14.2三角形全等的判定（第1课时 “边角边（SAS）”定理）（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册

14.2 全等三角形的判定 第一课时 “边角边” 定理 第十四章 全等三角形 人教版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解“边角边”的内容，会运用“SAS”证明三角形全等，掌握简单的证明格式。 经历探索三角形全等条件的过程，体会操作、�归纳获得数学结论的过程 引导学生以动手操作，实践活动为主，从而主观的了解三角形全等需要的条件，在活动中让学生体验到数学动手得出结论的喜悦之情。 知识回顾 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 2.全等三角形形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 3.平移、翻折、旋转前后的图形全等. 4.把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 5全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.记两个三角形全等时，对应的顶点放在对应的位置上. 6.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 全等形的主要知识点 探究点1 三角形全等条件探索 A B C D E F ①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 2.如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC ≌△ DEF吗？ 议一议 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 反之 两个三角形需要满足什么条件才是全等全等三角形？ 1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？ 导入新课 F D E F D E C A B （1）画△ABC与△DEF，使AB=DE=3cm，这两个三角形全等吗？ 只给一个条件 ①只给一条边时； ②只给一个角时； 3cm 3cm 45◦ 45◦ 结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 做一做 探究点1 三角形全等条件探索 （2）画△ABC与△DEF，使∠CAB= ∠ FDE，这两个三角形全等吗？ C A B 新知探究 探究点1 三角形全等条件探索 只给2个条件 ①两边； ③两角. ②一边一角； F D E C A B 5cm 5cm 3cm 3cm 3cm 3cm 45◦ 45◦ C A B F D E 45◦ 45◦ 60◦ 60◦ C A B F D E 结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等. 结论:一边一角对应相等的两个三角形不一定全等. 结论:两角对应相等的两个三角形不一定全等. 通过画图容易举出△ABC和△A'B'C'不全等的例子，因此满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A'B'C'不一定全等. A′ B′ C′ 新知探究 探究点2 三角形全等条件“边角边” 满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC与△A'B'C'全等吗? 议一议 如图14.2-2，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A′B′C′与△ABC 中： 如果∠A′= ∠ A，A′B′=AB，A′C′=AC，那么△A′B′C′≌△ABC.这个判断正确吗? A′ B′ C′ A B C △A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A′B′C′与△ABC能够完全重合， △A'B'C'≌△ABC. 新知探究 探究点2 三角形全等条件“边角边” 在△ABC 和△ DEF中， ∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）． 文字语言： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边”判定方法 几何语言： A B C D E F 必须是两边“夹角” AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， ∵ 典例解析 例1、在下列三角形中,哪两个三角形全等? 40° 4 4 30° 4 4 4 5 30° 4 5 30° 4 6 40° 4 6 40° ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 解:全等的三角形有:⑴和⑷, ⑶和⑸. “边角边”的条件 分析： 1、两三角形中有两边对应相等 ⑴和⑷ ⑶和⑸ ⑵和⑹ 探究点2 三角形全等条件“边角边” 2、相等的两边夹角相等 例2 如图14.2-4，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C= ∠ D. 典例解析 如果能证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C=∠D. 分析: C A B D 图14.2-4 1 2 AB平分∠CAD ∠1=∠2 已知：AC=AD 公共边：AB=AB △ABC与△ABD具备“边角边”的条件 证明:∵AB平分∠CAD， ∴.∠1=∠2 在△ABC 和△ABD中, 在△ABC 和△ABD中,AB 既是△ABC的边又是△ABD的边，我们称它为这两个三角形的公共边. AC=AD AB=AB ∠1=∠2 ∴△ABC≌△ABD (SAS) ∴∠C= ∠ D. 公共边. 由题意可知： ∵ 若条件不变， （1）AB平分∠CBA成立吗？ （2）CB=DB成立吗？ 议一议 如图，AC=AD，若AB平分∠CBD，那么∠C= ∠ D还能成立吗？ C A B D 议一议 AB平分∠CBD ∠1=∠2 已 知：AC=AD 公共边：AB=AB 由题意可知： 证明△ABC≌△ABD，如果能，就可以得出∠C=∠D. 1 2 △ABC与△ABD满足的条件： 有两边及一边的对角对应相等 △ABC≌△ABD？ 