19.1.1变量与函数 教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.1.1变量与函数 ——人教版初中数学八年级下册第十九章第一节 一、教学指导思想 本节课以《义务教育数学课程标准（2022版）》为教学指导思想，强调以学生为中心，注重数学与实际生活的联系，通过探究式学习，引导学生理解变量与常量的概念，为后续学习函数打下坚实基础。新课程标准要求培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，本课通过具体问题情境，让学生在观察、分析、归纳中体验数学知识的形成过程，体会数学在解决实际问题中的重要作用。 二、内容分析 本节课来自人教版初中数学八年级下册第十九章第一节，本课是函数的起始课，函数作为刻画运动变化现象的重要数学模型，其核心在于理解变化过程中量的变化规律。本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，为学生理解函数的定义作了铺垫。这些问题不仅涵盖了行程、销售、几何等多个领域，而且都体现了变量之间相互依赖的变化关系，是学生学习函数概念的宝贵素材。 三、学情分析 学生已具备的知识与经验：学生已经掌握了基本的算术运算和代数表达式，能够处理简单的数量关系。学生对“变化”这一概念有一定的直观认识，但尚未从数学角度深入理解变化过程中量的变化规律。学生在日常生活中经常遇到各种变化现象，如气温随时间变化、身高随年龄增长等，这些经验为理解变量与常量的概念提供了丰富的感性材料。学生可能已经注意到某些量在特定条件下保持不变，而另一些量则随条件变化而变化，但尚未形成系统的数学概念。 学生存在的困难：学生可能难以从运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化关系，存在理解困难。 四、教学目标 1.能够通过分析实际问题中的数量关系，找出变量之间的依赖关系，能够准确理解常量与变量的定义，并能够在具体情境中识别出变量与常量，了解常量、变量的意义； 2.通过观察、分析、归纳等数学活动，学生能够体验从实际问题中抽象出数学概念的过程，充分体会运动变化过程中量的变化，培养数学抽象和逻辑推理能力。 五、教学重难点 重点：能找出一个变化过程中的变量与常量． 难点：体会运动变化过程中量的变化． 六、教学过程设计 1．情境引入　 观看视频，感受我们生活在一个变化的世界，整个世界，整个宇宙，每一分每一秒都是瞬息万变的，可谓万物皆变，行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化，身高随年龄而变化……在我们周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。我们发现，在各种各样的变化过程中往往蕴含着量的变化，为了研究这些变量间的依赖关系，描述运动变化规律数学中逐渐形成了函数的概念，人们通过研究函数及其性质，更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律，进而利用运动变化规律． 函数的种类有很多种，比如一次函数、正比例函数、二次函数、三角函数、反比例函数……我们将从最基本的一次函数开始研究，结合它的图像讨论它的性质，并利用它研究一些数学问题和实际问题，感受函数在解决运动变化问题中的重要作用，今天来认识两个新朋友——变量与常量。 设计意图：通过引言教学，提出本节课需要研究的问题，合理地引起学生注意，为更好的理解函数的概念做铺垫． 2．合作探究，形成概念 【问题1】汽车以60 km/h的速度匀速行驶． 行驶路程为s km/h，行驶时间为t h． 填写下表：（1）s的值随t的值的变化而变化吗？ t/h 1 2 3 4 5 s/km 　 　 　 　 　 （2） 在这个变化过程中，还涉及哪些量？ （3） 数值发生变化的量是： 数值始终不变的量是： 师生活动：教师与学生一起通过计算填表，并分析问题（1）中出现的三个量，发现其中有些量的数值是变化的，如时间t，路程s；有些量的数值是始终不变的，如速度60km/h． 设计意图：在常见的“行程问题”中，引导学生从“变与不变”的角度观察速度、时间、路程三个量，可以较为自然地引导学生对三个量进行分类． 【问题2】电影票的售价为10元/张． 第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元. （1） y的值随x的值的变化而变化吗？ （2） 在这个变化过程中，还涉及哪些量？ （3）数值发生变化的量是？数值始终不变的量是？ 【问题3】圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？ （1） S的值随r的值的变化而变化吗？ （2）在这个变化过程中，还涉及哪些量？ （3）数值发生变化的量是？数值始终不变的量是？ 【问题4】用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多少？ （1） y的值随x的值的变化而变化吗？ （2）在这个变化过程中，还涉及哪些量？ （3）数值发生变化的量是？数值始终不变的量是？ 师生活动：学生继续分析问题（2）（3）（4）中的量并分类，领会“变量”、“常量”的含义．发现在同一个变化过程中，始终保持不变的量为常量，而数值发生变化的量为变量． 设计意图：有前述的示范引导，让学生自主探究“销售问题”、“几何问题”中的常量与变量，通过探索简单实例中的的数量关系和变化规律，深刻体会变量与常量的含义． 【想一想】对于上述四个问题，你发现了哪些共同特点？ 学生思考并回答：（1）它们反映的是不同事物的变化过程 （2）在每个变化过程中，有的量的数值会随着另一个量的变化而变化 （3）在每个变化过程中，还有些量的数值是始终不变的 形成概念：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量； 数值始终不变的量为常量. 设计意图：从实际问题中抽象出变量，进一步体会常量与变量之间、变量与变量之间的关系，初步体会同一个变化过程中两个变量之间的依赖关系和对应关系． 3.巩固练习 【联系生活】同学们看过汽车加油吗？给汽车加油时，加油机显示屏上的哪些数字会发生变化？你能找到这个变化过程中的变量与常量吗？ 【试一试】（教材71-72页）指出下列问题中的变量和常量： （1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元． （2）某地手机通话费为0．2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元． 师生活动：学生通过独立思考和合作交流，解决问题． 设计意图：教师引导学生在2个常见的简单的实际问题中，通过合理、正确的思维，指出同一问题中的变量和常量．第（3）题仍然沿用圆形水波的问题背景，但讨论的角度由圆的面积变为圆的周长，常量为圆周率π，变量为圆的半径r和周长C． （3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π. （4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本. 师生活动：学生分组讨论，通过合作交流，探索结论． 设计意图：本题是在学生认识了变化过程中的常量和变量后，只给出问题背景，让学生通过思考，在已有知识基础上构造变量，进一步认识常量与变量． 【辩一辩】指出下列变化过程中的变量和常量： (1) 一辆匀速行驶的汽车，速度为v，行驶路程为s，时间为t. 常量： 变量： (2) 甲，乙两地的距离为s，某人行驶全程所用的时间为t，速度为v. 常量： 变量： 归纳：常量和变量不是绝对的，而是相对于某一个变化过程而言的. 4.课堂小结 （1）我们学到了什么？说说你的学习感悟…… （2）举一个运动变化的例子并指出其变量和常量． 5.随堂检测 指出下列变化过程中的变量和常量： （1）购买一些铅笔，单价为0.2元／支，记某同学购买铅笔的数量为x支，应付的总价为y元； （2）用长为50 cm的铁丝围成一个等腰三角形，记这个等腰三角形的腰长为x cm,底边长为y cm （3）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为 n； （4）如图，正形ABCD的边长为4 cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，当P、Q到达点C时都停止运动.设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2）.在这个运动变化过程中，当运动时间x发生变化时，四边形PBDQ的面积y是否也随之发生变化？当运动时间x增大时，四边形PBDQ的面积y如何变化？ 用几何画板演示，观察四边形面积的变化过程，直观感受变量与常量。 6.课后作业 基础作业： 1.小明每天骑自行车上学，他家到学校的距离是固定的，设为d km。他骑车的平均速度为v km/h，所需时间为t h。请指出这个变化过程中的常量与变量，并写出它们之间的关系式。 2.一个长方形的长是固定的，设为a cm，宽是变化的，设为x cm，面积为S cm²。请指出这个变化过程中的常量与变量，并写出它们之间的关系式。 3.小红去超市买苹果，苹果的单价是固定的，设为p元/斤，她买了x斤苹果，共花费y元。请分析这个问题中的常量与变量，并解释它们的意义。 提升作业： 1.假设你有一个长为100 cm的绳子，你想用它来围成一个矩形。设矩形的一边长为x cm，另一边长为y cm。请探究在这个变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，并写出它们之间的关系式。 2.请举出一个生活中的实例，说明其中存在的常量与变量，并解释它们在你所举实例中的意义。 设计意图：基础作业旨在巩固学生对常量与变量概念的理解，提升作业则引导学生将所学知识应用于实际问题中，培养他们的数学应用能力和问题解决能力。 结束语：常量常在人间，人间有不变的规则；变量变在世界，世界有可变的途径！人生就像函数，随着时间的变化，同学们离中考的日子越来越近了，愿大家不忘初心，砥砺前行！ 7.板书设计 19.1.1 变量与函数 变量：数值发生变化的量 在一个变化过程中，不是绝对的 常量：数值始终不变的量 学科网（北京）股份有限公司 $$