19.2.2一次函数的图 象与性质 教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2.2 一次函数的图象与性质 ——人教版初中数学八年级下册第十九章第二节 一、教学指导思想 本节课以《义务教育数学课程标准（2022版）》为教学指导思想，新课程标准强调了数学在培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力方面的重要作用。通过探究一次函数的图象与性质，不仅传授数学知识，更注重培养学生的数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析能力。在教学过程中，注重数学教学的规律性和学生成长的规律性，激发学生的学习兴趣，通过自主探究、合作交流等方式，让学生在探索中发现问题、解决问题，体验数学的乐趣和价值。 二、内容分析 本节课来自人教版初中数学八年级下册第十九章第二节第二课时，“一次函数的图象与性质”是初中数学函数部分的重要知识点，符合课程标准的要求。它立足于学生素养的提升，通过探究一次函数的图象特征、性质及其与正比例函数的关系，帮助学生深入理解函数的基本概念，掌握函数图象的绘制方法和函数性质的理解方法。本节课的核心教学内容是一次函数的图象是一条直线，以及k的正负对函数增减性的影响。通过这一内容的学习，学生能够进一步体会数形结合的思想方法，提升几何直观和逻辑推理能力，同时凝练出通过图象理解函数性质的育人价值。 三、学情分析 学生已具备的知识与经验：学生在学习本节课之前，已经掌握了正比例函数的基本概念和性质，在生活中有一定的函数应用经验，具备了一定的函数图象绘制能力,他们能够理解正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条过原点的直线，以及k的正负对函数增减性的影响。 学生存在的困难与学习心理：对于一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与性质，学生可能存在一定的困惑。特别是如何从图象角度理解一次函数的增减性，以及如何将图象特征转化为变量的对应关系和变化规律，在学习过程中，学生可能还存在畏难情绪，特别是面对较为抽象的数学概念和复杂的图象分析时。 四、教学目标 1.会画一次函数的图象，能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系； 2.能根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)理解k>0和k<0时图象的变化情况，理解一次函数的增减性，体会数形结合思想。 五、教学重难点 重点：一次函数的图象与性质。 难点：以坐标为中介，把函数图象特征解释成变量的对应关系和变化规律。 六、教学过程设计 （一）回顾旧知 小游戏引入：将属于函数y=3x和函数y=-7x的性质选出来。 设计意图：激发学生的学习兴趣，回顾正比例函数相关的性质。 问题1：刚才的两个函数都是什么函数？说一说正比例函数y=kx（k≠0)的性质，是怎样获得这些性质的？ 设计意图：回顾正比例函数性质及其研究方法，为在研究一次函数图象和性质中进行类比提供参照对象。 问题2：写出两个一次函数解析式，回顾什么叫一次函数？ 设计意图：回顾一次函数概念，开放性地让学生写几个一次函数解析式，既是为了帮助学生回顾一次函数的概念，也是为了后面研究函数性质提供具体函数。 问题3：针对函数y=kx+b（k≠0)，大家想研究什么？应该怎样研究？ 设计意图：通过回顾和比较正比例函数的性质及其研究过程，引导学生提出一次函数的研究任务和研究方法，即：要研究的问题——研究函数的增减性，研究步骤：画图象——观察图象——解释变量（坐标）意义。 我们本节课就类比研究正比例函数的方法一起来研究一次函数的图象和性质，出示教学目标。 （二）探究新知 探究1：画出函数y=2x与y=2x+3的图象。 x y=2x y=2x+3 问题1：怎样画函数图象？ 设计意图：回顾画函数图象的步骤：列表、描点、连线，画出一次函数的图象。 问题2：看一看，画出的图象是什么？ 问题3：为什么画出的图象是一条直线？能说明理由吗？ 类比正比例函数y=2x的图象是一条直线，直观发现函数y=2x+3的图象是平行于直线y=2x的一条直线，通过观察两个解析式，发现规律：当X取相同值时，一次函数y=2x+3的函数值都比正比例函数y=2x的函数值对应地大3，反映出将直线y=2x向上平移3个单位长度就得到函数y=2x+3的图象，所以函数y=2x+3的图象确实是一条直线。 小组交流：比较上面两个函数的图象的相同点与不同点。 相同点：两个函数的图象形状 ，并且倾斜程度 。 不同点：函数y=2x的图象经过原点，函数y=2x+3的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=2x 平移 而得到的。 设计意图：让学生先按照研究正比例函数的方法用描点法画y=2x+3的图象，直观观察、发现图象可能是直线，通过回顾正比例函数图象也是直线，让学生自然、合理地想到需要与正比例函数y=2x的图象进行比较，从表达式和图象两方面分析两个图象之间的关系。 教师演示y=2x，y=2x+3，y=2x+5的图象，同时提出问题：猜想函数y=2x-3可以如何得到呢？演示y=2x-3，y=2x-5，y=2x-8的图象。 设计意图：通过演示，学生直观观察出b值改变对函数图象的影响。 