专题2.2 基本不等式（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题2.2 基本不等式（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 2 【题型2 由基本不等式比较大小】 2 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 3 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 4 【题型5 条件等式求最值】 5 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 6 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 6 【题型8 基本不等式的有解问题】 7 【题型9 基本不等式的实际应用】 7 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【变式1-2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【变式1-3】（24-25高一上·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【变式2-3】（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【变式3-3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则的最小值为（   ） A．9 B．6 C．5 D．4 【变式4-1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式4-2】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【变式4-3】（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【变式5-1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【变式5-2】（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【变式5-3】（24-25高一上·四川巴中·期中）已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【变式6-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【变式6-2】（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（24-25高一上·江西·阶段练习）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【变式7-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式7-3】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【题型8 基本不等式的有解问题】 【例8】（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【变式8-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式8-3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型9 基本不等式的实际应用】 【例9】（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【变式9-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 【变式9-2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【变式9-3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 基本不等式（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 2 【题型2 由基本不等式比较大小】 4 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 5 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 8 【题型5 条件等式求最值】 10 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 12 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 14 【题型8 基本不等式的有解问题】 17 【题型9 基本不等式的实际应用】 19 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【解答过程】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解. 【解答过程】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【解答过程】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可 【解答过程】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C. 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【解答过程】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【解答过程】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【解题思路】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【解答过程】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：C. 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可. 【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得，再利用基本不等式判断各个选项. 【解答过程】由， 因为为不相等的正实数，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确． 故选：C． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解答过程】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【变式3-3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则的最小值为（   ） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式即可求得结果. 【解答过程】因为，所以， 则， 当且仅当，解得：（舍）或时，等号成立. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】当时，，函数， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为2. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）4；（2） 【解题思路】（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【变式4-3】（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 【答案】（1）1；（2）6． 【解题思路】（1）由基本不等式求积的最大值； （2）运用常数分离法将所求式化简，利用基本不等式求和的最小值． 【解答过程】（1）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． （2）当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6． 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【解题思路】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【解答过程】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【解答过程】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值； （2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 【变式5-3】（24-25高一上·四川巴中·期中）已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可； （2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得. 【解答过程】（1）由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. （2）由， 得，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【解题思路】利用乘“1”法即可求出最值. 【解答过程】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【解题思路】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【解题思路】由乘“1”法利用基本不等式即可求解. 【解答过程】，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9. 故选：B. 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（24-25高一上·江西·阶段练习）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式的乘“1”法求解的最小值，即可将问题转化为，解一元二次不等式即可. 【解答过程】依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得． 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 【变式7-3】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 【题型8 基本不等式的有解问题】 【例8】（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【解答过程】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【答案】A 【解题思路】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解答过程】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【解答过程】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 【变式8-3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案. 【解答过程】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C. 【题型9 基本不等式的实际应用】 【例9】（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【解题思路】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果. 【解答过程】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 【答案】C 【解题思路】设一条直角边为，由面积和勾股定理求出另外两条边，再结合基本不等式求周长最小值即可； 【解答过程】设一条直角边为，由于面积为1，所以另一条直角边为， 所以斜边长为， 所以周长为， 当且仅当且，即时取等号， 所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m， 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【答案】(1)育苗区的长为，宽为； (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式求解和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 【变式9-3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 【答案】(1)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 【解题思路】（1）先由题意得，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积S的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此时的值. 【解答过程】（1）由题得即，， 设每间虎笼面积为S，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以即， 所以每间虎笼的长、宽时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. （2）由题意可得， 设钢筋网总长为l，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$