集合间的基本关系专题集训-2026届高三数学一轮复习

高考数学专题集训---集合间的基本关系 一、专项练习 （1） 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）． A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 （2）已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）． A． 9 B． 8 C． 5 D． 4 （3）设集合 ，若 ，则 ． A． B． C． D． （4）设 ，已知 且 ，则 的取值集合为 ． 答案（1）C；（2）A；（3）C；（4） 解析（1）点 符合题意，故元素的个数为 4 ． （2）由题意可知 ， ，故集合 中共有 9 个元素． （3）因为 ，所以 ，故 ，解得 ． 由 ，解得 或 ．所以 ． （4）因为 ，即 ，所以 或 ． 若 ，则 或 ； 若 ，即 ，则 或 ． 由 与 互异，得 ．故 或 ． 又因为 ，即 ，所以 ，解得 且 ． 综上所述， 的取值集合为 ． 例 2 （1）已知 ，若 ，则实数 的值为 _____， A． 0,1 或 2 B． 1 或 2 C． 0 D． 0 或 1 （2）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为 ____ ． （3）设集合 ，则（ ）。 A． B． C． D． （4）设集合 ，且 ，则实数 ___ ，____ 答案（1）A；（2） ；（3）B；（4） 解析（1）由题意可知 ． 当 时，因为 ，所以 或 ．当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ． 当 时， ． 故 的值为 0,1 或 2 ． （2）由 ，知： （1）若 ，则 ，解得 ． （2）若 ，则 解得 ． 由（1）（2）可得，符合题意的实数 的取值范围为 ． （3）本题主要考查集合的表示（描述法）与集合之间的关系，可采取特殊值法或者化归为同类解决。 （方法 1）显然 ，将 分别代人两个集合，得 比较集合中的元素可知 ． （方法 2）对于集合 ，因为 ，而 ，所以 中的数是 的奇数倍；对于集合 ，因为 ，而 ，所以 中的数是 的整数倍。因此，集合 中的元素必定是集合 中的元素，而集合 中的元素不一定是集合 中的元素，即 。 （方法3）因为 ，所以 ．若 ，则 ，故 ，所以 ；而当 时， ，但 ，所以 ． （4）本题主要考查集合的性质，涉及分类讨论思想和推理能力，解答时要注意互异性对集合中元素的限制。 （方法 1）因为 ，所以 ． 若 ，即 ，则 ，解得 ，此时 ，满足题意； 若 ，则 ，解得 ，舍去． 综上可得 ． （方法2）因为 ，所以 ． 因为 ，所以集合 中的元素完全相同，故 中所有元素之积等于 中所有元素之积，即 。因 ，故 。又 ，所以 。此时 ， ，故 ，解得 ．因此 ． 2、 综合题 1．已知集合 ，若 ，则实数 的值为 _____ ． 2．若 ，集合 ，则 _____。 3．若 是 的真子集，则实数 的取值范围是_____ ． 4．已知集合 ，则 _____． 5．已知集合 ，则下列式子中表示不正确的是( ）． A． B． C． D． 6．设集合 ，集合 ，则下列关系中正确的是( ) A． B． C． D． 7．已知集合 ，则 中元素的个数为( ) A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 8．已知集合 ，则( ) A． B． C． D． 9．已知集合 ，若 ，则实数 ( ) ． A． 1 B． 1 或 C． 0 D． 1,0 或 10．已知集合 ，则 ( )． A． B． C． D． 11．已知集合 或 ，若 ，则实数 的取值范围为_______ ． 12．设集合 ，若 ，则实数 必须满足( ) ． A． B． C． D． 参 考 答 案 1．因为 ，所以 或 ．又 ，所以 ．经检验， 满足题意． 2．因为 ，所以 ，即 ，从而 ．故 ． 3．由题意知 不是空集，所以 ． 4．因为 ，所以 或 解得 或 0 ． 5．易知 ，所以选项 B 不正确，应改为 或 ．选 B． 6．由题意得 ，所以 ．选 D． 7． 表示圆 上所有点的集合， 表示直线 上所有点的集合，故 表示直线与圆的交点．由图1．1可知交点的个数为 2 ，即 中元素的个数为 2 ．选 B． 8．由题意得 ，画出数轴可知 ．选 B． 9．由题意得 ．当 时， ；当 时， ；当 时， ．故 或 ． 图 1.1选 D． 10．因为集合 ，所以 ．选 D． 11．因为 ，所以： （1）当 时， ，解得 ，符合题意． （2）当 时， 或 解得 或 即 ． 综上所述，实数 的取值范围为 ． 12．因为 或 ，所以 或 ，即 或 ，故 ．