专题01 相交线与平行线 解答题分梯度训练（4种类型40道）-【暑期培优】2024-2025学年七年级下册数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

专题01 相交线与平行线解答题分梯度训练（4种类型40道） 目录 【题型1 补全证明过程】 1 【题型2 平行线相关基础证明题】 11 【题型3 平行线相关含辅助线证明题】 22 【题型4 三角板相关的证明题】 41 【题型1 补全证明过程】 1．补全下面的推理过程． 如图，交于点 ，交于点 ， ，，．与平行吗？为什么？ 解：平行． 理由∶因为(已知)， 所以 (         )， 所以 (         )， 因为(已知)， 所以 ( )． 所以(         )， 所以(         )． 因为(已知)， 所以(等量代换)． 所以(内错角相等，两直线平行)． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解答本题的关键．由同位角相等，两直线平行可得，由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等可得，由此判定，由平行线的性质得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可解答． 【详解】理由∶因为(已知)， 所以(同位角相等，两直线平行)， 所以 ( 两直线平行，同旁内角互补)， 因为(已知)， 所以(等量代换 )． 所以同旁内角互补，两直线平行，， 所以(两直线平行，内错角相等)． 因为(已知)， 所以 (等量代换)． 所以(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 2．补全下列推理过程： 如图，直线，平分，，求的度数． 解：∵， _____（_____）． _____（_____）． 平分（已知）， _____（_____） _____ _____．（_____） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线定义；；；对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等，熟知上述概念是解题的关键．根据平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等，逐一填空即可解答． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，同旁内角互补）． 平分（已知）， ∴（角平分线定义） ∴ ．（对顶角相等） 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的判定和性质，根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 4．补全证明过程与依据． 已知：如图，平分．求证：． 证明： （     ） 平分 （     ） 又 （     ） 又 （     ） （     ） 【答案】垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明： （垂直的定义） 平分 （角平分线的定义） 又 （等角的余角相等） 又 （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 5．补全下面的证明过程． 如图，在三角形中，平分交于点，点在上，点在上，与相交于点，．求证：． 证明：（已知）， （对顶角相等）， ______， （______）， ______（______）． 平分， ______， ． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；2 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义证明即可． 【详解】解：证明：（已知）， （对顶角相等）， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 平分， ， ． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；2 6．补全下面的解答过程． 已知：如图，，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且．求证：． 证明：， __________（____________________）， 又， __________（____________________）， ____________________（____________________）， ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质得，再由，等量代换得，可证得，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， 又， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ． 7．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，，求的度数． 解：（已知） （___________） （已知） （___________） （___________） （___________） （已知） ． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行线的判定和性质，结合图形证明即可． 【详解】解：（已知）, （两直线平行，同位角相等）, （已知）, （等量代换）, （内错角相等，两直线平行）, （两直线平行，同旁内角互补）, （已知）, ． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 8．小明在学习《相交线与平行线》的过程中，遇到如图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图并填空． (1)用直尺和量角器画射线交的延长线于点，使得，请补全图形； (2)求证：．（请将下列证明过程补充完整） 证明：（已知）， （___________）． 即___________． ∵，（已知） ___________（___________）． ___________．（___________） 又，（已知） ___________．（等量代换） ．（___________）． 【答案】(1)见解析 (2)等式性质；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了画一个角等于已知角，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握的判定和性质． （1）根据题意画出图形即可； （2）先根据等式性质得出，根据平行线的性质得出，证明，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：（已知）， （等式性质）． 即． ∵，（已知） （两直线平行，内错角相等）． （等量代换） 又，（已知） （等量代换） ．（同位角相等，两直线平行）． 9．填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， （________）， （等量代换）． （________）． ________（________）． 又（已知） ________（等量代换）． ________________（________）． （________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，对顶角，熟练的利用平行线的判定与性质解决问题是解本题的关键． 根据对顶角的定义，等量代换，平行线的判定和性质进行填空即可． 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知） （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 10．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，点分别在上，，于点，，求证：． 证明：（______）， （______），（______）， （已知），（______）， （已知），______（______） （______） （______）． 【答案】已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】先证明，进而证明，由平行线的性质得到，则，即可证明． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义），（直角三角形的两个锐角互余）， （已知），（同角的余角相等）， （已知），（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键． 