精品解析：广东省东莞市虎门外语学校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年度第二学期期中考试 八年级数学 说明：1．全卷共4页，满分120分．考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应的该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥0 B. x≥﹣1 C. x≥1 D. x≤﹣1 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组数中，是勾股数的是（　　） A. 5，12，13 B. 4，5，6 C. 2，3，4 D. 1，， 4. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若和是直线上的两点， 且， 则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 6. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，分别是的边，上的中点，若，则是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 8. 下列关于矩形的说法，正确的是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线互相垂直且平分 D. 矩形的对角线相等且互相平分 9. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC=6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（　　） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 10. 如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 二、填空题(每小题4分，共28分) 11. 如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____． 12. 已知正比例函数经过第一、三象限，则常数m的取值范围是_________ 13. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 14. 如图，在平行四边形中，，，的角平分线，则的值为______． 15. 在数轴上如图，，，以原点O为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点 A，则点 A所表示的数是__________． 16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．若∠BDE＝15°，则∠DOE＝_____． 17. 如图，在正方形中，，E为边上一点，．F为对角线上一动点（不与点B、D重合），过点F分别作于点M、于点N，连接，当F运动到中点时，的长度为______；F在运动过程中，的最小值为______． 三、解答题(一)(每小题6分，共18分) 18. 计算： （1）； （2）． 19. 已知等腰三角形的周长为，腰长为 ，底边长为 ． （1）求y与x的函数关系式． （2）求自变量x的取值范围． 20. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝ （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE＝90°． 四、解答题(二)(每题8分，3题共24分) 21. 周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8h后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程（km）与小明离家时间（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）小明家到滨海公园的路程是多少？小明在中心书城逗留了多久？ （2）小明出发几小时后爸爸驾车出发？ （3）求小明从中心书城到滨海公园的平均速度和小明爸爸驾车的平均速度； （4）爸爸驾车经过几小时追上小明？ 22. 如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积． 23. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、解答题(三)(每题10分，2题共20分) 24. 如图1， 梯形中，，， 点 E为上一点， 且，点F为上一动点， 以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形内部或边上， 设． （1）填空∶ ； ． （2）如图2，若四边形为正方形时，求出x的值． （3）如图3，若菱形的顶点 G恰好在边上，直接写出x的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，， 连接，，平移至 （点B与点A对应，点C与点 D对应），即，，连接． （1）直接写出点 D的坐标为 （2）判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）如图1， 点E为边上一点， 连接，平分交于 F， 连接． 若，求的长； （4）如图2， N为边的中点． 若，连接，请直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度第二学期期中考试 八年级数学 说明：1．全卷共4页，满分120分．考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应的该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥0 B. x≥﹣1 C. x≥1 D. x≤﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式2x﹣2≥0，计算即可得到x的取值范围． 【详解】由题意知2x﹣2≥0， 解得x≥1， 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点为二次根式有意义的条件，二次根式有意义满足的条件为：＞0． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、＝1，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，也不含开方开得尽的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 3. 下列四组数中，是勾股数的是（　　） A. 5，12，13 B. 4，5，6 C. 2，3，4 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意； C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意； D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 4. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，需根据条件逐一分析是否符合平行四边形的判定定理． 【详解】如图， A．邻边相等无法保证对边相等或平行，可能形成筝形（邻边相等但非平行四边形），故不能判定为平行四边形． B．仅一组对边平行且对角线相等，可能为等腰梯形（非平行四边形），故不能判定． C．根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，因此该条件成立． D．一组对边平行且另一组对边相等，可能为等腰梯形（非平行四边形），故不能判定． 故选C． 5. 若和是直线上的两点， 且， 则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由直线可知，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 6. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，即可． 【详解】∵在中，，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用． 7. 