问题4：对于一般的一次函数y=kx+b，它的图象是什么？ 小组交流：联系结果，说一说一次函数y=kx+b(k≠0）的图象是什么形状，它与直线y=kx(k≠0）有什么关系。 归纳：一次函数y = kx+b (k≠0)的图象可以由直线y = kx平移│b│个单位长度得到.当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向下平移.一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象也是一条直线. 设计意图：把研究一次函数y=2x+3图象形状得到的结论推广到一般的一次函数。 问题5：既然一次函数的图象是一条直线，在几何中直线是怎样确定的？由此，能得到画一次函数图象的简便方法吗？ 正比例函数两点法做函数图象选取（0,0）和（1，k），一次函数两点法画函数图象取（0，b）和（1，k+b）。 探究2：用简便方法分别在同一坐标系中画出下列一次函数的图象。 x y=x+1 y=-x+1 y=2x+1 y=-2x+1 设计意图：通过类比正比例函数的图象性质的研究方法，引导学生先画出若干个一次函数的图象，同时巩固两点法画一次函数图象。 问题6：结合对上面函数图象的观察，能用自己的语言说出一次函数y = kx+b图象特征吗？能进一步说出函数值怎样随着自变量x的变化而变化吗？ 思考并交流：一次函数解析式y = kx+b (k,b是常数，k≠0)中，k的正负对函数有什么影响？ 白板演示：当固定b值时，k＞0，函数图象从左到右是上升的，即y随x的增大而增大；k＜0时，函数图象从左到右变成下降的，此时y随x的增大而减小，当固定k的值时，让b的值变化，如前面演示的y=2x+3，y=2x+5，y=2x-3，y=2x-5，y=2x-8这几个函数图象，发现函数的增减性不变，从而直观上验证一次函数的增减性只与k的正负有关。 设计意图：先让学生用简便方法两点法画出四个具有典型性的具体函数图象，然后通过观察、比较、归纳，概括出一次函数的性质，用函数工具画出不同函数，便于学生更深刻的理解增减性与系数k的关系。 归纳：当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，y随x的增大而减小。 利用图表进行归纳，区别一次函数解析式y=kx+b中k与b分别对函数图象的影响。 学生以小组为单位，说出自己课前写出的一次函数解析式，其他组同学说出这个函数是如何由正比例函数平移得到的，增减性，图象经过哪些象限。 针对训练：1.判断下列图象的k与b的情况 2.判断对错 （1）正比例函数是一次函数 （ ） （2）函数y=3x+1的图象,y随x的增大而增大 （ ） （3）y=2x-1是一次函数 （ ） （4）函数y=-4x+3的图象,y随x的增大而增大 （ ） （5）函数y=-2x-4的图象与y轴正半轴相交 （ ） （6）函数y=-3x+1的图象与y轴正半轴相交 （ ） （7）函数y=x+1的图象经过一、二、三象限 （ ） （8）点（1,2）在直线y=x+1上 （ ） （9）函数y=-x+1的图象经过二、三、四象限 （ ） （10）一次函数是正比例函数 （ ） （11）直线y=3x+1从左到右下降 （ ） （12）直线y=-5x+2从左到右下降 （ ） 设计意图：及时巩固一次函数的图象和性质。 （三）当堂检测 1.要由直线y=-3x得到直线y=-3x+1,就要将直线y=-3x（ ） A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 2.直线y=5x向下平移2个单位得到直线 。 3.直线y=-x-4向上平移5个单位得到直线 。 设计意图：考查一次函数图象与正比例函数图象的关系。 4.直线y=5x-4与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标 ，图象经过 象限，y随x的增大而 。 设计意图：考查一次函数的图象与坐标轴交点坐标和性质。 5.若一次函数 y=（k-2）x+1的函数值 y 随 x 的增大而减小，则k的取值范围是 。 6.若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= 。 设计意图：考查一次函数图象位置与k,b符号之间的关系。 7.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，y1-y2 0(填“>”或“<”). 设计意图：考查一次函数图象增减性。 能力提升：已知一次函数y=（3a-2）x+（1-b），求字母a，b的取值范围，使得该函数分别满足以下条件：（1）y随x的增大而增大；（2）函数的图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）函数的图象经过第一、二、四象限。 设计意图：综合考查一次函数的图象与增减性，以及数形结合思想。 （四）课堂小结 说一说本节课你有什么收获？ 设计意图：学生从一次函数的图象是一条直线，与正比例函数之间的关系，两点法简便画一次函数的图象，一次函数的性质，研究一次函数的方法等方面回顾本节课内容，体会数形结合思想、类比方法等数学方法，培养几何直观。 （五）作业设计 必做题：教材98页习题19.2第4,5题，画出本节课思维导图 选做题：教材100页拓广探索第14题 （六）板书设计 19.2.2 一次函数的图象与性质 学科网（北京）股份有限公司 $$