福建省福州市山海联盟协作校2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学参考答案、提示及评分细则 1.C因为复数：满足1-0=么，所以=产2=-1+.所以=-1一i.的虚部为-1.放选C 之B由题意知0平0品解得m=3,故选B 3.B因为(0.010+0.015+0.020)×10=0.45<0.6，(0.010+0.015+0.020+0.030)×10=0.75>0.6，所以第60百分 位数位于[80,90)，设为x,则(0.010十0.015+0.020)×10+0.03(x一80)=0.6，解得x=85,即估计学生对食堂用餐质 量的评分的第60百分位数为85.故选B 4.A若n∥a,则存在lCa,使得n∥l,又m⊥a,所以l⊥m,所以m⊥n,故“n∥a”是“m⊥n”的充分条件：若m⊥，则n可能 在平面a内，所以“∥a”不是“m⊥n”的必要条件.综上，“n∥a”是“m⊥n”的充分不必要条件.故选A 五C因为合omsC叶台oas月=nA,所以osC十cosB=asnA,由正孩定理得in BoC十in Cs B=smA,整理得 in(B+C)=sinA=sin'A,因为A∈(0，x,所以sinA≠0，放sinA=1,放A=受，所以△ABC为直角三角形.故选C 6.A设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为(=2，则圆锥的高为h= √4r一7=3r,设圆柱的高为h2又圆锥和圆柱的侧面积相等，所以πr·2r=2xr·2,解得2=r,所以这个圆锥和圆 的体积之化为了·3 xr·r ”-.故选A 31 7.A以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以A(0,0),E(3,1),设 Pm,3)(0≤m≤3)，所以AD=(m,3),=(m-3,2,A市.E=(m,3)·(m-3,2)=m(m-3)+6=(m-是)）'+里 ≥只，当且仅当m=号时等号成立，所以市，办的最小值为只放选A &D记内角A.B,C的对边分别为a,6.6,所以3asnB=子ac,号=2尽，所以uc=8,又A十sC-3 inAinC. 由正弦定理得d+=3ac=24,由余弦定理可得6=V层+C-2ac0sB=√24一2X8X7=4,所以△ABC外接圆的 径为smB2×互二等学.放选D. 9.BD数据x1x店xT(<x2<x<x<x<<)的极差为x,一，新数据为为y为%为的 极差为片一为=4c十3-(4红1十3)=4（一x),故A错误：设数据x1xx4,x6x7的平均数为7，则1十2十 十工4十十十x?=7五，所以新数据为，，为，4，，%，的平均数为 4,十3+4十3十4红十3十4红+3十4红十3+4红十3+4红十3=4元+3，当=-1时，=47+3，故B正确：数据， 亚，西4，，西的中位数为工，新数据的中位数为4=4红十3，当工≤一1时，≥4红十3，故C错误：设数据西2x,x, 的标准差为>0，则=红-)+-)+鱼-7)+红-+(，一2+（红-+(-到 新数据的方差为7[(4知+3-47-3)2+(4+3-4元-3)2+(4x+3-47-3)2+(4x:+3-4元-3)2+(4x+3- 4元-3)2+(4x十3-47-3)+(4z十3一4元一3)门=16s,新数据的标准差为4s,故新数据的标准差一定比原数据的 标准差大，故D正确，故选BD 【高一7月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 F 10.ACD在直三棱柱ABC-AB,C中，AA1⊥平面ABC,又BCC平面ABC,所以AA⊥BC,又AB=BC=2,AC= 22,所以AB+BC=AC,所以AB⊥BC,又AA1∩AB=A,AA1,ABC平面ABB,A1,所以BC⊥平面ABBA1,又 AMC平面ABBA,所以BC⊥AM,故A正确：因为BB1∥AA,BB文平面ACCA1,AAC平面ACCA,所以 BB/平面ACCA,所以VC,=VrC=VAw=号×是X2X2X3=2,所以Vm,4=2V=4放B错 误：直三校柱A-A,BG外接球的半径R=之AB十C+-立公+2+3=平，表面积为（受） =17x,故C正确：将矩形BCCB:与矩形ABBA展开到同一平面内，连接AC,与BB,相交于点M,故AC的长即 为MA,+MC的最小值，故最小值为√3+(2+2)=5，故D正确.故选ACD 1.BCD设a=n一1,6=c=十1，且N≥3，n∈么若存在唯一的△ABC,使得C=经，则osC=∠ 2ab -+D=言，解得=吾，又受不为整数，放不存在△ABC,使得C=学，放A错误：若存在唯一的 2m(n-1) △ABC,使得C=乏，则需满足a+b=(,即(n一1)+=(n+1),解得n=4,故B正确：若存在唯一的△ABC,使得 3A+B=x,又A+B+C=x,所以C=2A,所以snC=sin2A,即sinC=2 2sin Acos A,即c=2a.合+C,因此6c= 2 a(6+c2-a),即(b-a)c2=a(6-d2),所以2=a(b+a),所以(n十1)=(n-1)(2n-1),解得n=5,故C正确：若存 在△ABC,使得sin Bsin C=Beos C+os号，即cos号=sin BsinC-Beos C=-os(B+O=cosA,又0CA< x,0<C<,所以号=A.即C=3A,所以snC=sin3A,sin C=sin(2A+A,即sinC=sin2 AcosA+cos2 Asin A,即 nC=2 sin Ao A+s2AsnA,pnC=nA4sA-D,p+1=6r-1D[4.(巴+D=D)°-1]，化 21(1+1) 简有”-3m-6m十16=0，整理得(-1-一8)(1一2)=0，又≥3n∈7，即7-”一8=0，由求根公式可得m=1十3图 2 庄Z,故无解，D正确.故选CD 12.-2因为向量a,b的夹角为管，a=原.=4，所以(3a+b)·b3a·b叶6=3X5×4cos吾+华=-18+16=-2 18号从分别写有1,234,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，样本空间包含12,3)，1,2,4,1,2,5)，1,340， (1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个，抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的基本事件 为1,45)，(2,35)，(24,5)，(3,45)，共4个，所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率P=高=号 2 142分)6E(3分)连接AC,易得AC∥AC,所以∠C,AE为直线A,E与AC所成的角或其补角.又AG =22A,E=CE=5,由余弦定理得cos∠CA,E=AC+AECE_2E土5（5=匝，即直线 2AC·AE 2×22×⑤ 5 A,E与AC所成角的余弦值为严.分别取CD,BC,BB,AB,AD的中点F,G.M.N.A.连接EF,FPG,GM,MN。 NH,HE,AB,DC1,因为AD∥BC1且AD=BC,所以四边形AB,CD是平行四边形，所以DC∥AB,因为F,M, N分别是C,D,BB1,AB的中点，所以EF∥CD,MN∥AB,所以MN∥EF,同理可得MG∥HE,FG∥NH,所以E, F,G,M,N,H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为N2的正六边形，因为CC⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所 以CC⊥BD,又BD⊥AC,AC∩CC=C,AC,CC1C平面ACA1,所以BD⊥平面ACA,又ACC平面ACA1,所以 BD⊥AC,因为V,H分别为AB,AD的中点，所以NH∥BD,NH⊥A1C,同理可得MN⊥AC,又NH∩MN=N, NH,MNC平面EFGMNH,所以A,C⊥平面EFGMNH,因为PE⊥A,C,所以点P的轨迹长度为6√2， 15.解：(1)由题意知1·4=(a+2i)(2a十3+i)=(2a+3)a十ai+(2a+3)×2i十2=2a2+3a-2+(5a+6)i,…2分 又·为纯虚数，所以(2a+3a-2=0, …4分 15a+6≠0， 解得a=一2或a=乞… …6分 (2)因为复数是关于x的方程x2十mx十5=0(m∈R)的一个根， 所以(a+2i)2+m(a+2i)+5=0,整理得a2+ma+1+(4a+2m)i=0, …8分 【高一7月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 F a2+ma+1=0, 所以 …10分 14a+2m=0, 解得a=1,=一2，或a=一1，m=2,… 12分 所以m十a=-2+1=-1,或m+a=2+(-1)=1.. …… 13分 2x+3=7, 16.解：(1)因为c=xa+b=x(2,一3)+(3，m)=(2x+3,-3.x十m)=(7,-5),所以 …2分 -3x+m=-5, 解得江=2，m=l.…4分 (2)若a⊥b,则a·b=(2,-3)·(3,m)=6-3m=0,… 6分 解得m=2,…… …7分 所以b=(3,2),a十2b=(2,-3)十2(3,2)=(8,1)，a十2b=√8+1=6.…9分 (3)因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0且a,b不同向，即6-3≥0： 2m-(-9)≠0， 13分 解得m<2且m≠-号，即m的取值范周是(-0，-号)U(-号，2)。 15分 17.解：1)记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件M,所以P0=1一Pm=1-(1-号)×(1-号）=号， 即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为。 …5分 (2)记“小张在两轮比赛中答对i题”为事件A(i=0,1,2),“小胡在两轮比赛中答对i题”为事件B,(i=0,1,2),“在两 轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等”为事件C, 所以PA,)-(1-号)x1-号)-日PA)-号×(1-号)+(I-号)x号-音，A,)-号×号-吉， PB,)=(1-号)×1-)=子PB)=×(1-2)+(1-)X=,PB)=含×3=子，…1分 所以PO=PAR)+PAB)+PAA)=日X+告×+告×-器 即在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率为器 15分 18解，（因为二-号血B+om由正孩定莲得温-号山B叶om,所以血C-血AoB- 3sin Asin B. +B=-sin Acos B+-cos Asin B,所以cos Asin B-号sin Asin B, 又BE0:,所以mB>0,可得osA=号nA,即nA=尽 …3分 因为A∈(0，π)，所以A= 3 …4分 (2)因为A=号，所以B+C-要，即cs(B+C)=一号，即os Beos C-sin Bsin C=一之，又因为cos Beos C=-一日， 所以s如Bsin C=-子， =4444444 …6分 由正孩定理得品B点C岩：所以血mC-，--寻所以 a, …8分 由余弦定理可得a=+2-2 occos A=+-bc=(b+c)2-3k,即a2=（ (@)）-3x2d, …9分 解得a=5 …10分 (3)由余弦定理得 )=a2=6+2-c≥c,即bk≤三，当且仅当b=c时取等号. 