精品解析：福建省厦门市思明区观音山音乐学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年福建省厦门市思明区音乐学校七年级（下） 期中数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 2. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（ ）． A 100° B. 115° C. 135° D. 145° 3. 在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 年月日，港珠澳大桥正式通车，全长约，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行 C 如果，，那么 D. 负数没有平方根 7. 已知，下面四个选项中能确定点是线段中点的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB//CD的是（ ） A. B. C. D. 9. 对于点与点，下列说法不正确的是（ ）． A. 将点A向下平移5个单位长度可得到点B B. A、B两点的距离为5 C. 点A到y轴的距离为2 D. 直线与x轴平行 10. 方程组有正整数解，则整数k的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题有6小题，每小题各4分，共24分） 11. 不等式的解集是______. 12. 如图，与都相交，，则_________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，m＋3）在x轴上，则m＝______． 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，﹣2），将线段AB平移至OM，使A与O重合，则点M坐标为______． 15. 如图，面积为3正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为____． 16. 如图，将四边形ABCD折叠，折痕为PQ，连接CP并延长交DA延长线于点E，若AD//BC，，PF分．则下列结论：①AB//CD；②；③PF平分；④．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解二元一次方程组：． 19. 解不等式组：，并在数轴上表示解集． 20 看图填空： 已知：如图，点E在DF上，点B在AC上，，．求证：AC//DF． 证明：∵（已知） （______）， ∴． ∴BD//______（同位角相等，两直线平行）． ∴（______） 又∵， ∴． ∴AC//DF（______）． 21. 如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． （1）若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； （2）求出的面积； （3）点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标． 22. 先阅读，然后解答提出的问题： 设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b＋2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b＋2＝0，所以a＝3，b＝﹣2， 所以， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求xy的值． 23. 国家实行一系列“三农”优惠政策后，使农民收入大幅度增加，也调动了农民生产积极性．某农业基地去年种植蔬菜和茶叶总收入是万元，今年扩大了蔬菜和茶叶的种植面积，这样按照去年的平均每亩收入，预计今年蔬菜和茶叶的种植总收入将比去年增加万元，其中蔬菜的种植收入将增加，茶叶种植收入将增加． （1）问该农业基地去年种植蔬菜和茶叶的收入各是多少万元？ （2）经测算茶叶平均每亩的收入要比蔬菜平均每亩的收入多万元，日常管理中，蔬菜平均每亩需人管理，茶叶平均每亩需人管理．若今年新增的管理蔬菜和茶叶的人数比为：，问该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增多少人？ 24. 阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； （3）当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且a，b满足：． （1）求点A，B的坐标； （2）如图1，将AB平移到，使点B的对应点落在x轴的正半轴上，在y轴上有一点P，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，线段AB与y轴交于点M，将AB平移到，连接，，点B的对应点，若，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年福建省厦门市思明区音乐学校七年级（下） 期中数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【详解】解：2的平方根是， 故选：D． 2. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（ ）． A. 100° B. 115° C. 135° D. 145° 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠2，即可求出∠1的度数，根据邻补角的定义即可求出∠BOC的度数． 【详解】解析 ∵直线AC和直线BD相交于点O， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＋∠2＝70°， ∴∠1＝35°， ∵∠1＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°－∠1＝180°－35°＝145°． 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角和邻补角，对顶角相等；互为邻补角的两个角和为180°． 3. 在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限． 【详解】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴该点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识；用到的知识点为：横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限． 4. 年月日，港珠澳大桥正式通车，全长约，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，即可求解． 【详解】将用科学记数法表示为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题的关键． 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】 A选项，不等号两边同时×（-8），不等号方向改变，，故A选项错误； B选项，不等号两边同时-2，不等号方向不改变，，故B选项错误； C选项，不等号两边同时×6，不等号方向不改变，，故C选项错误； D选项，不等号两边同时×，不等号方向不改变，，故D选项正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 6. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 如果，，那么 D. 负数没有平方根 【答案】A 【解析】 【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可． 【详解】A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，故A是假命题，符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故B是真命题，不符合题意； C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意； D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例． 