专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 3 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 4 【题型5 直线的一般式方程】 5 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 6 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 6 【题型8 直线的方向向量的求解】 8 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 8 知识点1 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·江西·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·河北沧州·期中）过点，且在轴上的截距为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知直线斜率为，在轴上的截距为，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点2 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·广东·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（24-25高二上·河南许昌·期中）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式4-3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线l过点且在两坐标轴上的截距的乘积是18，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 知识点3 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【变式5-3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 【变式6-1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式7-3】（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 知识点4 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（24-25高二上·山西·阶段练习）已知直线方程的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·广东深圳·期中）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·广西·期中）已知直线过原点且与直线垂直，求直线一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 【例9】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·四川成都·期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）过点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 3 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 5 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 6 【题型5 直线的一般式方程】 9 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 11 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 12 【题型8 直线的方向向量的求解】 16 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 17 知识点1 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项. 【解答过程】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为， 又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：， 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得. 【解答过程】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据倾斜角可得斜率，即可根据点斜式求解方程. 【解答过程】直线倾斜角为，斜率，直线点斜式方程为． 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二上·江西·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由点斜式直接写出直线方程. 【解答过程】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，即． 故选：A． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线倾斜角得斜率，利用过点可得直线的斜截式方程. 【解答过程】∵直线的倾斜角30°，∴直线的斜率， ∵直线过点，∴直线的斜截式方程为. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二上·河北沧州·期中）过点，且在轴上的截距为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件设出直线的斜截式方程，联立方程组即可解得. 【解答过程】显然斜率存在，可设直线方程为， 则，所以， 所以直线方程为，即. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知直线斜率为，在轴上的截距为，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由斜截式直接求直线方程即可. 【解答过程】由直线斜率为，在轴上的截距为，即，， 则直线方程为：，即， 故选：D. 知识点2 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线的两点式方程求解即可； 【解答过程】由题意得，整理得． 故选：A． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【解答过程】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【解答过程】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】确定边的中点坐标，及的形状，再由边的垂直平分线过两点，然后根据两点式计算方程即可. 【解答过程】因为边的中点为且， 所以为等腰直角三角形． 所以边的垂直平分线过， 故由两点式方程得， 即． 故选：B. 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·广东·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解. 【解答过程】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为， 代入点，得， 解得， 则直线方程为，即， 综上所述直线方程为或， 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】当直线过原点时，可求得直线斜率，进而得到直线方程.当直线不过原点时，设直线的截距式方程，代入点坐标可得结果. 【解答过程】当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，整理得. 当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，，解得，直线方程为，整理得. 综上得，直线的方程为或. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·河南许昌·期中）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】按相等的截距是否为0分类，再结合直线方程的截距式求解. 【解答过程】当相等的截距都为0 时，直线方程为，即； 当相等的截距不为0时，设方程为，则，解得，方程为， 所以所求直线的方程为或. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线l过点且在两坐标轴上的截距的乘积是18，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】设出直线的截距式方程，利用直线过点和截距的乘积列方程组，解方程组求得直线的方程. 【解答过程】设直线的方程为，则，解得或， 故所求直线方程为或. 故选：D. 知识点3 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程，最后化为一般式. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线方程为，整理得. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由直线的斜截式方程直接写出，化为一般式方程即可. 【解答过程】由斜截式方程得直线的方程为，即一般式方程为． 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 【变式5-3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【解题思路】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【解答过程】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【解题思路】根据一般方程与直线方程的斜截式互化可得结果. 【解答过程】由直线可化为， 因此可得，. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】将直线的方程化为斜截式，即可根据斜率和截距的正负求解. 【解答过程】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，故， 故直线经过第一象限､第三象限､第四象限， 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【解答过程】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先将直线化为斜截式，从而得到关于的不等式组，由此得解. 【解答过程】直线方程可化为，因为直线不经过第一象限， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【解答过程】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论. 【解答过程】由题可知，直线的斜率存在且不为0， 故，即且， 令，得；令，得；即， 所以，所以， 则或，解得或， 故解得的实数m的解有4个. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式7-3】（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)的周长为，直线的方程 【解题思路】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【解答过程】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 知识点4 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（24-25高二上·山西·阶段练习）已知直线方程的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由直线方程得到直线的斜率，从而求得其方向向量，由此得解. 【解答过程】因为直线方程可化为，其斜率为， 所以该直线的一个方向向量为. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·广东深圳·期中）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案. 【解答过程】由，得，所以直线的斜率为， 又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为， 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二上·广西·期中）已知直线过原点且与直线垂直，求直线一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由垂直关系求出直线的方程，从而确定其方向向量. 【解答过程】由题可知，直线过原点与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为=0， 故其中一个方向向量. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出直线的斜率，进而求出的方向向量. 【解答过程】依题意，直线l的斜率为，所以直线的方向向量可以取为. 故选：A. 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 【例9】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线的方向向量坐标可求出直线斜率，利用点斜式方程即得直线方程. 【解答过程】因直线的方向向量为，故其斜率为，又直线过点， 故其方程为：，即. 故选：A. 【变式9-1】（24-25高二上·四川成都·期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程. 【解答过程】因直线的方向向量为，则直线的斜率 于是直线的方程为，即. 故选:A. 【变式9-2】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）过点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 故选：B. 【变式9-3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为，则设直线为，再将代入求出，从而可得直线方程. 【解答过程】方法一：∵直线的一个方向向量为，∴， ∴直线的方程为，即． 方法二：由题意知直线的一个法向量为， ∴直线的方程可设为，将点代入得， 故所求直线的方程为． 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$