个正方形的边长是 x m, 根据题意,得(x+5)(x+2)= 54,即 x2 +7x-44 = 0. (2)设三个连续整数依次为 x,x+1,x+2. 根据题意,得 x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)= 242, 即 x2 +2x-80 = 0. 例 6　 此一元二次方程为 4x2 +3x+2 = 0. 【变式】a≠2　 a= 2 且 b≠0 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　 直接开平方法 ①降次　 ②非负数　 ③1　 ④0　 ⑤无 例 1　 x1 = 7 ,x2 = - 7 　 【变式】B 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -4. 　 (2)x1 = 3,x2 = -1. 例 3　 y1 = 3 2 ,y2 = - 1 4 . 第 2 课时　 配方法 ①一次项系数一半　 ②1　 ③降次 例 1　 A 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -9. (2)x1 = 10 +3 2 ,x2 = - 10 +3 2 . 【方法总结】①常数项　 ②左边　 ③二次项系数　 ④一次 项系数一半的平方 例 3　 (1)B　 (2)②　 等号右边没有加 9 (3)x1 = -3+ 13 ,x2 = -3- 13 . 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　 一元二次方程根的判别式 ①b2 -4ac　 ②Δ　 ③Δ= b2 -4ac　 ④两个相等　 ⑤无 例 1　 (1)此方程有两个不相等的实数根. (2)此方程有两个相等的实数根. (3)此方程没有实数根. 例 2　 k≥- 1 8 且 k≠0 【变式 1】k<- 1 8 　 【变式 2】- 1 8 　 【变式 3】k>- 1 8 且 k≠0 例 3　 k>-1 且 k≠0 例 4　 k 的取值范围为 k≥- 1 8 . 第 2 课时　 公式法 ①x= -b± b2 -4ac 2a 　 ②求根公式 例 1　 ax2 +bx = -c 　 x2 + b a x = - c a 　 x2 + b a x+( b 2a ) 2 = - c a + ( b 2a ) 2 　 ± b 2 -4ac 2a 　 -b± b2 -4ac 2a 　 -b± b2 -4ac 2a ( b2 - 4ac≥0) 例 2　 (1)x1 = 4+ 21 ,x2 = 4- 21 . 　 (2)x1 = x2 = 2 2 . (3)x1 = 11+ 13 6 ,x2 = 11- 13 6 . 　 (4)此方程无实数根. 【方法总结】①x2 +4x-2 = 0　 ②a= 1,b = 4,c= -2　 ③42 -4× 1×(-2) 例 3　 (1)一　 把常数项写错 (2)x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 吃透教材 6　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　 一元二次方程根的判别式 一阶 教材知识梳理 1.一元二次方程根的判别式:一般地,式子①　 b2-4ac　 叫做一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 根的判别 式,通常用希腊字母“②　 　 Δ　 ”表示它,即③　 Δ=b2-4ac　 . 2.一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根有三种情况: 当 Δ>0 时,方程有两个不等的实数根; 当 Δ= 0 时,方程有④　 两个相等　 的实数根; 当 Δ<0 时,方程⑤　 　 　 　 　 　 实数根. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例 1　 (教材 P17 习题 T4 改编)利用判别式判断下列方程的根的情况: (1)2x2 +3x-4 = 0; 解:∵ a= 2,b= 3,c=-4, ∴Δ=b2-4ac= 32-4×2×(-4)>0, ∴此方程有两个不相等的实数根. (2)x2 -2 3 x+3 = 0; 解:∵ a= 1,b=-2 3,c= 3, ∴Δ=b2-4ac=(-2 3) 2-4×1×3= 0, ∴此方程有两个相等的实数根. (3)5(x2 +1) -7x= 0. 解:原方程可化为 5x2-7x+5= 0. ∵ a= 5,b=-7,c= 5, ∴Δ=b2-4ac=(-7) 2-4×5×5<0, ∴此方程没有实数根. 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 7　 教材母题 2　利用根的判别式确定字母的值或取值范围 例 2　 关于 x 的一元二次方程 kx2 +x-2 = 0 有实数根,则 k 的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 . 【变式 1】关于 x 的一元二次方程 kx2 +x-2 = 0 无实数根,则 k 的取值范围为　 　 　 　 　 　 　 . 【变式 2】关于 x 的一元二次方程 kx2 +x-2 = 0 有两个相等的实数根,则 k 的值为　 　 　 　 　 　 　 . 【变式 3】 关于 x 的一元二次方程 kx2 + x - 2 = 0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围 是　 　 　 　 　 　 　 　 . 三阶 易错剖析 易错点 1　用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为 0 例 3　 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x- 1 = 0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 　 k>-1 且 k≠0　 . 易 错 提 醒 用一元二次方程根的判别式时,一定不要忽略二次项系数不为 0. 易错点 2　未对方程进行分类讨论导致漏解 例 4　 关于 x 的方程 kx2 +x-2 = 0 有实数根,求 k 的取值范围. 解:当 k= 0 时,方程为一元一次方程 x-2= 0,此时方程有实数根,符合题意; 当 k≠0 时,方程为一元二次方程 kx2+x-2= 0, Δ= 12-4k×(-2)= 1+8k. 由题意,得 Δ≥0,即 1+8k≥0, 解得 k≥- 1 8 ,∴ k≥- 1 8 且 k≠0. 综上所述,k 的取值范围为 k≥- 1 8 . 易 错 提 醒 若不指出原方程为一元二次方程,则一定要对二次项系数进行分类讨论,不要遗漏所 给方程为一元一次方程的情况. 吃透教材 8　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 2 课时　 公式法 一阶 教材知识梳理 一元二次方程的求根公式: 当 Δ ≥ 0 时, 方 程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的 实 数 根 可 写 为 ①　 　 　 　 　 　 　 　 的形式,这个式子叫做一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的②　 求根公式　 . 公式法:解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出 根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 二阶 教材母题变式 教材母题　用公式法解一元二次方程 例 1　 (教材 P9 探究改编)完成下面推导一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的求根公式的过程. 解:移项,得　 ax2+bx=-c　 . 二次项系数化为 1,得　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 配方,得　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 即(x+ b 2a ) 2 = b 2 -4ac 4a2 . 当 b2 -4ac≥0 时,原方程有解, ∴ x+ b 2a = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,∴ x= 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , ∴ 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的求根公式是 x= 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 例 2　 (教材 P11 例 2 改编)用公式法解下列方程: (1)x2 -8x-5 = 0; 解:∵ a= 1,b=-8,c=-5, ∴ x= 8±2 21 2 = 4± 21, 即 x1 = 4+ 21,x2 = 4- 21 . 　 　 　 　 　 　 (2)x(x-4 2 ) +8 = 0; 解:将方程整理,得 x2-4 2x+8= 0. ∵ a= 1,b=-4 2,c= 8, ∴Δ=(-4 2) 2-4×1×8= 0, ∴ x= -(-4 2) 2 = 2 2, 即 x1 =x2 = 2 2 . 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 9　 (3)(3x-5)(x-2)= 1; 解:将方程整理,得 3x2-11x+9= 0. ∵ a= 3,b=-11,c= 9, ∴Δ=(-11) 2-4×3×9= 13, ∴ x= 11± 13 6 , 即 x1 = 11+ 13 6 ,x2 = 11- 13 6 . (4)x(x+6)= 2(x-8) . 解:将方程整理,得 x2+4x+16= 0. ∵ a= 1,b= 4,c= 16, ∴Δ= 42-4×1×16=-48<0, ∴此方程无实数根. 【方法总结】用公式法解一元二次方程的一般步骤: 一般步骤 解题模板 (1)把一元二次方程化成一般形式; (2)确定公式中 a,b,c 的值; (3)求出 b2 -4ac 的值; (4)若 b2 -4ac≥0,则把 a,b 及 b2 -4ac 的值代入 求根公式求解,当 b2 -4ac<0 时,方程无实数解. 解方程:x2 +4x= 2. 解:①　 　 　 　 　 　 　 　 　 . ∵ ②　 　 　 　 　 　 　 　 　 , ∴ b2 -4ac= ③　 　 　 　 　 　 　 　 　 = 24>0, ∴ x= -4±2 6 2 = -2± 6, ∴ x1 = -2+ 6,x2 = -2- 6 . 三阶 易错剖析 易错点　利用公式法解方程时未将方程化成一般形式 例 3　 小明在解方程 x2 -5x= 1 时出现了错误,解答过程如下: 解:∵ a= 1,b= -5,c= 1,(第一步) ∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×1×1 = 21,(第二步) ∴ x= 5± 21 2 ,(第三步) ∴ x1 = 5+ 21 2 ,x2 = 5- 21 2 . (第四步) (1)小明的解答过程是从第　 一　 步开始出错的,其错误原因是　 把常数项写错　 ; (2)写出此题正确的解答过程. 解:将方程整理,得 x2-5x-1= 0. ∵ a= 1,b=-5,c=-1,∴ b2-4ac=(-5) 2-4×1×(-1)= 29>0, ∴ x= 5± 29 2 ,∴ x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 易 错 提 醒 用公式法解一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式 ax2 +bx+c= 0(a≠0),然后 确定二次项系数 a、一次项系数 b 及常数项 c,进而计算 b2 -4ac 的值,当 b2 -4ac≥0 时,用求根公式 求解.