7. 已知，下面四个选项中能确定点是线段中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段中点的定义逐项分析，即可得到答案． 【详解】解：A、点可以是线段上的任意位置，不一定是中点，不符合题意，选项错误； B、点可以是线段外一点，不一定是中点，不符合题意，选项错误； C、点可以是线段外一点，不一定是中点，不符合题意，选项错误； D、点一定是线段中点，符合题意。选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 8. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB//CD的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可． 【详解】解：A、当∠3＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得AC∥BD，故A不符合题意； B、当∠1＝∠2时，由内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故B符合题意； C、当∠A＋∠BCD＝180°时，不能得到AB∥CD，故C不符合题意； D、当∠D＝∠DCE时，由内错角相等，两直线平行得BD∥AC，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用． 9. 对于点与点，下列说法不正确的是（ ）． A. 将点A向下平移5个单位长度可得到点B B. A、B两点的距离为5 C. 点A到y轴的距离为2 D. 直线与x轴平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，直接表示出点到点的横坐标与纵坐标的变化方法，然后根据平移规律解答．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点与点， 将点向下平移5个单位长度可得到点，、两点的距离为5，点到轴的距离为2，直线与轴平行． 故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 10. 方程组有正整数解，则整数k的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用加减法得到，再由方程组有正整数解，可确定k+2=4或k+2=2或k+2=1，求出k的值即可． 【详解】解：， ①-②得，（k+2）y=6-k， 解得， ∵方程组有正整数解， ∴k+2=4或k+2=2或k+2=1， 解得k=2或k=0或k=-1， ∴整数k有3个， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解问题，熟练掌握二元一次方程组的解法，分数取整数的条件是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题各4分，共24分） 11. 不等式的解集是______. 【答案】x<4 【解析】 【分析】不等式两边同时除以2，不等号方向不变，即可得答案. 【详解】2x<8 两边同时除以2得：x<4， ∴不等式的解集为：x<4， 故答案为x<4 【点睛】题考查了解不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 12. 如图，与都相交，，则_________． 【答案】130° 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，再用补角的定义得出∠2. 【详解】解：∵a∥b， ∴∠1=∠3=50°， ∴∠2=180°-50°=130°， 故答案130°. 【点睛】本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等. 13. 在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，m＋3）在x轴上，则m＝______． 【答案】-3 【解析】 【分析】由x轴上点的纵坐标为0得到m+3=0，求出m即可． 【详解】解：∵点M（m﹣1，m＋3）在x轴上， ∴m+3=0， 解得m=-3， 故答案为：-3． 【点睛】此题考查了坐标轴上点的坐标特征：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0． 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，﹣2），将线段AB平移至OM，使A与O重合，则点M坐标为______． 【答案】（-3，-3） 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用平移的规律得到答案． 【详解】解：如图，点A（4，1）向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，使点A与点O重合， 故点B平移后使与点M重合， 故平移后点M的坐标为（-3，-3）， 故答案为（-3，-3）． 【点睛】此题考查了根据平移规律确定点的坐标，正确理解题意中的点平移前后的规律是解题的关键． 15. 如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB=AE=，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为3，且AB=AE， ∴AD=AE=， ∵点A表示数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键． 16. 如图，将四边形ABCD折叠，折痕为PQ，连接CP并延长交DA延长线于点E，若AD//BC，，PF分．则下列结论：①AB//CD；②；③PF平分；④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得∠BAD+∠B＝180°，从而得出∠BAD+∠D＝180°，即可得出①正确，由平行线的性质和翻折的性质可知②正确，无法说明∠PCD＝∠QPA'，从而得不到PF平分∠APQ，故③错误；设∠APQ＝y，∠FPQ＝x，则∠PQC＝∠QPA'＝y，再利用翻折和平行线的性质表示出∠APE的度数，从而判断④正确． 详解】解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠APQ＝∠PQC， ∵四边形ABCD折叠， ∴∠APQ＝∠A'PQ， ∴∠PQC＝∠A'PQ，故②正确； ∵PF平分∠EPA′． ∴∠EPF＝∠A'PF， ∵AB∥CD， ∴∠APE＝∠PCD， 无法说明∠PCD＝∠QPA'，从而得不到PF平分∠APQ， 故③错误； 设∠APQ＝y，∠FPQ＝x， 则∠PQC＝∠QPA'＝y， ∵∠EPF＝∠A'PF， ∴∠APF＝y﹣x，∠APE＝∠EPF﹣∠APF＝（x+y）﹣（y﹣x）＝2x， ∴∠APE＝2∠FPQ，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，翻折的性质等知识，利用设参数表示角度，是解题本题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值、乘方、算术平方根的运算法则进行计算，即可求出答案． 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 18. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：， 由①＋②得： 解得： 把代入①得： 解得： ∴原方程组的解为： 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法、代入消元法是解题的关键． 19. 解不等式组：，并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 20. 看图填空： 已知：如图，点E在DF上，点B在AC上，，．求证：AC//DF． 证明：∵（已知） （______）， ∴． ∴BD//______（同位角相等，两直线平行）． ∴（______） 又∵， ∴． ∴AC//DF（______）． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】由条件可先证明EC∥DB，可得到∠D=∠ABD，再结合条件两直线平行的判定可证明AC∥DF，依次填空即可． 【详解】证明：∵（已知） （对顶角相等）， ∴． ∴ CE （同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等，） 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 21. 如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． （1）若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； （2）求出的面积； （3）点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标． 【答案】（1）图形见解析， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）设点，根据面积公式建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：如下图所示， 由图知三个顶点坐标为：； 小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设点， 根据题意得：， 解得：，或， ∴或． 22. 先阅读，然后解答提出的问题： 设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b＋2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b＋2＝0，所以a＝3，b＝﹣2， 所以， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求xy的值． 【答案】xy的值是16或-16． 【解析】 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得xy的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，xy=4×4=16， 当x=-4，y=4时，xy=（-4）×4=-16， 即xy的值是16或-16． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 23. 国家实行一系列“三农”优惠政策后，使农民收入大幅度增加，也调动了农民生产积极性．某农业基地去年种植蔬菜和茶叶的总收入是万元，今年扩大了蔬菜和茶叶的种植面积，这样按照去年的平均每亩收入，预计今年蔬菜和茶叶的种植总收入将比去年增加万元，其中蔬菜的种植收入将增加，茶叶种植收入将增加． （1）问该农业基地去年种植蔬菜和茶叶的收入各是多少万元？ （2）经测算茶叶平均每亩的收入要比蔬菜平均每亩的收入多万元，日常管理中，蔬菜平均每亩需人管理，茶叶平均每亩需人管理．若今年新增的管理蔬菜和茶叶的人数比为：，问该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增多少人？ 【答案】（1）该农业基地去年种植蔬菜的收入为万元，种植茶叶的收入为万元； （2）该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增人． 【解析】 【分析】（1）设该农业基地去年种植蔬菜的收入为x万元，种植茶叶的收入为y万元，根据去年种植蔬菜和茶叶的总收入是万元结合今年总收入将比去年增加万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该农业基地去年种植茶叶m亩，每亩的收入为n万元，根据蔬菜与茶叶所需人手之间的关系结合茶叶平均每亩的收入要比蔬菜平均每亩的收入多万元，即可得出该农业基地去年种植蔬菜亩，每亩的收入为万元，根据（1）的结论，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m值，再求出新增茶叶种植面积及新增的管理茶叶的人数，用其乘即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该农业基地去年种植蔬菜的收入为x万元，种植茶叶的收入为y万元， 根据题意得：，解得：． 答：该农业基地去年种植蔬菜的收入为万元，种植茶叶的收入为万元； 【小问2详解】 解：设该农业基地去年种植茶叶m亩，每亩的收入为n万元，则该农业基地去年种植蔬菜亩，每亩的收入为万元， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，列出二元一次方程组；（2）根据管理人员之间的比例关系找出去年种植蔬菜的面积是种植茶叶面积的倍． 24. 阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； （3）当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可； （2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围； （3）根据当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，可求得， ，从而得到，结合且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解－2，从而可求m的范围． 【小问1详解】 解：3x-5=4， 解得：x=3， 当x=3时， ①， 解得：，故①不符合题意； ②， 解得：x≤3，故②符合题意； ③， 解得， 故不等式组的解集是：，故③符合题意； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：∵是方程组与不等式的“理想解” ∴， 解得， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， ∴， 解得， 由解得． 当时， ∴， 即. ∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， ∴， ∴． ∵满足条件的整数n有且只有一个， ∴ ∴ 解得 ∴， ， ∴此时n恰好有一个整数解-2， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且a，b满足：． （1）求点A，B的坐标； （2）如图1，将AB平移到，使点B的对应点落在x轴的正半轴上，在y轴上有一点P，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，线段AB与y轴交于点M，将AB平移到，连接，，点B的对应点，若，求n的取值范围． 【答案】（1）、 （2）当点P在AB上方时，；当点P在AB下方时， （3） 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质求出a=4，b=2，则可得出答案； （2）①当点P在AB上方时，如图1，过点P作PQ∥AB，②当点P在AB下方时，如图2，过点P作PQ∥AB，由平行线的性质可得出答案； （3）如图3，过点A作AC⊥x轴于C、过点B作BD⊥x轴于点D，过点A'、B'构造矩形A'GEF，设M（0，m），根据S梯形ACDB=S梯形ACOM+S梯形OMDB得出×8×(2+6)＝×（2+m）+×4×（6+m），求出m=4，求出S△A′B′M=2n+16，解不等式组可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：， ∴、； 【小问2详解】 解：①当点P在AB上方时，如图1，过点P作， ∵由平移得： ∴ ∴， ∴ ∴ ②当点P在AB下方时，如图2，过点P作， 同①可证： ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点A、B构造梯形ABDC，过点、构造矩形， 设 ∵ ∴ 解得： 如图3，过点、构造矩形， ∴ ∵ ∴ ∴； 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平方根与绝对值的非负性质、三角形面积计算、平面直角坐标系与点的坐标、平移的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平移的性质、平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $