第一章 特殊平行四边形 单元测试 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试 一、选择题 1.如图，将图1中周长为16 cm的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，则图中阴影部分的周长为（　　） A.12 cm B.14 cm C.6 cm D.7 cm 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），以OA为一边作正方形OABC，则点B的坐标为（　　） A.（2，2） B.（2，﹣2） C.（2，2）或（2，﹣2） D.（2，2）或（﹣2，2） 3.矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是(　　) A.3 B. C.3－3 D.2－ 4.在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为(－1，0)，(x，y)，(－1，5)，(－5，z)，若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有(　　) A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法中错误的是(　　) A.平行四边形的对角线互相平分 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线相等 D.有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 7.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（　　） A.有两个角是直角的四边形是矩形 B.有三个角是直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.一组对边平行且相等的四边形是矩形 8.如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为(　　) A. B. C. D. 9.如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为(　　) A.1 B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 11.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 12.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　） A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.不变，等于 D.不变，等于 二、填空题 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝____________. 14.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． (1)当AC__________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求； (2)这种做法的根据是__________________________________________________________． 15.在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为__________． 16.如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，下列结论①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP.其中正确的结论是____________.(请填序号) 17.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，PG________最小值.（填写“有”或“无”） 三、解答题 18.如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F. (1)求证：△BEF≌△CDF； (2)连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 19.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE，AE＝CF. (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？ 20.小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB=OD．求证：四边形ABCD是菱形，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内的（　　）中打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． （1）你补充的条件是：OA=OC． （2）证明： 21.如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF. (1)求证：四边形ABFE是平行四边形； (2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长． 22.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤25），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，将图1中周长为16 cm的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，则图中阴影部分的周长为（　　） A.12 cm B.14 cm C.6 cm D.7 cm 【答案】A 【解析】设①号正方形的边长为a cm，②号正方形的边长为b cm，则③号正方形的边长为（a+b）cm，④号正方形的边长为（2a+b）cm，⑤号长方形的长为（3a+b）cm，宽为（b﹣a）cm， 如图， ∴AD＝b﹣a+b+a＝2b cm，AB＝a+b+2a+b﹣b＝（3a+b）cm， ∴阴影部分图形的周长为6（a+b）cm， ∵图1长方形的周长为16 cm，∴b+3a+b+b+a+b＝4（a+b）＝8 cm， ∴a+b＝2 cm， ∴6（a+b）＝6×2＝12 (cm)， 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），以OA为一边作正方形OABC，则点B的坐标为（　　） A.（2，2） B.（2，﹣2） C.（2，2）或（2，﹣2） D.（2，2）或（﹣2，2） 【答案】D 【解析】∵点A的坐标为（0，2），四边形OABC是正方形， ∴点B可能在第一象限，也可能在第二象限， ∴点B的坐标为（2，2）或（﹣2，2）. 3.矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是(　　) A.3 B. C.3－3 D.2－ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，∴∠BAM＝∠AMD， ∵AM平分∠DMB，∴∠AMD＝∠AMB，∴∠BAM＝∠AMB，∴BM＝AB＝2， ∴CM＝＝＝， ∴DM＝CD－CM＝2－. 4.在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为(－1，0)，(x，y)，(－1，5)，(－5，z)，若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有(　　) A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【解析】如图， ∵A(－1，0)，C(－1，5)，∴AC⊥x轴，且AC＝5－0＝5，过点D(－5，z)作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝－5上， ∵A，B，C，D四个点构成的四边形是菱形，∴当DC＝DA，z有1个值， 当DC＝AC，则42＋(5－z)2＝52，z有两个值， 当AD＝AC，则42＋z2＝52，则z有两个值， 综上所知，符合条件的z的值有5个． 5.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P. ∴EP＋FP＝EP＋F′P. 由两点之间线段最短可知，当E，P，F′在一条直线上时，EP＋FP的值最小，此时EP＋FP＝EP＋F′P＝EF′. ∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD， ∵AF＝2，AE＝1，∴DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′＝AD＝3.∴EP＋FP的最小值为3. 6.下列说法中错误的是(　　) A.平行四边形的对角线互相平分 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线相等 D.有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 【答案】D 【解析】A. 对角线互相平分是平行四边形的一条重要性质，故该选项正确； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，故该选项正确； C．矩形的对角线相等，是矩形的重要性质，故该选项正确； D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，而不是一般的四边形，故该选项错误． 7.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（　　） A.有两个角是直角的四边形是矩形 B.有三个角是直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.一组对边平行且相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】有三个角是直角的四边形是矩形，故A错误； 有三个角是直角的四边形是矩形，且符合题意，故选项B正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，但不符合题意，故选项C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D错误. 8.如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】延长AE交DF于点G，如图所示， ∵AB＝5，AE＝3，BE＝4，∴△ABE是直角三角形， ∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形， ∴∠ABE＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠GAD＝∠EBA， 同理可得，∠ADG＝∠BAE， 在△AGD和△BEA中，∠EAB=∠GDA，AD=AB，∠ABE=∠DAG，∴△AGD≌△BEA(ASA)， ∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，∴EG＝4－3＝1，同理可得，GF＝1，∴EF＝＝. 9.如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为(　　) A.1 B. C. D. 【答案】D 【解析】延长AB至M，使BM＝AE，连接FM， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，∴AB＝AD，∠A＝60°， ∵BM＝AE，∴AD＝ME， ∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD， ∴∠MEF＋∠DEA＝120°，∠ADE＋∠DEA＝180°－∠A＝120°， ∴∠MEF＝∠ADE， ∴在△DAE和△EMF中，AD=ME，∠MEF=∠ADE，DE=EF， ∴△DAE≌EMF(SAS)， ∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°， 又∵BM＝AE，∴△BMF是等边三角形，∴BF＝AE， ∵AE＝t，CF＝2t，∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t， ∵BC＝4，∴3t＝4，∴t＝. 