2025年九年级数学中考总复习 锐角三角函数的实际应用 教学设计

考题讲解：锐角三角函数的实际应用 ——人教版初中数学九年级总复习 一、教学指导思想 本节课以《义务教育数学课程标准（2022版）》为教学指导思想，遵循“数学来源于生活，服务于生活”，旨在通过实际生活中的问题情境，引导学生将数学知识与现实生活紧密结合，增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。在教学过程中，紧密结合学生的成长规律，将数学核心素养的培养贯穿始终。通过锐角三角函数实际应用的考题讲解，不仅传授数学知识，更注重培养培养学生抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、数据观念、模型观念等核心素养，解决实际问题的能力，为学生的终身发展奠定坚实基础。 二、内容分析 本节课来自人教版初中数学九年级总复习，锐角三角函数的实际应用在历年中考中占据重要地位，锐角三角函数的实际应用一般以解答题形式出现，分值占10分，本节课重点围绕锐角三角函数的定义，通过中考真题再现，通过考题分析与梳理，帮助学生掌握解题思路和方法。 三、学情分析 学生已具备的知识与经验：九年级学生已经学习了锐角三角函数的定义，有一定的数学基础知识和解题技巧，具备了一定的数学思维和逻辑推理能力。 学生存在的困难与学习心理：对于锐角三角函数的应用题，学生一方面对应用题惧怕，不会审题与分析题，另一方面锐角三角函数比较抽象，学生理解起来较困难，再加上利用锐角三角函数解直角三角形时计算量相对较大，所以学生遇到此类题会感到陌生和困难， 四、教学目标 1.通过知识回顾学生能熟练掌握锐角三角函数的定义； 2.学生经历在不同题型中利用锐角三角函数解决实际问题的分析过程，能够梳理出解题思路。 五、教学重难点 重点：锐角三角函数在实际问题中的应用方法、解题思路。 难点：如何将实际问题转化为数学模型，并运用锐角三角函数求解。 六、教学过程设计 （一）实例引入 在生活中我们想测量旗杆的高度或者一颗树的高度，我们现在有一个三角板和一卷皮尺，可以求出旗杆或大树的高度吗？ 设计意图：从生活实例引入，体会数学来源于生活，数学与实际生活间的联系，学生可能会想到借助太阳光利用相似解决此题。还可以将旗杆抽象成线段，借助三角板确定仰角，视线、旗杆、人与旗杆间的水平距离三者可以构成一个直角三角形，借助皮尺可以测量出人与旗杆之间的水平距离，测量出观测者眼睛与地面的高度，已知仰角及邻边，求对边，利用直角三角形边与角之间的三角函数关系即可求出旗杆的高度，此处注意三角尺的一锐角一边与水平线平行，一边端点与观测物体顶端重合。 （二）聚焦中考 设计意图：通过对近六年锐角三角函数的实际应用考点分析，发现每一年都在第20题或21题以10分题呈现，虽背景不同但解题思路相同，都需将实际问题抽象成数学问题，再将数学问题转化成解直角三角形的问题，通过锐角三角函数解决数学问题从而达到解决实际问题的目的，使学生明确本节课复习目标，达到培养学生抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、数据观念、模型观念等核心素养的目的。 （三）知识链接 1.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，请写出除直角∠C外的五个元素之间的关系： （1）三边之间的关系： 勾股定理 （2）两锐角之间的关系： 互余 （3）边角之间的关系：两个锐角的正弦、余弦和正切函数关系 设计意图：通过回顾在直角三角形中除直角外其余五个元素之间的关系，熟悉两锐角互余，三边满足勾股定理，边与角之间满足三角函数，重点回顾∠A与∠B的正弦、余弦和正切三种锐角函数的定义，为本节课锐角三角函数的实际应用做铺垫。 （四）轻松尝试 1.如图，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC＝200米，∠ACB＝α，则AB＝(　 ) A．200·tanα米 B．200· sinα米 C．200· cos α米 D．200/tanα 米 设计意图：此处让学生说出要求的AB边是角α的对边，已知邻边AC，利用角α与对边、邻边之间的正切关系列出关系式，从而得出AB的值，回顾锐角三角函数在实际生活中测河宽时的应用。 2.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，若坡比i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为(　 ) A． 75 m B． 50 m C． 45 m D． 30 m 设计意图：此处询问学生坡比i的意义，回顾锐角三角函数在斜坡问题中的应用，再次巩固正切函数的应用，与第一题对比，虽然都利用了正切的三角函数，但实际背景不同。 3.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里，那么该渔船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行(　 ) A．