四边形中的对角互补和含60°角菱形 解题模型专项训练 2024—2025学年浙教版数学八年级下册

四边形中的对角互补和含60°角菱形—浙教版数学八下解题模型专项训练 一、四边形中的对角互补模型 1．如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B为y轴正半轴上一点，C为y轴负半轴上一点，连接AB，AC，过点 C作CD⊥CA，且使 点D 在第一象限，连接BD，若∠ABD=90°，则点B 的坐标为　 　. 2．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD. （1）【探究发现】如图①，若∠BAD=，∠ABC=∠ADC=.求证：AD+AB=AC； （2）【拓展迁移】如图②，若∠BAD=，∠ABC+∠ADC=. ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC=10，求四边形ABCD的面积。 3．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”。 如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，则四边形ABCD是对补四边形。 图1 图2 图3 备用图 【应用】 （1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C=　 　； （2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，DC=2，则BC=　 　； （3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD。 ①求证：BC=CD； ②若∠BAD=60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由。 4．【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，若，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”，于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形。 那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究。 （1）【概念辨析】 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有 ▲ （填序号）。 （2）【深入探究】 学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，其中，得到猜想：AC平分．请对猜想进行证明． （3）【拓展应用】 如图3，在“邻等对补四边形ABCD”中，，若，求四边形ABCD的面积． （4）如图4，在边长为6的等边三角形ABC中，是AB的中点，是AC边上一动点，将沿ED翻折得到，延长EF交直线BC于点．若，则AE的长为 ▲ 二、60°角菱形 5． 如图， 在菱形 中， ， 点 从点 出发， 沿折线 方向移动， 移动到点 停止．在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是(　　) A．直角三角形 等边三角形 等腰三角形 直角三角形 B．直角三角形 等腰三角形 直角三角形 等边三角形 C．直角三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形 D．等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰三角形 6． 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD交于点E，∠DAB=60°，点 F，H分别为AD，BC上的点，且线段 FH过点 E，若四边形BFDH是矩形，则∠DEF的度数为 (　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 7．如图，在菱形ABCD中，O为中心点， 点E，F分别是边AB，AD 上的点，连接OE，OF.若 则图中阴影部分的面积为 (　　) A． B． C． D． 8．如图， 在菱形纸片 中， ， 将菱形纸片翻折， 使点 落在 的中点 处，折痕为 ， 点 分别在边 上， 则 的值为(　　) A． B． C． D． 9．如图，以正六边形ABCDEF的边CD为边向内作等边△CDG，连结EC，则∠GCE＝　 　°． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线 BD 的中点， 轴且 将菱形ABCD绕点O旋转，使点B落在x轴上，则旋转后点A对应点的坐标为　 　. 11．如图①是某厂家生产的一款地毯，图案由许多相同的菱形组成，图②为其示意图，若菱形的边长为26cm，点B，F之间的距离为 78cm，则 　 　 °厂家为了使图案更美观，不改变菱形的边长，将点A，C之间的距离调节到20cm，则A，E之间的距离为　 　 cm. 12．如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 13．已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点． （1）如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：． （2）如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求； （3）如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：． 14．在菱形ABCD中，，点E，F分别是边AB，BC上的点． （1）【尝试初探】如图1，若，求证：； （2）【深入探究】如图2，点G，H分别是边CD，AD上的点，连接EG与FH相交于点O且，求证： （3）【拓展延伸】如图3，若点E为AB的中点，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求EG的长． 答案解析部分 1．【答案】(0，3) 2．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝， ∴∠DAC＝∠BAC＝， ∵∠ADC＝∠ABC＝， ∴∠ACD＝∠ACB＝， ∴AD＝． ∴AD＋AB＝AC； （2）解：①AD＋AB＝AC， 理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F． ， ∵AC平分∠BAD， ∴CF＝CE， ∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝， ∴∠FBC＝∠EDC， 又∠CFB＝∠CED＝， ∴△CFB△CED， ∴FB＝DE， ∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF， 在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC， ∴AD＋AB＝AC； ②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝ ∴∠DAC＝∠BAC＝， 又∵AC＝10， ∴CE＝A， ∵CF＝CE，AD＋AB＝AC， ∴ ＝． 3．【答案】（1）80° （2） （3）解：①过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F。 ∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB ∴CE=CF ∵CE⊥AD，CF⊥AB ∴∠CED=∠CFB=90° ∵四边形ABCD是对补四边形 ∴∠B+∠CDA=180°， ∵∠CDE+∠CDA=180° ∴∠B=∠CDE ∴△CED≌△CFB(AAS) ∴CD=CB ②∵AC平分∠BAD， ∴∠EAC=∠BAC=∠BAD=30° ∵∠CED=∠CFB=90°，CE=CF ∴△ACE≌△ACF(AAS) ∴AE=AF ∵△CED≌△CFB(AAS) ∴ED=BF ∴AD+AB=AE-ED+AF+BF=2AE 在Rt△AEC中，∠EAC=30° ∴AE=AC ∴AD+AB=2AE=AC 4．【答案】（1）②④ （2）证明：过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K ∵四边形ABCD是“邻等对补四边形”， ∴∠B=180°-∠ADC=∠ADK ∵∠AHB=90°=∠K，AB=AD ∴△ABH≌△ADK ∴AH=AK ∵AH⊥BC，AK⊥CD ∴AC平分 （3）解：过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于K ∵ 四边形ABCD是“邻等对补四边形”， AB=AD ∴由(2)知：，△ABH≌△ADK ∴BH=DK ∵∠AHC=90°=∠K，AC=AC ∴△ACK≌△ACH ∴CH=CK ∵AC=6，∠ACH=30° ∴ ∴ ∴ ∴ ∵△ABH≌△ADK ∴ （4） 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】30 10．【答案】(0，2)或( 11．【答案】120；48 12．【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形AEDC是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴平行四边形AEDC是菱形. （2）解：连接，如图： ∵四边形是菱形，， ∴， ∵∠AOE=90°，AE=4， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴. 13．【答案】（1）证明：如图1，连接 四边形是菱形 是等边三角形 ， 是等边三角形 ， ； （2）解：如图2，连接，交于点M 四边形是菱形 ，，， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形 ， ， 又， ； ； （3）证明：如图3，连接交于点G，连接， 四边形是菱形 是等边三角形 ， ， 又， ， 是等边三角形 ， 即． 14．【答案】（1）证明：如图1，连接BD ∵菱形ABCD、， △ABD和△BCD都是等边三角形 ，， ， ， （2）证明：如图2，连接BD，过点D作交AB于点P，交BC于点Q 则，四边形DPEG和四边形DHFQ都是平行四边形 ， 由（1）可知， （3）解：①如图3，过点B作交CD于点M 则四边形BPDM和四边形BEGM都是平行四边形 ，， ∵点E为AB的中点，，， ，，， 由（1）可知， ②过点B作于点N 则， ，即 ， ， 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$