10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 【答案】D 【解析】如图，作BM⊥x轴于M． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM， ∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴△DAO≌△ABM，∴OA＝BM，AM＝OD， ∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5， ∴AD＝＝＝， ∴正方形ABCD的面积为34. 11.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，设AD与y轴交于点E， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB， ∵AD＝8，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8， ∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点，， ∵AD∥x轴，则∠DEO＝90°，∴∠EOD＝30°∴∴， ∵A，C关于O对称，∴. 12.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　） A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.不变，等于 D.不变，等于 【答案】C 【解析】连接AC，交BD于O，连接EO， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°， ∵EG是AP的垂直平分线，∴AG＝PG，∠AEG＝∠AOB＝90°，∴A，E，G，O四点共圆， ∴∠PAG＝∠EOB，∠APG＝∠PAG，∴∠EOG＝∠APG， ∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC， ∵AE＝PE，∴OE∥BC，∴∠EOG＝∠DBC＝∠ABC＝∠APG， ∵菱形ABCD固定，∴∠ABC的度数固定， 即∠APG的度数不变. 二、填空题 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝____________. 【答案】10° 【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°， ∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴CD＝BD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°， 由翻折变换的性质可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°， ∴∠ACB′＝∠B′CD－∠DCA＝10°. 14.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． (1)当AC__________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求； (2)这种做法的根据是__________________________________________________________． 【答案】等于 对角线相等的平行四边形为矩形 【解析】(1)∵两组对边分别平行，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形. (2)这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形． 15.在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为__________． 【答案】1＋ 【解析】∵在矩形ABCD中，BG平分∠ABC，∴∠A＝90°，∠ABG＝45°，∴∠AGB＝∠ABG＝45°，∴AB＝AG. 又∵AB＝1，∴BG＝. 又∵四边形BHDG为菱形，∴GD＝BG＝，∴AD＝AG＋GD＝1＋. 16.如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，下列结论①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP.其中正确的结论是____________.(请填序号) 【答案】①②④ 【解析】如图，∵P为正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∴PA＝PC，∠BCD＝90°， ∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形， ∴PC＝EF，∴PA＝EF，故②正确； ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°， ∵∠PFC＝∠BCD＝90°，∴PF∥BC，∴∠DPF＝45°， ∵∠DFP＝90°，∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确； 在△PAB和△PCB中，AB=CB，∠ABP=∠CBP，BP=BP，∴△PAB≌△PCB，∴∠BAP＝∠BCP， 在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP，故④正确； ∵点P是正方形对角线BD上任意一点，∴AD不一定等于PD，只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误. 17.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，PG________最小值.（填写“有”或“无”） 【答案】有 【解析】如图，连接PG， ∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，BO＝OD＝OC＝OA， ∴BD＝＝＝5， ∵点G是CD的中点，∴CG＝， ∵BD∥CF，AC∥DF，∴四边形CODF是平行四边形， ∵DO＝CO，∴平行四边形CODF是菱形，∴点G到各边的距离相等， ∵点P是四边形OCFD边上的动点，∴当PG⊥CF时，PG有最小值. 三、解答题 18.如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F. (1)求证：△BEF≌△CDF； (2)连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝CD，BE＝AB，∴BE＝CD. ∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF， 在△BEF与△CDF中，∵∠BEF=∠CDF，BE=CD，∠EBF=∠DCF， ∴△BEF≌△CDF(ASA). (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB， ∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形， ∴BF＝CF，EF＝DF， ∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC， ∴平行四边形BECD是矩形． 【解析】 19.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE，AE＝CF. (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？ 【答案】解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA. ∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在△ABF和△CDE中，∠BAC=∠DCA，∠ABF=∠CDE，AF=CE， 又∵∠ABF＝∠CDE， ∴△ABF≌△CDE(AAS). (2)当四边形ABCD满足AB＝AD时，四边形BEDF是菱形． 理由如下：连接BD交AC于点O， 如图所示，由(1)得△ABF≌△CDE，∴AB＝CD，BF＝DE，∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE. ∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．∴BD⊥AC. ∵BF＝DE，BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形． 【解析】 20.小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB=OD．求证：四边形ABCD是菱形，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内的（　　）中打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． （1）你补充的条件是：OA=OC． （2）证明： 【答案】解：（1）赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC； （2）证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【解析】 21.如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF. (1)求证：四边形ABFE是平行四边形； (2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长． 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°. ∴∠BCF＝180°－∠BCD＝180°－90°＝90°，∴∠D＝∠BCF. 在Rt△ADE和Rt△BCF中，∵AE=BF，AD=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BCF. ∴∠AED＝∠F，∴AE∥BF. ∵AE＝BF， ∴四边形ABFE是平行四边形． (2)∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠AED＝90°. ∵∠BEF＝∠DAE，∴∠BEF＋∠AED＝90°. ∵∠BEF＋∠AED＋∠AEB＝180°，∴∠AEB＝90°. 在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4，AB＝＝＝5. ∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝5. 【解析】 22.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤25），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】证明：（1）由题意得AE=2t，CD=4t， ∵DF⊥BC，∴∠CFD=90°， ∵∠C=30°，∴DF=CD=×4t=2t，∴AE=DF， ∵DF⊥BC，∴∠CFD=∠B=90°，∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形． （2）四边形AEFD能够成为菱形，理由是： 由（1）得，AE=DF， ∵∠DFC=∠B=90°，∴AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形， 若▱AEFD为菱形，则AE=AD， ∵AC=100，CD=4t，∴AD=100-4t，∴2t=100-4t，∴t=， ∴当t=时，四边形AEFD能够成为菱形． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$