取AC的中点G.因为指-嘉=os音：所以AB= …12分 同理可得AC= 3 3 …13分 【高一7月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 FJ 又∠BAC'=2 所以Bc=√()+（停）-2·6·号c·s =N (+c2+) √号(+x)<√3×(4+2×)-写 …15分 所以△A'B'C'的面积S△N℃= C<×(停）广-，即△ABC'面积的最大值为 16 16 17分 19.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD,又BC过平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD, …2分 又平面PAD∩平面PBC=l,BCC平面PBC,所以I∥BC. 4分 (2)解：分别取BD,PB的中点O,G,连接EO,EG,OG,如图所示.因为PB=PD=2, PB⊥PD,所以BD=√PB+PD=22,又AB=2,AD=25,由余弦定理得cOs∠ADB -D+D5AE_252-3,又AE=ED.所以ED=专DA- 2DA·DB 2×25×2/2 25,D0=号DB=,所以BD=VED+0-2BD,as∠BD丽 √(25)+EP-2X2xE×3沿-号，所以ED=B0+D0.所以B0LD0.即D1BD.…5分 又平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,EOC平面ABCD,所以EO⊥平面PBD,·6分 又OG,PBC平面PBD,所以E01OG,B0LPB,因为O.G分别为BD,PB的中点，所以G=之PD=1.OG∥PD, 又PB⊥PD,所以PB⊥OG,又OG∩OE=O,OG,OEC平面OGE,所以PB⊥平面OGE,又EGC平面OGE,所以 PBLEG,所以∠EGO为二面角E-PB-D的平面角. …8分 因为B0L0G,B0-号.0G-1,所以V0G+B0 +(）=④，所以nB0 EO 22 G 11 即三面角E-PB-D的正弦值为2. 10分 (3)解：连接PO,OA,如图所示，因为PB=PD=2,PB⊥PD点O为BD的中点，所以PO=2,PO⊥BD,又 平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,POC平面PBD,所以PO⊥平面ABCD,又AOC平面ABCD, 所以PO⊥AO, 在△AOD中，由余弦定理得A0=VDA+DO-2DA·D0os∠AD0=√(25)+62)-2X25X,2×3 10 =而，所以PA=√PO+QN=25,又PB=AB=2,所以Sas=号·PA·√PB-()=5 显然点E不与点A重合，设AE=AAD(0<A≤1)， 所以Ver=Vm=mA·号S.mP0=·号×分X25X2pxe×厄=2号。 10 设E到平面PAB的距离为h,则号×厅X=21.解得h=251.又直线PE与平面PAB所成角的余弦值为号 3,所 26 以PE √1-()，所以PE=25x …14分 在△PAD中，PA=2,/3,AD=25,PD=2,则s∠PAD=APAD-PD=12+20-4 2AP·AD 2×23×252/15 在△PAE中，APLAEPE=os∠PAE,即2+20二12=，7 2APXAE ,整理得2一71十3=0， 2×2/3×25λ2/15 解得X=号或入=3（合，所以PE=2以=5.… …17分 【高一7月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 FJ高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知复数x满足(1一i)z=2i,则z的虚部为 A.-i B.i C.-1 D.1 2.某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛 球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本，已知从B队中抽 取了15名学员，则m的值为 A.40 B.35 C.30 D.25 3.某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的 评分数据（评分均在[50,100]内），将所得数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100],得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为 率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 006070 80 90100评牙 A87.5 B.85 C.82.5 D.81.5 4.