50海里 B．50√3 海里 C．65海里 D．75海里 设计意图：此题帮助学生回顾方向角，并在此基础上强调审题的重要性，体会“离灯塔距离最近的位置”的含义，从而过M作垂线，将方位角60°转化到直角三角形中，利用60°的正弦函数或30°的余弦函数建立关系式，从而求解。 设计意图：轻松尝试的三道题均为单一的直角三角形，利用锐三角函数一次即可求解，分析历年中考题可以发现，锐角三角函数的实际应用问题大多以两个三角形组合而成，大部分为“背靠背”或“子母型”以及他们的变形，因此本节课将重点针对中考真题进行分析，从而归纳出解题方法。 （五）真题再现 1.（2022年中考第21题）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度。（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 课堂活动：先独立思考，再小组合作完成以下问题： 问题1：通过阅读题目，你画出了哪些关键信息？已知什么？要求什么？ 问题2：结合图像标出已知量，图像中包括哪些基本图形？怎样将已知量和未知量联系在一起？要用到哪些数学知识？可以建立怎样的数学表达式？ 问题3：理清思路，小组内说一说解题思路。 问题4：把解题过程写出来。 学生进行汇报，展示学生解题过程，对解答过程中存在的问题进行修改，规范解题格式，归纳“背靠背”模型。 设计意图：学生根据问题指引一步步思考，提升学生分析问题、解决问题的能力，从而培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言描述现实世界的能力，逐步形成解题思路。 2.（2023年中考第20题）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”,白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1).某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2,无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC 的顶部C处的俯角为50°,测得烽燧BC 的底部B处的俯角为65°,试根据提供的数据计算烽燧BC的高度.(参考数据：sin50⁰≈0.8,cos50⁰≈0.6,tan50°≈1.2,sin65⁰≈0.9,cos65⁰≈0.4,tan65⁰≈2.1) 课堂活动：类比上一道题的方法，组长问问题，组员回答，梳理解题思路，小组进行汇报。   问题1：通过阅读题目，你画出了哪些关键信息？已知什么？要求什么？ 问题2：结合图像标出已知量，图像中包括哪些基本图形？怎样将已知量和未知量联系在一起？要用到哪些数学知识？可以建立怎样的数学表达式？ 问题3：理清思路，小组内说一说解题思路。 问题4：把解题过程写出来。 预设：学生可能过C点向AD做垂线，构造直角三角形，归纳“子母”模型。 设计意图：学生类比第一题的思路自己提出问题、自己回答问题，有问题时小组交流，问题不局限于所给的，可以增加问题，经历分析问题的过程更好的归纳解题方法。 （六）方法总结 锐角三角函数解决实际问题的解题步骤： 1.审题:画出正确的平面图或截面示意图,并通过图形弄清楚已知量和未知量. 2.构造直角三角形:添加适当的辅助线,将三角形转化为直角三角形. 3.列关系式:根据直角三角形(或通过作垂线构造的直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关直角三角形. 4.检验:解题完毕后,可能会存在一些较为特殊的数据,如含有复杂的小数等,因此要特别注意所求数据是否符合实际意义,同时还要注意题目中对结果的精确度有无要求. 设计意图：通过两道中考真题的分析与解答，经历探究过程，有利于学生体会方法的形成与归纳，通过学生说一说提升学生的语言组织能力、归纳能力和表达能力。 （七）课堂评价 评价内容 自我评价 小组评价 说明 A B C A B C A-能 B-基本 C-不能 能熟记锐角三角函数的概念 会审题找到已知量和未知量 能做出辅助线，构造出直角三角形 能说出锐角三角函数实际应用的步骤 能参与小组沟通、交流、合作、发言 对数学学习有好奇心和求知欲 A- 强 B-一般 C-没有 有克服困难挑战困难的勇气 合计 设计意图：通过自评与小组评价相结合，了解学生在本节课知识的掌握情况，直观反馈学生在课堂中的参与程度，结合本节课教学目标进行反思。 （八）作业设计 基础作业：中考新题型78页教材基础小练 能力提升：80页变式练习 （8） 板书设计 考题讲解：锐角三角函数的实际应用 实际问题 数学问题 数学问题 解直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$