【题型2 平行线相关基础证明题】 11．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，同位角相等两直线平行，内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）根据同位角相等两直线平行，可证； （2）根据平行线的性质得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可得结论； （3）根据平行线的性质可得，，得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ （2）∵ ∴ ∵ ∵ ∴ （3）解：，，，， ，， ， ，， ， 12．如图，点是内的一点，已知，垂足分别为点，点．连接，点是上的一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，易得，有，即可得到结果； （2）根据题意，得到，利用内错角相等，两直线平行，证得结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的度数为 （2）由（1）得：， 又， ， ． 13．如图，直线，被，所截，交于点F， ，点P是上一点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得出，根据角平分线的性质可得，结合，根据内错角相等两直线平行即可证明； （2）根据同位角相等两直线平行得，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 14．如图，在中，过点E作直线，C为上一点，连接交于点G，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1），得到，进而推出，即可得证； （2）等量代换，得到，利用，得，，再由，求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 15．如图，在中，． (1)判断的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）先证明，结合，可得，从而可得结论； （2）由（1）知，，可得．结合，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：由（1）知，． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 16．如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，连接，连接并延长至点，连接，，． (1)求的度数； (2)若，请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意得出，根据得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）根据对顶角相等可得，进而得出，结合已知得出，根据内错角相等两直线平行，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知，， ， ， ， 又， ， ． 17．如图，在三角形中，点F，H分别在边上，连接，延长至点E，连接并延长交于点G，平分， ，． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由（1）可知，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：， ， ， 平分， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 18．如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）根据平行线的性质和角平分线定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 又， ， 又平分， ， ， ． 19．如图，点在直线上，点E、F、G在直线上，，连接、OF、OG，其中，． (1)证明：； (2)当时，请求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）证明，，结合，可得，进一步可得结论； （2）由题意设，，证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：， 设，， ∵， ，， ∵， ∴， ， ， 解得， ． 20．如图，三角形中，是上一点，，交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）由平行线的性质得到，进而得到，即可证明； （2）由平行线的性质得到，计算得到，根据三角形内角和即可求出的大小． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ， ． 【题型3 平行线相关含辅助线证明题】 21．如图1，已知，点在上，点在上，点在之间，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，交的延长线于点， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作的平行线，则，由平行线的性质可得，求出的度数即可得到答案； （2）①过点作，则，由平行线的性质可得，则可得到，由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，据此可得答案； ②如图，过点F作，则，证明，得到，则可得到，据此可得；由（2）①可得，则，由平角的定义得到，据此求出即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作的平行线， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点F作， ∴， ， ， ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 由（2）①可得， ∴ ∵， ∴ ． 22．如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)若点在线段上， ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，画出图形，写出与的数量关系，说明理由． 【答案】(1)①②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，解的和差运算，作出平行线的辅助线是解题的关键． （1）①过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解； ②过点C作，则得，从而求得；再由得，进而即可得到答案； （2）过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解； 【详解】（1）解：①如图，过点C作，则； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 过点C作， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：；理由： 过点C作， ∴； 由题意可得：； ∵， ∴， ∴． 23．如图，，的三角板的直角顶点为，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查平行线的性质，角平分线的定义，注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）过作，则，根据平行线的性质推出，进而得到，求出，再根据角平分线的定义即可解答； （2）设，则，求出，，根据（1）中的结论得出，解方程即可． 【详解】（1）解：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ，， ， ∵平分． ； （2）解：设，则， ∴，， 由（1）可知，，， ∴， ， ∵， ， 解得：， ． 24．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． （1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过P作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2），理由如下： 如图3，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）当P在延长线时，； 理由：如图4，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，，，之间的数量关系为或． 