如图，，分别是的边，上的中点，若，则是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别是的边，上的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 8. 下列关于矩形的说法，正确的是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线互相垂直且平分 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质： 1．矩形的四个角都是直角 2．矩形的对角线相等 3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）． 5．对边平行且相等 6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可． 解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误； B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误； C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误； D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确． 故选D． 9. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC=6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（　　） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，菱形ABCD的面积为24， ∴S菱形ABCD=AC•BD=×6×DB=24， 解得：BD=8， ∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO， 又∵点E是AB中点， ∴OE是△DAB的中位线， 在Rt△AOB中，AB==5， 则OE=AD=AB=2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键． 10. 如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意，“小别墅”的上面是一个等腰三角形，它的面积是正方形ABCD的一半，而“小别墅”的下面的面积是正方形ABCD的一半，并且下面是两个相等的矩形， 所以图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的 即阴影部分的面积= 考点：正方形 点评：本题考查正方形，解答本题的关键是通过审题，弄清楚阴影部分的面积与正方形面积之间的关系，考生要善于观察 二、填空题(每小题4分，共28分) 11. 如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____． 【答案】##16米 【解析】 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得， 在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）． 所以大树的高度是（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 12. 已知正比例函数经过第一、三象限，则常数m的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，依据题意，由时，正比例函数的图象经过第一、三象限，列式计算即可得解． 【详解】解：由正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 14. 如图，在平行四边形中，，，的角平分线，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD＝8，DCAB，AD＝BC＝5，然后证明AD＝DE＝5，进而可得EC长，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，， ∴AB＝CD＝8，DCAB，AD＝BC＝5， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝5， ∴EC＝CD−DE＝8−5＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；证出DE＝AD是解决问题的关键． 15. 在数轴上如图，，，以原点O为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点 A，则点 A所表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数、勾股定理，利用勾股定理求得，进而得，再根据点在数轴上的位置求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴点 A所表示的数是， 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．若∠BDE＝15°，则∠DOE＝_____． 【答案】135°##135度 【解析】 【分析】首先得出△CDE为等腰直角三角形，即可推出△OCD为等边三角形，得CO=CE，进而求出∠COE，即可得出答案． 【详解】∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥CB， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝45°，CD＝CE， ∵∠BDE＝15°， ∴∠ODC＝60°， 在矩形ABCD中，OD＝OC， ∴△ODC为等边三角形， ∴OC＝CD＝CE，∠OCD＝∠COD＝60°， ∴∠OCE＝30°， ∴∠COE＝（180°﹣∠OCE）＝75°， ∴∠DOE＝135°， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分且相等的性质是解题关键． 17. 如图，在正方形中，，E为边上一点，．F为对角线上一动点（不与点B、D重合），过点F分别作于点M、于点N，连接，当F运动到中点时，的长度为______；F在运动过程中，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、，证明四边形为矩形，得，根据正方形的性质，可得点A，F，C三点共线，从而得到；连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形，F为中点， ∴，， ∴点A，F，C三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴； 连接、，如图： ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求的最小值问题转化成求的长． 三、解答题(一)(每小题6分，共18分) 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先算乘法和零指数幂，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知等腰三角形的周长为，腰长为 ，底边长为 ． （1）求y与x的函数关系式． （2）求自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形三边关系及一元一次不等式组的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题关键． （1）根据等腰三角形的周长腰长底边长，可得出y与x的函数关系式； （2）根据三角形两边之和大于第三边，得，且，可得关于x的不等式组，解不等式组即可； 【小问1详解】 解：由题意得，， 则； 【小问2详解】 解：两边之和大于第三边，，且， 所以， 解得， 所以x的取值范围是：． 20. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝ （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE＝90°． 【答案】（1） （2）证明：∵AC＝，CE＝2，AE＝， ∴AC2+CE2=65= AE2 ∴∠ACE＝90°． 