暑假结业测试卷（范围：第1、2、3章）（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

暑假结业测试卷（范围：第1、2、3章）（提高篇） 【苏教版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川南充·阶段练习）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 6．（5分）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2025·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·青海海南·期中）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 11．（6分）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于点、（其中），与的准线交于点，下列结论正确的是（  ） A． B． C．为线段中点 D．的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 13．（5分）（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 14．（5分）（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 18．（17分）（24-25高三下·湖南株洲·期中）设椭圆经过点，其离心率. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积. 19．（17分）（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 (1)求抛物线C的方程; (2)若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（范围：第1、2、3章）（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川南充·阶段练习）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由点斜式方程即可求解； 【解答过程】由于倾斜角为，所以， 所以直线方程为：， 整理得：， 故选：A. 2．（5分）（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，可求抛物线的方程，从而可求准线方程. 【解答过程】因为为抛物线上一点，所以，解得， 所抛物线的方程为，所以准线方程为. 故选：C. 3．（5分）（24-25高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可设点，PQ中点，利用M和Q的关系得到，再通过点是圆上的一个点，代入圆方程化简即为的轨迹方程。 【解答过程】设，PQ中点， ∴，即， 又∵点是圆上的一个点， ∴，化简得， ∴的轨迹方程为. 故选：A. 4．（5分）（24-25高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【解答过程】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 5．（5分）（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 【解题思路】由条件分和两类情况，结合余弦定理求解即可. 【解答过程】在第一象限，，又为等腰三角形， 当时，， 又，则； 当时，， 又， 解得或（舍去），则； 故的离心率为或2. 故选：B. 6．（5分）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 7．（5分）（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【解答过程】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 8．（5分）（2025·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先设点的坐标，然后将的坐标代入方程中，相减，构造出直线，的斜率，相乘转化只含有的表达式，再根据的关系以及椭圆的离心率的取值范围是建立不等式，求出直线，斜率之积的取值范围即可. 【解答过程】设， 由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称， 所以且， 由题意知：，两式相减得： ， 即， 又， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即， 所以， 即， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·青海海南·期中）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论直线l是否过原点，结合截距式方程运算求解即可. 【解答过程】当直线l过原点时，直线l的方程为，即； 当直线l不过原点时，设直线l的方程为， 则，解得， 则直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程可能是或. 故选：BD. 10．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 【解题思路】根据两点间距离求出的长度，计算出的长度判断A；根据直线斜率存在和不存在别设出直线的方程，再根据直线与圆相切求出方程判断B；根据与是全等的直角三角形求出四边形面积判断C；根据求出判断D. 【解答过程】圆的圆心为，半径为，因为，， 所以，故A正确； 过且斜率不存在的直线方程为， 圆心到直线的距离，故与圆相切， 设过点且斜率存在的直线方程为， 即，若与圆相切， 则，即，即， 所以直线，的方程为和，故B错误； 因为与是全等的直角三角形， 所以四边形的面积为，故C正确； 因为，所以四边形的面积为， 解得，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于点、（其中），与的准线交于点，下列结论正确的是（  ） A． B． C．为线段中点 D．的面积为 【解题思路】求出直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出，，推出，可判断A项；解方程得出点、的坐标，根据抛物线的定义求出的值，可判断B项；求出点，得出线段中点的坐标，即可判断C项；根据B可得出，进而求出点到直线的距离，即可得出面积，判断D项. 【解答过程】 由已知可得，，准线，直线的方程为. 联立直线的方程与抛物线的方程，可得，. 由韦达定理可得，，. 又，，所以， 又，所以，故A项错误； 对于B项，结合图象，解可得，，. 过点作，垂足为，则. 根据抛物线的定义可得，，同理可得，故B项正确； 对于C项，因为，所以，则点. 将代入直线的方程为可得，，即. 所以，线段中点坐标为，恰好为点，故C项正确； 对于D项，. 点到直线，即的距离为， 所以，的面积，故D项错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【解题思路】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【解答过程】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 13．（5分）（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【解题思路】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【解答过程】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 【解题思路】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【解答过程】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【解题思路】（1）利用点到直线的距离为半径可求切线方程，注意就斜率是否存在分类讨论； （2）利用动点转移法可求点的轨迹方程. 【解答过程】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或. （2）设点则，由点是的中点得， 所以① ，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得  化简得点的轨迹方程是. 17．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【解题思路】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【解答过程】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    18．（17分）（24-25高三下·湖南株洲·期中）设椭圆经过点，其离心率. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积. 【解题思路】（1）根据椭圆上一点的坐标以及离心率列出方程组，解方程可得结果； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，根据点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出三角形面积. 【解答过程】（1）因为椭圆经过点，其离心率， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为. （2） 由得，，， 设，则， 所以.          因为点到的距离为， 所以. 19．（17分）（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 (1)求抛物线C的方程; (2)若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点. 【解题思路】（1）先求得抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离求解； （2）当直线l的斜率存在，不妨设l的方程为：，与抛物线方程联立，由，结合韦达定理求解； 【解答过程】（1）解：抛物线的焦点F为， 双曲线的渐近线方程为：，即：， 则，解得， 故抛物线C的方程为： （2）证明：若直线l的斜率存在，不妨设为，则l的方程为：， 与抛物线方程联立得，消去y得：， ，即时， 设，，则，， 由可得：，即， 亦即：， 将，代入上式得：， 又即：， 所以直线l的方程为：，即，故直线l过定点， 若直线l的斜率不存在，设，，由可得：， 又，联立解得：或舍， 此时直线l的方程为，即直线l过点， 综上可得：直线l过定点 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$