25．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解答此题的关键，难点类比思想在解题中的应用； （1）通过作辅助线，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等），结合已知，先证，再根据平行公理的推论得出结论． （2）先根据角平分线定义，得出，；再依据小问1结论，可知，；最后将与相加，把代入化简，求出的度数． （3）利用角平分线定义得到，；由，根据平行线性质得，进而推出；结合已知和，通过等量代换得出，从而求出的度数． 【详解】（1）证明：过点B作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴ ． （3）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 26．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算； （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差，即可求解； （2）过作，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，，结合角平分线的定义及角的和差，即可得证； 能根据题意添加辅助线，并能熟练平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 证明：过作，过作， ， ， ， ， ， ， 平分， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 27．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过点作，得到，推出，，得到； （2）①应用（1）的结论，求出，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到，由三角形外角的性质求出，由角平分线定义得到，因此． 【详解】（1）如图1，过点作， ， ． ，， ， ， ，，之间的数量关系为：， 故答案为：； （2）①如图2，，理由如下： ，， ， 由（1）知：， ； ②如图3，由（1）得：，     平分， ， ， ， ， 平分， ， ． 28．【感知】如图1，已知，，求的度数． 小马同学的思路是：过点P作，通过平行线的性质求．按照小马同学的思路，易求得______； 【迁移】如图2，点P是所在直线上方的一点，且，连接．若，求的度数； 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．求灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】感知：70；迁移：；应用： 【分析】本题考查了平行线的性质内容，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 迁移：根据平行线的性质得到，求出即可解答； 迁移：过点P作，得到，，由即可求解； 应用：过点C作，得到，从而求出，易证，推出，再根据，推出，由即可求解． 【详解】解：迁移：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 迁移：如图，过点P作，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 应用：如图，过点C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质可得，进而得出，即可得证； （2）过点作，根据平行线的性质可得，进而根据角平分线的定义得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）解：如图，过点作 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 30．如图，，、分别平分、． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据对顶角相等可得，根据已知可得，进而根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，进而可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵、分别平分、 ∴ ∴ 【题型4 三角板相关的证明题】 31．如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线．作直线，分别交直线，于点，． (1)如图1，求的度数为_____°； (2)如图2，将直角三角板绕顶点逆时针旋转，旋转角为，且．在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化． ①当点在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析 ②或 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质即可求解； （2）①利用三角板可知，则，由平行性质得出，再利用平角即可求解； ②分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下： ∵直角三角板中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故； ②当时，如图所示， ∵， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， 由（2）①可知， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴； 当时，（舍）， 综上，或． 32．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)填空：________； (2)若，的角平分线交直线于点． ①如图②，当时，求的度数； ②小明将三角板向左平移，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②的度数为或． 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：90； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点右侧时， ， ， ， ， ； 当点在点左侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 33．数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板（厚度忽略不计）与两条平行线的关系”为主题展开数学探究活动．已知直线． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在图①的基础上，在边上任取一点并过该点作，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，将三角板如图那样放置，角的顶点落在直线上，直线分别交三角板另外两边于两点，请猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，即可解答． （2）先求出，再根据，即可解答． （3）过点C，作，易证，可得，继而求出，代入化简，即可解答． 【详解】解：（1）∵ ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) ，理由如下： 过点C，作，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 34．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线，上，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求t的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 35．综合与探究 问题情境 学习《相交线与平行线》之后，慎思小组利用手中的一副三角板进行了如下探究：将一副三角板按图1所示方式摆放，，，，．点，A，在同一直线上，点和点在直线的上方，与交于点． 问题初探 （1）填空：的度数是______，与为同位角的是______． 深入探究 （2）如图2，保持不动，将绕点旋转，始终在的上方，始终在的下方． ①当时，求的度数． ②与是否存在不变的数量关系？若存在，请求出它们之间的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），和；（2）①；②存在．． 