新知探究 探究点3 “边边角” 的探究 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？ B A C D △ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD, ∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等. 新知探究 探究点3 “边边角” 的探究 新知探究 探究点3 “边边角” 的探究 做一做 以3cm，5cm为三角形的两边，长度为3cm的边所对的角为30°画一个三角形，你发现了什么？ 30° 5cm C A B 1、作∠EDF=30° D E F 3cm 3cm 2、在射线DE上量DA=5cm 3、以A为端点画线段AB=AC=3cm,交射线DB于B,C △ADC与△ADB两边以及其中一边的对角对应相等，但很明显这两个三角形不全等 结论：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等. “边边角”不能判定量三角形全等 典例解析 例3、如图,点A,C,B,D在同一条直线上，BE // DF，BE=DC,AB=FD.求证:∠A=∠F. A C B D F E 分析： 看已知 BE=DC AB=FD 看需知：夹角相等 ∠ABE=∠CDF ∠A=∠F 需要证明△ABE≌△FDC BE // DF 证明: ∵BE // DF ∴∠ABE=∠CDF （两直线平行，同位角相等） BE=DC AB=FD ABE=∠CDF ∴△ABC≌△ABD (SAS) ∴ ∠A=∠F. ∵ △ABE与△FDC具备“边角边”的条件 在△ABE和△FDC中, 准备条件 指明范围 摆齐根据 写出结论 拓展提升 1、如图,在△ABC中,AC=7,中线AD=9,则AB边的取值范围是( ) A.4<AB<18 B.6<AB<18 C.11<AB<25 D.12<AB<25 A B C D E 解析: 延长AD至点E,使DE=AD=9，连接CE, 在△ABD 和△ECD中 AD=ED， ∠ADB=∠EDC，(对顶角相等) BD=CD， ∵ ∴△ABD≌△ECD(SAS) ∴AB=EC（全等三角形对应边相等） ∵AE-AC<EC<AE+AC（三角形的三边关系定理） 即11<EC<25. ∴11<AB<25. C 中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常需要添加辅助线，将中线延长一倍，以便构造出全等三角形. 点拨 拓展提升 2、如图 ，点A,F,C,D在同一条直线上，点B和点E分别在直线AD 的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC. 求证:BC // EF. A C B D F E 分析： 看已知 AB=DE AF=CD 看需知：角的另一边对应相等 AC=DF △ABC与△FDE具备“边角边”的条件 BC // EF 由结论看需知 ∠BCA=∠EDF △ABC≌△FDE ∠A=∠D 证明: ∵AF=DC ∴AF＋FC=DC ＋FC 即AC=DF AB=DE AF=DC ∠A=∠D ∴△ABE≌△FDC (SAS) ∴ ∠BCA=∠EDF ∴ BC // EF ∵ 在△ABC和△FDE中, 寻找对应相等的边： 公共边、中点或中线、 通过计算（同加或同减）、 做辅助线（构造公共边等） 方法总结 全等三角形判定条件的寻找 寻找对应相等的角： 公共角、角平分线平分角、 直角或垂直（90°）、 平行线性质、 通过计算（同加或同减） (1)全等条件要按顺序排列; (2)同一个三角形的三个条件要放在等号同一侧; (3)两三角形对应顶点的字母要一一对应. 书写三角形全等的条件的注意事项 真题感知 1、（2024·贵州遵义·三模）如图，点D，E分别在上，，，相交于点O． 求证：． 小刚同学的证明过程如下： 证明：在和中， …第一步 ∴…第二步 ∴…第三步 (1)小刚同学的证明过程中，第______步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 一 （2）证明： ∵，， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴． 真题感知 2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于， ，．求证：． 证明：∵， ， ∴， 在中 ∵ ∴ ∴． 1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？ ∵ 新知巩固 教材P34练习 填一填 证明：在和中， ∴ ∴____________ 新知巩固 教材P34练习 2.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC， ∠B=∠C，求证： ∠A=∠D 证明：∵BE=CF ∴BE+EF=CF+FE ∴BF=CE 在△ABF和△DCE中， BF=CE ∠B=∠C AB=DC ∴△BAD≌△BAC (SAS) ∴∠A=∠D ∵ 课堂小结 边角边 内容 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1.已知两边，必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论. 证明的书写步骤： 主要内容： 课后练习 2.已知：如图，AB =AC， AD = AE .求证： ∠B =∠C B E A A C D O 教材P43 证明: 在△ABE 和△ACD 中， AB = AC（已知）， AE = AD（已知）， ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ ABE ≌ △ ACD（SAS）. ∴∠B =∠C ∵ 3.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)。在图中，要测量工件内槽宽AB，只需要测量哪些量?为什么? 解：只需要测量A′B′的长，理由如下： 证明：在△A0B 和△ A′0B ′中， ∴ △A0B △ A′0B ′ （SAS）， ∴AB = A′B′ （全等三角形的对应边相等）. OA=OA′（中点定义）， ∠ A0B =∠ A′0B ′ （对顶角相等）， OB=OB′（中点定义） ， 由题意得：OA=OA′,OB=OB′ 课后练习 教材P43 感谢聆听! $$