精品解析：北京市石景山区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

石景山区2024—2025学年第二学期高一期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟． 请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，最小正周期为奇函数是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，则角A的值是（ ） A B. C. 或 D. 或 7. 已知和是夹角为的单位向量，，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在中，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 10. 已知函数，其中，，直线与的图象相交，其中两个相邻交点分别是、，当或时，取最大值为，则（ ） A B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知复数（为虚数单位），则的模为____． 12. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为________；若E为BC边上一点，则四棱锥的体积为________． 13. 在△ABC中，请给出一个值_______，使该三角形有两解. 14. 如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的取值范围为_________. 15. 已知函数，．给出下列三个结论： ①是偶函数； ②的值域是； ③在区间上单调递减；其中，所有正确结论序号是________． 三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，且． （1）求值； （2）若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，求的值． 17. 已知平面向量，满足，，且与的夹角为． （1）求以及； （2）若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，的取值范围为，求m的最大值． 19. 在中，． （1）求A的值； （2）若，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b的值和的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：． （1）若，且，写出所有的β使得； （2）已知集合A满足，且对集合A中任意两个元素α，β都有．设集合A的元素个数为k，求k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石景山区2024—2025学年第二学期高一期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟． 请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】复数，则， 故选：A 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由等价于，即可计算出答案. 【详解】因为， 所以解得：， 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求得结果. 【详解】由诱导公式得 故选：D 4. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可； 【详解】对于A：为偶函数，故A错误； 对于B：的最小正周期为，故B错误； 对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D：，则，故为偶函数，故D错误； 故选：C 5. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移，解方程即可求得结果. 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度， 即可得， 故可得，解得， 又因为，故可得. 故选：A. 【点睛】本题考查由函数图像平移求函数解析式，属基础题. 6. 已知中，，则角A的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，则， 解得：，则或， 因为，所以，所以. 故选：A. 7. 已知和是夹角为的单位向量，，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】， 所以，与的夹角的余弦值为0. 故选：C 8. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由， 得，解得或， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9. 在中，，则形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用半角公式结合正弦定理、两角和的正弦公式化简计算得，根据三角形内角的范围计算可得，即可得出结论. 【详解】由题意，，化简整理得， 根据正弦定理，可得，即， 因为，所以， 则， 又，， 则. 所以的形状为直角三角形. 故选：B. 10. 已知函数，其中，，直线与的图象相交，其中两个相邻交点分别是、，当或时，取最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析得出函数的最大值和最小值，可求得、的值，并得出该函数的最小正周期，求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由已知可得，，且函数的最小正周期为， 则，，， 则，则. 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象或基本性质求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知复数（为虚数单位），则的模为____． 【答案】 【解析】 【详解】，所以． 12. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为________；若E为BC边上一点，则四棱锥的体积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合图形，借助于直角三角形可求的长，利用平面可将四棱锥的体积转化为四棱锥的体积，即可求得. 【详解】 如图，连接，在中，，； 因，平面，平面，则平面， 因E为BC边上一点，故四棱锥的体积即四棱锥的体积， 而， 即四棱锥体积为. 故答案为：；. 13. 在△ABC中，请给出一个值_______，使该三角形有两解. 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，由三角形有两个解，可得且，进而可得答案. 【详解】根据正弦定理得到， 因为三角形有两个解， 且， 即且，可得 所以时，三角形有两个解. 故答案为：3（答案不唯一）. 14. 如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的取值范围为_________. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可. 【详解】 第一空：以A为坐标原点建立直角坐标系，则, 当点沿着边运动时,设，故; 第二个空：当点沿着边运动时，设，； 当点沿着边运动时，设，，因为； 当点沿着边运动时，设，； 综上：的取值范围为. 故答案为：8； 15. 已知函数，．给出下列三个结论： ①是偶函数； ②值域是； ③在区间上单调递减；其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】计算出可判断①，分和两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得值域，即可判断②，当时，，可判断单调性，从而判断上的单调性. 【详解】由题意，，所以是偶函数，故①正确； 当时，， 当时，， 又因为，所以的值域是，故②错误； 当时，，此时， 所以上单调递减，则在区间上单调递减，故③正确. 故答案为：①③. 三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角基本关系式求解； （2）根据三角函数定义求出，，再利用和差角公式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则． 【小问2详解】 角终边过点，则． ，． 所以，． ． 17. 已知平面向量，满足，，且与的夹角为． （1）求以及； （2）若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义求出的值，再运用向量数量积的运算律计算即可； （2）根据平面的基底概念可得与共线，再利用向量共线的充要条件即可求得λ的值. 【小问1详解】 ， 则， 故． 【小问2详解】 因为向量与不能作为平面向量的一组基底， 所以与共线． 则存在实数k，使得， 又因为与不共线，所以，解得， 所以实数的值为． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，的取值范围为，求m的最大值． 【答案】（1），函数的单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式可得，则可求其最小正周期，利用整体代换法可求其单调递增区间； （2）利用整体代换法求出，由的取值范围为，从而可求解. 【小问1详解】 由， 则最小正周期为， 令，因为的单调递增区间是，， 所以，，即，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 当时，， 令，则，所以的取值范围为， 由的性质可知，，解得， 所以的最大值为． 19. 在中，． （1）求A的值； （2）若，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b的值和的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换及特殊角的三角函数值计算可得； （2）依题意求出，利用正弦定理求出边，最后根据计算可得. 【小问1详解】 因为， 即，所以． 因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 若选①：由，，所以． 由正弦定理，即，解得， 又， 所以． 若选②：因为，，． 由正弦定理，即得，因为，所以， 所以，由正弦定理，即，解得． 所以． 20. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：． （1）若，且，写出所有的β使得； （2）已知集合A满足，且对集合A中任意两个元素α，β都有．设集合A的元素个数为k，求k的最大值． 【答案】（1）或 （2）k的最大值为4 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义，结合反证法进行求解即可. 【小问1详解】 设， 所以或． 或． 【小问2详解】 k的最大值为4． 因为，且，，， 则α，β中两个位置上的数相同，剩下的两个位置相反． 设，则． 取，，， 此时满足，，且． 假设存在使得， 则或或． 当时，； 当时，； 当时，． 所以找不到使得均为0，k的最大值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$