21.1 一元二次方程(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

九年级上册 第二十一章　一元二次方程 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 1　 21. 1 　 一元二次方程 一阶 教材知识梳理 1.一元二次方程的定义:等号两边都是①　 整式　 ,只含有②　 一个　 未知数(一元),并且未知数的 ③　 最高　 次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式:ax2 +bx+c= 0(a≠0),其中④　 ax2 　 是二次项,⑤　 aaa　 是二次项系 数;⑥　 bx　 是一次项,⑦　 ba　 是一次项系数;⑧　 ac　 是常数项. 3.一元二次方程的根:使方程⑨ 　 左右两边相等 　 的未知数的值就是这个一元二次方程的 ⑩　 a 解　 ,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　一元二次方程的定义及一般形式 例 1　 下列关于 x 的方程一定是一元二次方程的是 ( D ) A. ax2 +bx+c= 0　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. x2 +1-y2 = 0 C. x2 + 1 x = 2 D. x2 -x-2 = 0 例 2　 (教材 P3 例改编)将方程(x+1) 2 +2(x+2)= 1 化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二 次项、二次项系数,一次项、一次项系数及常数项. 解:去括号,得 x2+2x+1+2x+4= 1. 化成一元二次方程的一般形式为 x2+4x+4= 0. 其中二次项为 x2,二次项系数为 1, 一次项为 4x,一次项系数为 4, 常数项为 4. 例 3　 易错 判断关于 x 的方程 x2 -mx(2x-m+1)= x 是否为一元二次方程. 解:x2-mx(2x-m+1)= x, x2-2mx2+m2x-mx=x, (1-2m)x2+(m2-m-1)x= 0, 当 1-2m≠0,即 m≠ 1 2 时,关于 x 的方程 x2-mx(2x-m+1)= x 是一元二次方程, 当 1-2m= 0,即 m= 1 2 时,关于 x 方程 x2-mx(2x-m+1)= x 不是一元二次方程. 【方法总结】求一元二次方程的项与系数的方法:(1)将所给方程化成一元二次方程的一般形式,即 ax2 +bx+c= 0(a≠0);(2)依次写出所求. 吃透教材 2　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 教材母题 2　一元二次方程的根 例 4　 已知 x= 1 是一元二次方程 x2 +mx-2 024 = 0 的解,则 m 的值为 ( B ) A. 2 022　 　 　 　 　 B. 2 023　 　 　 　 　 C. 2 024　 　 　 　 　 D. 2 025 【变式】 整体思想 若 a 是方程 3x2 -6x-2 = 10 的一个解,则 2a2 -4a-2 031 的值是　 -2 023　 . 【方法总结】已知方程的解求代数式的值时,一般先把已知解代入方程,得到等式,将所求代数式的 一部分看作一个整体,再用整体思想代入求值. 教材母题 3　根据实际问题列一元二次方程 例 5　 (教材 P4 习题 T4~ T6 改编)根据题意,列出一元二次方程: (1)有一面积为 54 m2 的长方形,将它的一边剪短 5 m,另一边剪短 2 m,恰好变成一个正方形,这 个正方形的边长是多少? (2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为 242. 这三个数分别是多少? 解:(1)设这个正方形的边长是 x m, 根据题意,得(x+5)(x+2)= 54,即 x2+7x-44=0. (2)设三个连续整数依次为 x,x+1,x+2. 根据题意,得 x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)= 242, 即 x2+2x-80= 0. 三阶 易错剖析 易错点　忽略一元二次方程中二次项系数不为 0而出错 例 6　 已知关于 x 的方程(m+2)x |m | +3x+m= 0 是一元二次方程,求此一元二次方程. 解:由题意,得 m =2, m+2≠0,{ ∴m=2. ∴此一元二次方程为 4x2+3x+2=0. 【变式】当　 a=2且 b≠0　 时,关于 x 的方程 |a-2|x2+bx+c= 0 是一元二次方程;当　 a=2 且 b≠0　 时,关 于 x 的方程 | a-2 | x2 +bx+c= 0 是一元一次方程. 易 错 提 醒 先观察方程特征,依据定义建立关于 m 的方程,再考虑其二次项系数不能为 0,可得 到结论. 33　 　 2.解:选择方案一:设 BC= x 米,则 AC= (x+4)米, 在 Rt△PAC 中,PC=AC·tan15°≈0. 27(x+4), 在 Rt△PBC 中,PC=BC·tan40°≈0. 84x, ∴ 0. 27(x+4)= 0. 84x,解得 x= 36 19 , ∴ PC= 36 19 ×0. 84≈1. 6(米) . 答:摄像机机位 P 到小车行驶轴线 AB 的竖直距离约为 1. 6 米. 二阶　 广西中考抢先练 1. C　 2. D　 3. C　 4. 2 3 . 　 5. 3 . 　 6. 3. 　 7. 4. 　 8. C　 9. 8 　 10. D　 11. A　 12. A　 13. A　 14. 50　 15. 21　 16. 15 17. 烟囱 AB 的高度约为 53. 2 m. 18.解:(1)延长 BA 交过点 D 且与 BC 平 行的直线于点 E,过点 C 作 CF⊥ED 于 点 F,由题意,知四边形 BCFE 是矩形, AB = 50 米, CD = 100 2 米, ∠CDF = 45°, ∠ADE = 60°, ∴ BE = CF. 在 Rt△CDF 中,CF = CD · sin ∠CDF = 100 2 ·sin45° = 100(米),DF =CD·cos∠CDF = 100 2 · cos45° = 100 ( 米), ∴ BE = CF = 100 米, AE = BE - AB = 50(米).在 Rt△ADE 中,AD = AE sin∠ADE = 100 3 3 ≈57. 7(米). 答:四边形空地 AD 边的长约为 57. 7 米. (2)∵ DE= AE tan∠ADE = 50 3 3 (米),∴ BC = EF = DE+DF = ( 50 3 3 + 100) 米. ∵ AB = 50 米,CD = 100 2 米,AD = 100 3 3 米. ∴ 防护栏的长为 AB +BC +CD + AD = 50 + 50 3 3 + 100 + 100 2 + 100 3 3 = 150+50 3 +100 2 ≈378(米),∴ 需要的费 用为 378 × 30 = 11 340 ( 元) . ∵ 15 000 > 11 340, ∴ 费用 充足. 19.解:(1)如解图,过点 E 作 EG⊥CD 于 点 G,∴ ∠EGC= 90°. ∵ BC = 60 cm,坐 垫 E 与点 B 的距离 BE 为 10 cm,则 CE= 70 cm. ∵ ∠ABC = 64°,AB∥CD, ∴ ∠ECD= 64°. ∴ EG = EC· sin64°≈ 70×0. 90 = 63(cm) . ∵ CD∥l,CF⊥l,l 与☉D 相切,车轮半 径为 32 cm,∴ CF = 32 cm. ∴ 坐垫 E 到地面的距离约为 63+32 = 95(cm) . 答:坐垫 E 到地面的距离为 95 cm. (2)如解图,过点 E′作 E′G′⊥CD 交 CD 的延长线于点 G′, 则∠E′G′C= 90°. ∵ 小明的腿长约为 84 cm,根据题意,得 E′G′= 84×0. 8 = 67. 2(cm). ∵ ∠ECD = 64°,∴ CE′= E′G′ sin64° ≈ 74. 67 ( cm ), ∴ EE′ = CE′ - CE ≈ 74. 67 - 70 = 4. 67 ≈ 4. 7(cm) . 答:EE′的长约为 4. 7 cm. 第二十九章　投影与视图 29. 1　 投影 1. A　 2. B　 3. C　 4. D　 5. A　 6. A　 7. B　 8. C　 9. 中上方 10. 略. 　 11. B　 12. D　 13. D　 14. B　 15. B　 16. ④①③② 17. A 29. 2　 三视图 第 1 课时　 三视图 1. C　 2. C　 3. C　 4. C　 【变式】D　 5. A　 6. A　 7. 略. 　 8. D 9. C　 10. B　 11. D　 12. ( 1) 左 　 主 　 俯 　 ( 2) 2 　 13. C　 14. A 第 2 课时　 由三视图想象出立体图形 1. B　 2. C　 3. B　 4. C　 5. D　 6. B 7. 圆柱　 圆锥(答案不唯一)　 8. 6 9. B　 【变式】A　 10. C　 11. D　 12. B　 13. 2　 14. C 15. (1)该物体共有 3 层. (2)一共需要 9 个正方体堆叠而成. 第 3 课时　 由三视图确定立体图形的面积或体积 1. A　 2. B 3. (1)由三视图可得,该几何体是三棱柱. (2)几何体的表面展开图略. 4. B　 5. B　 6. 72π+64　 7. A　 8. C 9.解:(1)直三棱柱. (2)展开图略. (3)这个几何体的侧面积为 3×8×3 = 72(平方厘米) . 10.解:(1)观察图形可知,这个几何体是四棱柱. (2)侧面积:13×(5+12+5+6)= 13×28 = 364; 左视图的宽:(12-6)÷2 = 3, 52 -32 = 4, 左视图的面积:13×4 = 52. 11.解:(1)圆锥. S表 =S侧面 +S底面 = π rl+π r2 = 12π+4π = 16π(平方厘米) . (2) 如解图,将圆锥侧面展开,得到扇形 BAB′,则线段 BD 为所求的最短路程. 设 ∠BAB′= n°. ∵ nπ·6 180 = 4π,∴ n = 120,即 ∠BAB′ = 120°. ∵ C 为 BB′ ( 的 中 点, ∴ ∠ADB= 90°,∠BAD = 60°,∴ BD = AB· sin∠BAD= 6× 3 2 = 3 3 (厘米),∴ 这个线路的最短路程为 3 3厘米. 29. 3　 课题学习　 制作立体模型 1. B　 2. 四棱柱　 3. C　 4. C　 5. A　 6. B 7.