已知m,n是两条不同的直线，a表示平面，且m⊥a,则“n∥a”是“⊥n”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,且总c0sC+后osB=si血A,则△ABC是 A等边三角形 B.钝角三角形 C,直角三角形 D.锐角三角形 【高一7月质量检测·数学第1页（共4页）】 ] 6.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆 柱的体积之比为 A号 B.√3 c号 D.2 7.已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且CE=2EB,点P是边DC上的一点，则 A卫，EP的最小值为 AS B兴 c号 n号 &.已知△ABC的面积为2W3,B=号，且sinA十simC-=3 sin Asin C,则△ABC外接圆的半径为 A.85 B.45 C83 D43 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知一组数据x,x2,x34,西，x6x,(x1<x2<x3<x4<x<x6<x),由y=4红十3(i=1,2,3,4,5, 6,7)生成的一组新数据为，y2y4,%y6,则 A.新数据的极差可能与原数据的极差相等 B.新数据的平均数可能与原数据的平均数相等 C.新数据的中位数一定比原数据的中位数大 D.新数据的标准差一定比原数据的标准差大 10.在直三棱柱ABC-A:B1C中，AA1=3,AB=BC=2,AC=2W2,点M是棱BB1上的一点，则下列说 法正确的是 A.AM⊥BC B.四棱锥M-ACC1A1的体积为2 C.直三棱柱ABC-A,B,C外接球的表面积是17x D.MA1+MC的最小值为5 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c为连续正整数，且a<b<c,则下列说法正 确的是 A存在唯一的△ABC,使得C-受 B存在唯一的△ABC,使得C=受 C.存在唯一的△ABC,使得3A十B=元 D.不存在△ABC,使得sin BsinC=BosC+cos号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a,b的夹角为若，a=5,b=4,则(3a+b)·b= 13.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小 于10的概率为 14.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，点E是棱DD1的中点，则直线AE与AC所成角的余 弦值为 点P是正方体表面上的一动点，且满足EP⊥AC,则动点P的轨迹长度是 【高一7月质量检测·数学第2页（共4页）】 FJ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 设a∈R,复数1=a十2i,=2a十3+i (1)若刘·2为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数名1是关于x的方程x2+mx十5=0(m∈R)的一个根，求m十a的值. 16.(本小题满分15分) 已知平面向量a=(2,一3)，b=(3,m),m∈R (1)若c=(7,-5),且c=m十b,求x和m的值； (2)若a⊥b,求|a+2b|的值； (3)若a与b的夹角为锐角，求m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张和小胡各回答一个问题，已知小张每轮 答对的概率为子，小胡每轮答对的概率为2，在每轮比赛中，小张和小胡答对与否互不影响，各轮结果 也互不影响. (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率： (2)求在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率。 【高一7月质量检测·数学第3页（共4页）】 FJ 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角AB,C的对边分别是a,c,且后-号nB叶osB (1)求A; ②若6sBsC-司b叶c=要，求a, (3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条 边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此 等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点.”如图，以BC,AC,AB为边向外作三个等边三角形，其外 接圆圆心依次记为A,B,C,若a=复求△ABC'的面积的最大值 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD,PB=PD=AB =2,AD=2√5，PB⊥PD,点E是棱AD上的一点. (1)记平面PAD与平面PBC的交线为I,求证：l∥BC; (2)若AE=2ED,求二面角E-PB-D的正弦值； (③)若直线PE与平面PAB所成角的余弦值为号，求线段PE的长 【高一7月质量检测·数学第4页（共4页）】 FJ