第06讲等式性质和不等式性质（4大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第06讲等式性质和不等式的性质（4大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用不等式表示不等关系 典型例题二 作差法比较代数式的大小 典型例题三 作商法比较代数式的大小 典型例题四 由已知条件判断所给不等式的大小 典型例题五 由不等式性质比较数（式）大小 典型例题六 由不等式性质证明不等式 知识点一 不等式的有关概念 1．不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，，，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．同向不等式和异向不等式 对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，与是同向不等式，与也是同向不等式． 对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，与是异向不等式，与也是异向不等式． 提示 常见的文字语言与符号语言之间的转化 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 知识点二 比较实数大小的依据与方法 1．比较实数大小的依据 在数轴上，不同的点与点分别表示两个不同的实数与，右边的点表示的数比左边的点表示的数大 ，从实数减法在数轴上的表示（如图 所示），可以看出，之间具有以下性质： 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据． 2．比较两个实数大小的方法 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下： ；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下： 当，时，；；． 知识点三 等式的性质 等式有下面的基本性质： 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 知识点四 不等式的性质 性质 具体名称 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加性 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 （，） 同正 8 可开方性 （，） 9 取倒数 ，同号 【典型例题一 】 【例1】1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 【例2】从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 1．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 2．某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 3．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 7．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若，，则（   ） A． B． C． D． 【典型例题二 作差法比较代数式的大小】 【例1】设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 4．已知，；，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．，，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 8．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典型例题三 作商法比较代数式的大小】 【例1】如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 1．已知，则（    ） A．B． C． D． 2．给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A．B． C． D． 3．已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．就不充分又不必要条件 5．在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 6．（多选题）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【典型例题四 由已知条件判断所给不等式的大小】 【例1】．（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【例2】（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（多选）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（多选）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 5．（多选）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选）下列不等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．，则 7．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 8．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【典型例题五 由不等式性质比较数（式）大小】 【例1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【例2】．一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为 . 1．已知，，设，，则与的大小关系为 ． 2．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 3．设，则M与N的大小关系是 ． 4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 5．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 6．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围. 7．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 8．如果，比较与的大小并证明． 【典型例题六 由不等式性质证明不等式】 【例1】．（1）已知，求证： （2） 已知，求的取值范围 【例2】．已知，试比较和的大小. 1． 设，比较与的大小 2．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 3．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 4．（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 5． 设，证明：． 6．已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 7．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 8．（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 一、单选题 1．已知，有下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；  ④若，则； 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若，，则下列不等关系中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 5．设，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．若实数x，y满足，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．设a，b为不等的正数，且，，则有（  ） A．M=N B．M＜N C．M＞N D．M≥N 二、多选题 9．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．对于实数，，，下列结论正确的是（    ） A．若，，且，则 B．若，则 C．若，，则， D．若，则 11．若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 13．若，则与的大小关系是 ． 14．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是 . 四、解答题 15．设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么. 16．已知2＜x＜3，2＜y＜3.分别求 （1）2x＋y的取值范围； （2）x－y的取值范围； （3）xy的取值范围. 17．（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤； （2）已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2． 18．（1）已知，求证：； （2）设，，均为正数，且，证明：． 19．（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲等式性质和不等式的性质（4大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用不等式表示不等关系 典型例题二 作差法比较代数式的大小 典型例题三 作商法比较代数式的大小 典型例题四 由已知条件判断所给不等式的大小 典型例题五 由不等式性质比较数（式）大小 典型例题六 由不等式性质证明不等式 知识点一 不等式的有关概念 1．不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，，，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．同向不等式和异向不等式 对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，与是同向不等式，与也是同向不等式． 对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，与是异向不等式，与也是异向不等式． 提示 常见的文字语言与符号语言之间的转化 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 知识点二 比较实数大小的依据与方法 1．比较实数大小的依据 在数轴上，不同的点与点分别表示两个不同的实数与，右边的点表示的数比左边的点表示的数大 ，从实数减法在数轴上的表示（如图 所示），可以看出，之间具有以下性质： 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据． 2．比较两个实数大小的方法 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下： ；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下： 当，时，；；． 知识点三 等式的性质 等式有下面的基本性质： 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 知识点四 不等式的性质 性质 具体名称 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加性 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 （，） 同正 8 可开方性 （，） 9 取倒数 ，同号 【典型例题一 】 【例1】1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】经过年后，方案B的投入为，则“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为． 方法总结  用不等式（组）表示不等关系的步骤 1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语； 2．适当地设未知数表示变量； 3. 用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）． 【例2】从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【分析】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 1．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 2．某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 3．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出符合题意的不等式组，求得不等式组的解集，即可得到答案. 【详解】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 5．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 7．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】化简，对照条件的定义可得答案. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D 8．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 【典型例题二 作差法比较代数式的大小】 【例1】设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 【例2】若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，根据不等式的性质计算判断D. 【详解】因为，， 当时 ，，A选项错误； 当时 ，，B选项错误； 当时 ，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 1．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 3．下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质及必要条件判断B. 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 4．已知，；，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，，不妨取，，则不成立，即， 若，，由不等式的基本性质可得，，则成立，即， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误． 6．已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的特征，举例说明充分必要性. 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 7．，，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项. 【详解】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件； B.当满足，不满足，所以B不是充分条件； C.若，又因为，所以，所以C是充分条件； D.，，满足，不满足，故D不是充分条件. 故选：C 8．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及充分不必要条件定义判断求解. 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 【典型例题三 作商法比较代数式的大小】 【例1】如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 【例2】设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意. 1．已知，则（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 2．给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过举反例可判断A、C、D是假命题；利用作差法比较大小可判断B正确. 【详解】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 3．已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．就不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误. 【详解】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A 5．在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【分析】利用赋值法判断选项A,B,C，利用不等式的性质判断选项D. 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 6．（多选题）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 7．（多选题）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确． 8．（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则，A错误； 对于B选项，若，，则，，B正确； 对于C选项，若且，则， 即，C正确； 对于D选项，若，取，，， 则，，此时，D错误. 故选：BC. 【典型例题四 由已知条件判断所给不等式的大小】 【例1】．（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D. 【详解】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 【例2】（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项. 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 1．（多选）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A：只有当时，才成立，故A错误； 显然，B正确； 对于：只有当且时，才成立，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：ACD. 2．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论. 【详解】依题意，正实数x，y满足，， 若，则，所以①错误. ，所以②正确. 由于，所以，所以③正确. ，所以④正确. 故选：BCD 4．（多选）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，. 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 5．（多选）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 6．（多选）下列不等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．，则 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值逐一判定即可． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当，时，显然不成立，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，所以成立，故C错误； 对于D， ，由则，故D正确． 故选：AD． 7．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】AD 【详解】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确． 8．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据，则，A正确； 由，又，则，B正确； 当时，，C错误； 当时，，D错误. 故选：AB 【典型例题五 由不等式性质比较数（式）大小】 【例1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 【例2】．一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为 . 【答案】 【分析】直接根据不等式的含义进行求解即可. 【详解】因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过， 所以有：. 故答案为： 1．已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 2．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 3．设，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 5．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件，则． 故不等关系表示为． 6．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据题意列出不等式组即可求解； （2）根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】（1）由题可得， 则矩形仓库的另一条边长为， 所以仓库的面积， 故该题中的不等关系可表示为. （2）因为矩形的长、宽都不能超过14m， 所以，解得. 7．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 8．如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 【典型例题六 由不等式性质证明不等式】 【例1】．（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用作差法推理得证. （2）利用待定系数法，结合不等式性质求出范围. 【详解】（1）证明：因为， 所以； （2）设， 于是，解得，则， 由，得，因此，即， 所以的取值范围是 【例2】．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【例2】 1．设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 2．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 3．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 4．（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 5．设，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】不妨设，，然后对的符号分类讨论即可. 【详解】根据的对称性，不妨设. 同时，可以不妨设，否则只需要用分别替换，即可将问题等价转化为的情形. 若，则. 若，，则，，故 . 若，，则，，故 . 若，则，，故 . 综上，原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于合理使用优化假设，并使用绝对值不等式. 6．已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 7．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 8．（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 一、单选题 1．已知，有下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；  ④若，则； 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】借助平方差公式，立方差公式，结合题中条件，依次判断即可. 【详解】①取,则，但,故①错； ②因,所以,因此；即②正确； ③因,所以，故③正确； ④因，由，得,所以,故④正确. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型. 2．不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简不等式组，然后根据不等式组的解集可求得结果. 【详解】由，得， 因为不等式组的解集为， 所以，即的取值范围是， 故选：C 3．若，，则下列不等关系中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式的性质，判断ACD，举出反例判断B 【详解】∵a＞b，c＞d，∴a﹣b＞0，d﹣c＜0，故a﹣b＞d﹣c一定成立，即一定成立；故A正确； 又因为a＞b，故在两边加﹣c可得，a﹣c＞b﹣c，故C正确； 由c＞d可得﹣c＜﹣d，两边同时加a可得a﹣c＜a﹣d，故D正确； 对B，当 时，a+d＞b+c， 当时，a+d＜b+c， 当时，a+d＝b+c，故不一定成立， 故选：B． 【点睛】本题考查两式比较大小，涉及不等式性质及特值的应用，属基础题． 4．已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围可分别求得的范围，再利用不等式性质可得结论. 【详解】因为，所以， 由不等式性质可得， 即． 故选：C 5．设，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可. 【详解】，， ，， . 又，故. 则. 故选：C. 6．下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据特殊值法，集合间关系，元素和集合的关系及不等式的性质判断各个选项即可. 【详解】对于A:当不为0，A选项错误； 对于B:当，则,B选项错误； 对于C:当,则,C选项错误； 对于D:当,则,D选项正确. 故选：D. 7．若实数x，y满足，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案. 【详解】解：设， 则，解得， 故， 又因， 所以， 所以. 故选：A. 8．设a，b为不等的正数，且，，则有（  ） A．M=N B．M＜N C．M＞N D．M≥N 【答案】C 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】由， 又a，b为不等的正数，所以M＞N. 故选：C 二、多选题 9．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据不等式的基本性质进行判断. 【详解】∵， ∴，，， ∴，A错误，B正确； ∴，C正确； 不等式两边同乘以得：，故D错误． 故选：BC． 10．对于实数，，，下列结论正确的是（    ） A．若，，且，则 B．若，则 C．若，，则， D．若，则 【答案】ABC 【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断正误；选项B和C，根据条件，利用作差法，即可判断正误；选项D，通过取特殊值，，即可判断正误. 【详解】对于选项A，因为，由不等式的性质可知，所以选项A正确， 对于选项B，因为，则，得到， 由，得到，所以，故选项B正确， 对于选项C，由，可知．因为，所以，于是， 又因为，所以，．故选项C正确， 对于选项D，取，，显然有，此时，，显然．故选项D错误， 故选：ABC． 11．若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于A选项，只能推出，所以A错误； 对于B选项，举反例即可否定B； 对于C选项，采用比较法，进行因式分解，证明C正确； 对于D选项，分别判断，根据不等式同项相乘的性质判断D正确. 【详解】因为，所以不正确，故A错误； 当时，，所以B错误； 因为， 所以当时，，， 得，所以，即，故C正确； 因为，又，所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 【答案】 【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式. 【详解】依题意，. 故答案为： 13．若，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由已知可知，结合，从而，进而可得与的大小关系. 【详解】解：因为，所以，因为，所以， 整理得，，即. 故答案为: . 【点睛】本题考查了不等式的基本性质. 14．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是 . 【答案】a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac 【解析】根据a、b、c互不相等，利用基本不等式有a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac，再利用不等式的基本性质，两边相加求解. 【详解】∵a、b、c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 故答案为：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac 【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的基本性质比较大小，属于中档题. 四、解答题 15．设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么. 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 【分析】（1）利用不等式的性质可判断原命题的真假； （2）取特殊值可判断原命题的真假； （3）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假. 【详解】（1）因为，所以，由不等式的乘法性质得，故原命题为真命题； （2）取，，，满足，但是， 所以原命题为假命题； （3）因为，所以由不等式的开方法则得，故原命题为真命题； 16．已知2＜x＜3，2＜y＜3.分别求 （1）2x＋y的取值范围； （2）x－y的取值范围； （3）xy的取值范围. 【答案】（1）6<2x＋y<9；（2）－1<x－y<1；（3）4<xy<9. 【分析】由2x＋y、x－y与x、y的线性关系，将2＜x＜3，2＜y＜3乘以相关系数，利用不等式同向可加性求它们的范围，xy由不等式的同向同正可乘性即可求范围 【详解】（1）由2＜x＜3知4＜2x＜6，又2＜y＜3 ∴6＜2x＋y＜9，故2x＋y的取值范围为6< 2x＋y <9 （2）由2＜y＜3知－3＜－y＜－2，又2＜x＜3 ∴－1＜x－y＜1，故x－y的取值范围为－1< x－y <1 （3）∵2＜x＜3，2＜y＜3 ∴4＜xy＜9，故xy的取值范围为4< xy <9 【点睛】本题考查了不等式性质，利用目标式与条件的线性关系，结合不等式的7条性质求目标式的范围 17．（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤； （2）已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式的基本性质进行证明即可； （2）根据作差比较法进行证明即可. 【详解】证明（1）∵bc－ad≥0，bd>0，∴bc≥ad，>0， ∴≥，∴＋1≥＋1，即≥，即≤． （2）a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ca(c－a)＝(c－a)(b2＋ca－ba－bc)＝(c－a)(c－b)(a－b)． ∵a>b>c，∴c－a<0，c－b<0，a－b>0， ∴(c－a)(c－b)(a－b)>0，即a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)>0， ∴a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2． 18．（1）已知，求证：； （2）设，，均为正数，且，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）移项因式分解即可证出； （2）根据所证式子特征，由基本不等式放缩即可证出． 【详解】（1）因为 ， 而，所以，所以， 故，即，当且仅当时取等号． （2）因为为对称轮换，所以， 三式相加可得：，当且仅当时取等号，即原不等式得证． 19．（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：（1）因为，， 所以 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，所以，， 所以， 所以， 所以； 学科网（北京）股份有限公司 $$