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理可以求得AC、CE的长； （2）利用勾股定理的逆定理可以证明∠ACE＝90°． 【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝． ∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝=2， （2）略 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键． 四、解答题(二)(每题8分，3题共24分) 21. 周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8h后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程（km）与小明离家时间（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）小明家到滨海公园的路程是多少？小明在中心书城逗留了多久？ （2）小明出发几小时后爸爸驾车出发？ （3）求小明从中心书城到滨海公园的平均速度和小明爸爸驾车的平均速度； （4）爸爸驾车经过几小时追上小明？ 【答案】（1）小明家到滨海公园的路程是，小明在中心书城逗留了小时 （2）小明出发小时后爸爸驾车出发 （3）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为，小明爸爸驾车的平均速度为 （4）爸爸驾车经过小时追上小明 【解析】 【分析】（1）根据图象中数据即可得出结论； （2）根据图象即可得出结论； （3）根据路程等于速度与时间的乘积，结合图象分析出小明和爸爸的路程和时间即可分析小明和爸爸行驶的平均速度； （4）设爸爸驾车经过小时追上小明，根据爸爸追上小明时爸爸与小明的路程相等，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，小明家到滨海公园的路程为； 小明在书城中心逗留的时间为：（）； 答：小明家到滨海公园的路程是 30 km ，小明在中心书城逗留了 1.7 小时． 【小问2详解】 由图可知，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发； 【小问3详解】 小明从中心书城到滨海公园的平均速度为：（）； 小明爸爸驾车的平均速度为：（）； 答：明从中心书城到滨海公园的平均速度为12km/h，小明爸爸驾车的平均速度为30km/h． 【小问4详解】 设爸爸驾车经过小时追上小明，则根据题意得 ， 解得， 答：小明爸爸驾车小时后追上小明． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，以及行程问题中的追及问题，理清各段图象的实际意义是解题的关键． 22. 如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC． 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点， ∴AE=CE=BC． 同理，AF=CF=AD． ∴AF=CE． ∴四边形AECF是平行四边形． ∴平行四边形AECF是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形； （2）连接EF交于点O，利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理，可以求得AC的长，再利用三角形中位线的性质，可求EF的长，最后利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积． 【详解】（1）略 （2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10， ∴AC=5，AB=． 连接EF交于点O， ∴AC⊥EF于点O，点O是AC中点． ∴OE=． ∴EF=． ∴菱形AECF的面积是AC·EF=． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线的性质．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 23. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）连接，与交于点O，由（1）则可得，再根据正方形的性质求出的长，然后在中，利用勾股定理可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，与交于点O， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题(三)(每题10分，2题共20分) 24. 如图1， 梯形中，，， 点 E为上一点， 且，点F为上一动点， 以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形内部或边上， 设． （1）填空∶ ； ． （2）如图2，若四边形为正方形时，求出x的值． （3）如图3，若菱形的顶点 G恰好在边上，直接写出x的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于M，则四边形是矩形，则，，，则是等腰直角三角形，；由勾股定理即可求得； （2）证明，则，； （3）过点G作于点P，连接，由菱形的性质可证明，则；由得，由此得；分别在中，由勾股定理求得；再利用建立方程即可求得x的值． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于M， ∵， ∴， ∴, ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 由勾股定理得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点G作于点P，连接； ∵， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即； 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题是四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，关键在于作出合适的辅助线，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，， 连接，，平移至 （点B与点A对应，点C与点 D对应），即，，连接． （1）直接写出点 D的坐标为 （2）判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）如图1， 点E为边上一点， 连接，平分交于 F， 连接． 若，求的长； （4）如图2， N为边的中点． 若，连接，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据平移至 （点B与点A对应，点C与点 D对应），，，确定平移方式，再根据，可得点 D的坐标； （2）由，，得四边形为平行四边形，再由勾股定理得为直角三角形，即为直角，故四边形为矩形； （3）证明、得到，，，，而，，即可求解； （4）如图，连接，取的中点H，连接，，求出，，根据三角形三边关系可得结论． 【小问1详解】 解：∵平移至 （点B与点A对应，点C与点 D对应），，， ∴平移的方式为向左平移4个单位，再向上平移4个单位， ∵， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，证明如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由点A、B、C坐标得：，，， 则， 故为直角三角形，即为直角， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：由点A、D的坐标得，， ∵平分，则， 在线段上取一点G，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， 则， 而， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：如图，连接，取的中点H，连接，， ∵，，， ∴，， ∵点H是中点，点N是中点， ∴，， 故的取值范围为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，平行四边形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $