26.1.1反比例函数 教学设计2024-2025学年人教版数学九年级下册

26.1.1反比例函数 ——人教版初中数学九年级下册第二十六章第一节 一、教学指导思想 本节课以《义务教育数学课程标准（2022版）》为教学指导思想，强调数学学科在培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力方面的重要作用。通过探究反比例函数的意义、概念及解析式，不仅传授数学知识，更注重培养学生的数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析能力。在教学过程中，注重数学教学的规律性和学生成长的规律性，激发学生的学习兴趣，通过自主探究、合作交流等方式，让学生在探索中发现问题、解决问题，体验数学的乐趣和价值。 二、内容分析 本节课来自人教版初中数学九年级下册第二十六章第一节第一课时，“反比例函数”是初中数学函数部分的重要知识点，它立足于学生素养的提升，通过探究反比例函数的意义、表达形式及其在实际生活中的应用，帮助学生深入理解函数的基本概念，掌握反比例函数解析式的特点和求法。本节课将引导学生从实际情境出发，通过观察、比较、归纳等数学活动，抽象出反比例函数的概念，并理解其自变量和函数值的取值范围。同时，通过待定系数法的学习和实践，学生将掌握求反比例函数解析式的方法，进一步加深对反比例函数的理解和应用能力，体会函数模型的思想方法，提升几何直观和逻辑推理能力，同时凝练出通过实际问题抽象出数学模型的育人价值。 三、学情分析 学生已具备的知识与经验：学生在学习本节课之前，已经掌握了正比例函数、一次函数和二次函数的基本概念和性质，具备了一定的函数图象绘制能力和函数值计算能力。他们能够理解函数的概念，知道函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，并且能够通过列表、描点、连线等方法绘制简单函数的图象。然而，对于反比例函数这一新的函数类型，学生可能还比较陌生，需要从实际情境出发，逐步引导其理解反比例函数的意义和性质。学生在生活中可能已经遇到过一些与反比例关系相关的实例，如速度与时间的关系（在路程一定的情况下）、面积与边长的关系（在面积一定的情况下）等，在物理课程学习中接触了成反比关系的物理量，然而，他们可能还没有将这些实际经验与数学知识相结合，形成反比例函数的概念。 学生存在的困难与学习心理：学生可能难以理解反比例函数中自变量不能为零的限制，以及函数值随自变量变化的规律；学生可能不熟悉待定系数法的步骤和应用，导致在求解过程中出现错误；学生可能缺乏将实际问题转化为数学问题的能力，难以建立有效的数学模型；可能对新的函数类型感到陌生和困惑，在面对较为抽象的数学概念和复杂的实际问题时，学生可能存在畏难情绪。 四、教学目标 1.从实际情境和已有知识经验出发，理解并掌握反比例函数的意义及概念。 2.能够用待定系数法求出反比例函数的解析式。 3.在小组合作中，积累数学经验，感受函数学习的基本思路和数学思想。 五、教学重难点 重点：掌握反比例函数解析式的特点，能用待定系数法求出反比例函数解析式。 难点：能体会反比例函数的意义，感受函数学习基本思路与数学思想。 六、教学过程设计 （一）回顾旧知 问题1：x-n= 问题2：什么是函数？ 问题3：目前学过哪些函数？ 问题4：学过的函数都研究了哪些内容？ 设计意图：回顾负整数指数幂的运算，为反比例函数y=kx-1的表达形式做铺垫，回顾函数的概念和学过的函数的，感受学习函数的基本思路和研究内容，渗透类比数学思想。 （二）引入新课 老师想趁周末去趟乌鲁木齐，在手机上购票，发现了如图信息，同学们发现了什么？为什么目的地一样，用的时间不一样呢？像这样在路程一定的前提下，平均速度v与运行时间t成反比例关系，从函数的角度看，可表示为（s为常数），这就是本章要研究的反比例函数，类比之前学习函数的方法，本节课我们先来研究反比例函数的定义。 设计意图：由生活实际引入，让学生体会数学来源于生活并服务于生活，将实际问题转化为数学问题，从而培养学生会用数学的眼光观察现实世界，进而会用数学的思维思考现实世界，最终达到会用数学的语言表达现实世界。 （三）探究新知 探究1：反比例函数的概念 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. （1）京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化； （3）已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. 问题1：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题2：你能根据特点给出此类函数的定义及其一般形式吗？ 问题3：反比例函数中自变量x和函数y的取值范围分别是什么？ 问题4：反比例函数的解析式还可以有其他形式吗？ 问题5：你能举出一些生活中有关反比例函数的例子吗？ 设计意图：通过小组合作自主探究反比例函数的定义、表达形式、自变量取值范围，使学生感受反比例函数的基本特征，发展学生用数学语言描述反比例函数的能力，进一步体会建模思想。 针对训练：下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是反比例函数请指出k的值。 当m= 时，是反比例函数. 归纳：反比例函数的表达形式 设计意图：通过针对训练进一步巩固反比例函数的定义，熟练辨别反比例函数的形式。 探究2：求反比例函数的解析式 例：已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 设计意图：本题为书上例题，学生通过回顾一次函数、二次函数求解析式的方法，归纳出用待定系数法求函数解析式的步骤，自主完成，规范解题步骤，进一步熟悉函数值的求法。 （四）当堂检测 1.下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A. B. C. D. 2.填空 (1) 若是反比例函数，则 m 的取值范围是 . 若是反比例函数，则 m 的取值范围是 . 已知函数是反比例函数，求 m 的值. 设计意图：考查考查反比例函数的基本表达形式，以及不同表达方式的结构特征. 3.已知变量 y 与 x2成反比例，且当 x = 3时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；(2) 当 y = 6 时，求 x 的值. 设计意图：本题为教材第3页练习，一方面提示学生关注教材，一方面渗透整体的数学思想，在例题的基础上熟悉已知函数值求自变量的值. 4.如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. 设计意图：体会在几何图形中蕴含的反比例函数，感受数学知识间的相互联系，体会数形结合思想. 能力提升：已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：(1) y 关于 x 的函数关系式；(2) 当 x =时，求 y 的值. 设计意图：进行拔高训练，培养学生分析问题、解答问题的能力，提升函数知识的综合运用能力。 （五）课堂小结 说一说本节课你有什么收获？ 设计意图：学生从反比例函数的定义、表达形式和用待定系数法求反比例函数解析式方面进行小结，体会函数学习的思想方法，感受类比的数学思想。 （六）作业 必做题：教材第3页练习1.2.3，举出生活中有关反比例函数的例子 选做题：试着画出反比例函数的图象 （七）板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$