解:(1)此模型由两个长方体组成:上面是一个小长方体, 下面是一个大长方体. (2)此模型的表面积为 2×(100×200+100×300+200×300) + 2×(50× 80+ 80× 80+ 50× 80) - 2× 80× 80 = 236 000( cm2 ) = 23. 6(m2 ),故需要油漆 23. 6÷4 = 5. 9(千克) . 8. 6 3 第二十九章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 1. (1)② (2)①这个几何体的表面积为 108 dm2 ,这个几何体的体积 为 72 dm3 . ②4 2.解:(1)如解图,光源的位置为点 P,第三根旗杆在该灯光下 的影长为 MN. (2)D (3)灯杆 AB 的高度为 6. 4 m. 二阶　 广西中考抢先练 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. D　 6. A　 7. B　 8. D　 9. B　 10. A 11. B　 12. A　 13. C　 14. C　 15. B　 16. B 17. (1)圆锥. (2)这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 120°. (3)该几何体的全面积为 16π. 吃透教材 九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 ①整式　 ②一个　 ③最高　 ④ax2 　 ⑤a　 ⑥bx　 ⑦b　 ⑧c　 ⑨左右两边相等　 ⑩解 例 1　 D 例 2　 解:化成一元二次方程的一般形式为 x2 +4x+4 = 0. 其中 二次项为 x2 ,二次项系数为 1,一次项为 4x,一次项系数为 4,常数项为 4. 例 3　 当 m≠ 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx(2x-m+1)= x 是一元 二次方程, 当 m= 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx(2x-m+ 1) = x 不是一元 二次方程. 例 4　 B　 【变式】-2 023 例 5　 解:(1)设这个正方形的边长是 x m, 根据题意,得(x+5)(x+2)= 54,即 x2 +7x-44 = 0. (2)设三个连续整数依次为 x,x+1,x+2. 根据题意,得 x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)= 242, 即 x2 +2x-80 = 0. 例 6　 此一元二次方程为 4x2 +3x+2 = 0. 【变式】a≠2　 a= 2 且 b≠0 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　 直接开平方法 ①降次　 ②非负数　 ③1　 ④0　 ⑤无 例 1　 x1 = 7 ,x2 = - 7 　 【变式】B 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -4. 　 (2)x1 = 3,x2 = -1. 例 3　 y1 = 3 2 ,y2 = - 1 4 . 第 2 课时　 配方法 ①一次项系数一半　 ②1　 ③降次 例 1　 A 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -9. (2)x1 = 10 +3 2 ,x2 = - 10 +3 2 . 【方法总结】①常数项　 ②左边　 ③二次项系数　 ④一次 项系数一半的平方 例 3　 (1)B　 (2)②　 等号右边没有加 9 (3)x1 = -3+ 13 ,x2 = -3- 13 . 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　 一元二次方程根的判别式 ①b2 -4ac　 ②Δ　 ③Δ= b2 -4ac　 ④两个相等　 ⑤无 例 1　 (1)此方程有两个不相等的实数根. (2)此方程有两个相等的实数根. (3)此方程没有实数根. 例 2　 k≥- 1 8 且 k≠0 【变式 1】k<- 1 8 　 【变式 2】- 1 8 　 【变式 3】k>- 1 8 且 k≠0 例 3　 k>-1 且 k≠0 例 4　 k 的取值范围为 k≥- 1 8 . 第 2 课时　 公式法 ①x= -b± b2 -4ac 2a 　 ②求根公式 例 1　 ax2 +bx = -c 　 x2 + b a x = - c a 　 x2 + b a x+( b 2a ) 2 = - c a + ( b 2a ) 2 　 ± b 2 -4ac 2a 　 -b± b2 -4ac 2a 　 -b± b2 -4ac 2a ( b2 - 4ac≥0) 例 2　 (1)x1 = 4+ 21 ,x2 = 4- 21 . 　 (2)x1 = x2 = 2 2 . (3)x1 = 11+ 13 6 ,x2 = 11- 13 6 . 　 (4)此方程无实数根. 【方法总结】①x2 +4x-2 = 0　 ②a= 1,b = 4,c= -2　 ③42 -4× 1×(-2) 例 3　 (1)一　 把常数项写错 (2)x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案