选 D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考数学专题集训---集合间的基本关系 一、专项练习 （1） 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）． A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 （2）已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）． A． 9 B． 8 C． 5 D． 4 （3）设集合 ，若 ，则 ． A． B． C． D． （4）设 ，已知 且 ，则 的取值集合为 ． 答案（1）C；（2）A；（3）C；（4） 解析（1）点 符合题意，故元素的个数为 4 ． （2）由题意可知 ， ，故集合 中共有 9 个元素． （3）因为 ，所以 ，故 ，解得 ． 由 ，解得 或 ．所以 ． （4）因为 ，即 ，所以 或 ． 若 ，则 或 ； 若 ，即 ，则 或 ． 由 与 互异，得 ．故 或 ． 又因为 ，即 ，所以 ，解得 且 ． 综上所述， 的取值集合为 ． 例 2 （1）已知 ，若 ，则实数 的值为 _____， A． 0,1 或 2 B． 1 或 2 C． 0 D． 0 或 1 （2）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为 ____ ． （3）设集合 ，则（ ）。 A． B． C． D． （4）设集合 ，且 ，则实数 ___ ，____ 答案（1）A；（2） ；（3）B；（4） 解析（1）由题意可知 ． 当 时，因为 ，所以 或 ．当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ． 当 时， ． 故 的值为 0,1 或 2 ． （2）由 ，知： （1）若 ，则 ，解得 ． （2）若 ，则 解得 ． 由（1）（2）可得，符合题意的实数 的取值范围为 ． （3）本题主要考查集合的表示（描述法）与集合之间的关系，可采取特殊值法或者化归为同类解决。 （方法 1）显然 ，将 分别代人两个集合，得 比较集合中的元素可知 ． （方法 2）对于集合 ，因为 ，而 ，所以 中的数是 的奇数倍；对于集合 ，因为 ，而 ，所以 中的数是 的整数倍。因此，集合 中的元素必定是集合 中的元素，而集合 中的元素不一定是集合 中的元素，即 。 （方法3）因为 ，所以 ．若 ，则 ，故 ，所以 ；而当 时， ，但 ，所以 ． （4）本题主要考查集合的性质，涉及分类讨论思想和推理能力，解答时要注意互异性对集合中元素的限制。 （方法 1）因为 ，所以 ． 若 ，即 ，则 ，解得 ，此时 ，满足题意； 若 ，则 ，解得 ，舍去． 综上可得 ． （方法2）因为 ，所以 ． 因为 ，所以集合 中的元素完全相同，故 中所有元素之积等于 中所有元素之积，即 。因 ，故 。又 ，所以 。此时 ， ，故 ，解得 ．因此 ． 2、 综合题 1．已知集合 ，若 ，则实数 的值为 _____ ． 2．若 ，集合 ，则 _____。 3．若 是 的真子集，则实数 的取值范围是_____ ． 4．已知集合 ，则 _____． 5．已知集合 ，则下列式子中表示不正确的是( ）． A． B． C． D． 6．设集合 ，集合 ，则下列关系中正确的是( ) A． B． C． D． 7．已知集合 ，则 中元素的个数为( ) A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 8．已知集合 ，则( ) A． B． C． D． 9．已知集合 ，若 ，则实数 ( ) ． A． 1 B． 1 或 C． 0 D． 1,0 或 10．已知集合 ，则 ( )． A． B． C． D． 11．已知集合 或 ，若 ，则实数 的取值范围为_______ ． 12．设集合 ，若 ，则实数 必须满足( ) ． A． B． C． D． 参 考 答 案 1．因为 ，所以 或 ．又 ，所以 ．经检验， 满足题意． 2．因为 ，所以 ，即 ，从而 ．故 ． 3．由题意知 不是空集，所以 ． 4．因为 ，所以 或 解得 或 0 ． 5．易知 ，所以选项 B 不正确，应改为 或 ．选 B． 6．由题意得 ，所以 ．选 D． 7． 表示圆 上所有点的集合， 表示直线 上所有点的集合，故 表示直线与圆的交点．由图1．1可知交点的个数为 2 ，即 中元素的个数为 2 ．选 B． 8．由题意得 ，画出数轴可知 ．选 B． 9．由题意得 ．当 时， ；当 时， ；当 时， ．故 或 ． 图 1.1选 D． 10．因为集合 ，所以 ．选 D． 11．因为 ，所以： （1）当 时， ，解得 ，符合题意． （2）当 时， 或 解得 或 即 ． 综上所述，实数 的取值范围为 ． 12．因为 或 ，所以 或 ，即 或 ，故 ．选 D． 学科网（北京）股份有限公司 $$