【分析】本题考查了平行线的性质，同位角的辨别，角的和差的计算．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据求解即可．根据同位角的定义可知与为同位角的是和. （2）①由“两直线平行，内错角相等”可得，再根据即可求出的度数． ②由，，两式相减即可得出． 【详解】（1），， ， 与为同位角的是和. 故答案为：， 和； （2）①由题可知，． ∵， ∴． ∴． ②存在． 由题可知，， ∴，． ∴． 即． 36．已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧． (1)如图，若，，则 ； (2)若的平分线交边于点． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)50 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质求出，结合，可推出，最后由得出即可； （2）①根据，可得，再根据角平分线性质得出，利用内错角相等证明平行即可；②根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质和平行线的性质得出，即可求出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：过点作，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 则， 故答案为：50． （2）解：①， ， ， ， 平分， ， 在直角三角形中，，， ， ， ， ， ； ②， ， 由①可知，， ， ， ，， 平分， ， ， ． 37．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【答案】（1）D （2），，， （3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键． （1）根据平行线的性质逐项判断即可； （2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可； （3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论． 【详解】解：（1）A、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 又∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意； 故选：D． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由：过点E作，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③不可能为，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的等腰，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行得到，再由即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，据此可得答案； ②过点作，则，则，再由即可求解； ③过点作，则，那么，，则，由角平分线的定义可得，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴，即； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ③不可能为，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵与的角平分线相交于点H， ∴， ∴． ∴不可能为． 39．一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图1叠放在一起，若固定三角形，改变三角形ACD的位置其中点A位置始终不变，可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，，并说明理由； (2)如图3中，当______时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出的度数及平行的直线． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等和外角的性质即可得到答案； （2）根据内错角相等两直线平行可得结论； （3）根据同旁内角互补，两直线平行得到结论． 本题属于三角形综合题，主要考查了平行线的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1， ，， ， ， ∴； （2）解：当时，，理由如下： ， ， ∴； 故答案为：； （3）解： ①如图4，当时，；理由如下： ∵， ， ∴ 当时，； ②如图5，当时，；理由如下： ∵， ∴， 当时，； ③如图6，当时，；理由如下： ∵ ∴ ∴， 当时，； ④如图7，当时，；理由如下： 连接BC， ∵ ， ， ， ∴， 当时，； ⑤如图8，当时，；理由如下： ∵ ∴， 当时，； ⑥如图9，当时，；理由如下： ∵ ， ∴， 当时，； ⑦如图10，当时，； ∵ 与AD重合， ∴， ∴， 当时，； ⑧如图11，当时，；理由如下： ∵， ∴， 当时， 40．如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，的度数为 ，的度数为 ． (2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数． (3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合邻补角定义可得，再由进行计算即可得解； （2）结合（1）中所求的，结合角平分线定义可解得，则； （3）设，则，，直接进行计算即可． 【详解】（1）解：依题得：， ， ， ． 故答案为：，． （2）解：，恰好平分， ， ． （3）解：设，则，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是几何图形中角度的计算、邻补角、角平分线定义、一元一次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握几何图形中角度的计算． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线解答题分梯度训练（4种类型40道） 目录 【题型1 补全证明过程】 1 【题型2 平行线相关基础证明题】 6 【题型3 平行线相关含辅助线证明题】 9 【题型4 三角板相关的证明题】 13 【题型1 补全证明过程】 1．补全下面的推理过程． 如图，交于点 ，交于点 ， ，，．与平行吗？为什么？ 解：平行． 理由∶因为(已知)， 所以 (         )， 所以 (         )， 因为(已知)， 所以 ( )． 所以(         )， 所以(         )． 因为(已知)， 所以(等量代换)． 所以(内错角相等，两直线平行)． 2．补全下列推理过程： 如图，直线，平分，，求的度数． 解：∵， _____（_____）． _____（_____）． 平分（已知）， _____（_____） _____ _____．（_____） 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 4．补全证明过程与依据． 已知：如图，平分．求证：． 证明： （     ） 平分 （     ） 又 （     ） 又 （     ） （     ） 5．补全下面的证明过程． 如图，在三角形中，平分交于点，点在上，点在上，与相交于点，．求证：． 证明：（已知）， （对顶角相等）， ______， （______）， ______（______）． 平分， ______， ． 6．补全下面的解答过程． 已知：如图，，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且．求证：． 证明：， __________（____________________）， 又， __________（____________________）， ____________________（____________________）， ． 7．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，，求的度数． 解：（已知） （___________） （已知） （___________） （___________） （___________） （已知） ． 8．小明在学习《相交线与平行线》的过程中，遇到如图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图并填空． (1)用直尺和量角器画射线交的延长线于点，使得，请补全图形； (2)求证：．（请将下列证明过程补充完整） 证明：（已知）， （___________）． 即___________． ∵，（已知） ___________（___________）． ___________．（___________） 又，（已知） ___________．（等量代换） ．（___________）． 9．填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， （________）， （等量代换）． （________）． ________（________）． 又（已知） ________（等量代换）． ________________（________）． （________）． 10．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，点分别在上，，于点，，求证：． 证明：（______）， （______），（______）， （已知），（______）， （已知），______（______） （______） （______）． 【题型2 平行线相关基础证明题】 11．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的度数． 12．如图，点是内的一点，已知，垂足分别为点，点．连接，点是上的一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 13．如图，直线，被，所截，交于点F， ，点P是上一点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，在中，过点E作直线，C为上一点，连接交于点G，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．如图，在中，． (1)判断的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 16．如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，连接，连接并延长至点，连接，，． (1)求的度数； (2)若，请判断与是否平行，并说明理由． 17．如图，在三角形中，点F，H分别在边上，连接，延长至点E，连接并延长交于点G，平分， ，． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 18．如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 19．如图，点在直线上，点E、F、G在直线上，，连接、OF、OG，其中，． (1)证明：； (2)当时，请求出的度数． 20．如图，三角形中，是上一点，，交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的大小． 【题型3 平行线相关含辅助线证明题】 21．如图1，已知，点在上，点在上，点在之间，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，交的延长线于点， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 22．如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)若点在线段上， ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，画出图形，写出与的数量关系，说明理由． 23．如图，，的三角板的直角顶点为，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 24．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 25．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，求的度数． 26．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 27．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 28．【感知】如图1，已知，，求的度数． 小马同学的思路是：过点P作，通过平行线的性质求．按照小马同学的思路，易求得______； 【迁移】如图2，点P是所在直线上方的一点，且，连接．若，求的度数； 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．求灯头与水平线的夹角的度数． 29．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 30．如图，，、分别平分、． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型4 三角板相关的证明题】 31．如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线．作直线，分别交直线，于点，． (1)如图1，求的度数为_____°； (2)如图2，将直角三角板绕顶点逆时针旋转，旋转角为，且．在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化． ①当点在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，直接写出旋转角的度数． 32．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)填空：________； (2)若，的角平分线交直线于点． ①如图②，当时，求的度数； ②小明将三角板向左平移，直接写出的度数（用含的式子表示）． 33．数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板（厚度忽略不计）与两条平行线的关系”为主题展开数学探究活动．已知直线． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在图①的基础上，在边上任取一点并过该点作，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，将三角板如图那样放置，角的顶点落在直线上，直线分别交三角板另外两边于两点，请猜想与的数量关系并说明理由． 34．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线，上，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求t的值； 35．综合与探究 问题情境 学习《相交线与平行线》之后，慎思小组利用手中的一副三角板进行了如下探究：将一副三角板按图1所示方式摆放，，，，．点，A，在同一直线上，点和点在直线的上方，与交于点． 问题初探 （1）填空：的度数是______，与为同位角的是______． 深入探究 （2）如图2，保持不动，将绕点旋转，始终在的上方，始终在的下方． ①当时，求的度数． ②与是否存在不变的数量关系？若存在，请求出它们之间的数量关系；若不存在，请说明理由． 36．已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧． (1)如图，若，，则 ； (2)若的平分线交边于点． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 37．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 38．如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 39．一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图1叠放在一起，若固定三角形，改变三角形ACD的位置其中点A位置始终不变，可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，，并说明理由； (2)如图3中，当______时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出的度数及平行的直线． 40．如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，的度数为 ，的度数为 ． (2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数． (3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$