精品解析：2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学九年级下学期中考一模数学试题

机密★启用前 试卷类型：A 2025年陕西省初中学业水平考试 数学预测卷（一） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 6．版权所有，翻印必究． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A 1 B. 0 C. D. 2. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，中国代表团以32金27银26铜的成绩位列金牌榜，奖牌榜第一．该运动会领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，为斜边的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y=kx﹣k的图象可能是下图中的（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. D. 该二次函数图象与轴只有一个交点 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标为_______． 10. 如图，在中，，，，则______． 11. 如图，在菱形中，，，过点作于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是______． 12. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为3，则的值为________________． 13. 如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程： 16. 化简：． 17. 如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，，，，，均是上的点，，，求证：． 19. 2024年12月4日，我国申报“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．虽然春节已过，但新年的喜悦和希望仍然在我们心中回荡，为此张老师在班会上，提议同学从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B．吃饺子”的概率是______； （2）若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2万元，今年投入图书购置经费2.42万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 21. 巍巍宝塔山，滚滚延河水，宝塔山是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征．实验中学组织学生开展综合实践活动，张阳带着测角仪和皮尺去测量宝塔山的高度．如图，测角仪高，在点处放置测角仪，测得塔顶的仰角为，然后用皮尺测得测角仪底部到宝塔山底部的距离，，，求宝塔山的高度．（参考数据：，，） 22. 近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 23. 粮食安全是社会稳定的基石，耕地保护是粮食安全的根本保障．阳光中学与当地地质博物馆联合开展“耕地保护”教育活动．活动结束后对全校学生进行“耕地保护”相关知识测试．张老师从八、九年级学生中各随机抽取了10名学生的成绩（满分100分），整理如下：八年级10名学生的成绩：，，，，，，，，，． 九年级10名学生成绩的统计图如下： （1）八年级这10名学生成绩的众数是______分，中位数是______分； （2）求九年级这10名学生平均成绩； （3）若该校八年级有400名学生，九年级有500名学生，估计这次测试八、九年级学生成绩在90分以上的有多少人？ 24. 如图，为直径，直线是的切线，切点为点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 25. 明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中学科技小组同学运用信息技术模拟火箭运行过程．如图2，以发射点为原点，地面为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为时，距离地面，当火箭距离发射点水平距离为时，距离地面． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当火箭距离发射点的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多少千米？ 26. 问题背景：（1）如图1，点A在上，，圆心到直线距离，，求的最小值； 问题解决：（2）如图2，张伯伯家有一块长方形荒地，其中，，张伯伯打算在这片空地的边，上分别取点，，修建一条笔直的小路．按照规划要求，过点修建小路，且于点，计划在内修建一个花园，在其余部分种植蔬菜，为了尽可能多种植蔬菜，张伯伯希望花园的面积尽可能小，花园的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 试卷类型：A 2025年陕西省初中学业水平考试 数学预测卷（一） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 6．版权所有，翻印必究． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法运算． 直接根据减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，中国代表团以32金27银26铜的成绩位列金牌榜，奖牌榜第一．该运动会领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图. 根据从正面看得到的图形是主视图，即可得出答案． 【详解】解：它的主视图是： ， 故选：B． 3. 如图，在中，，为斜边的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半. 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵，为斜边的中点，， ∴ 故选：C． 4. 不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集． 先去分母，再移项合并同类项即可． 【详解】解：去分母得：， 移项合并同类项得：， 故选：A． 5. 二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．题目中已给出交点坐标为和，因此方程的解可直接得出． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，说明当时，对应的值为2和． 因此，方程的解为和． 故选D． 6. 已知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y=kx﹣k的图象可能是下图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象经过第一,三象限可得:, 因此在一次函数中,,根据直线倾斜方向向右上方,直线与y轴的交点在y轴负半轴,画出图象即可求解. 【详解】根据正比例函数的图象经过第一,三象限可得: 所以, 所以一次函数中,, 所以一次函数图象经过一,三,四象限, 故选D. 【点睛】本题主要考查一次函数图象象限分布性质,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象图象的象限分布性质. 7. 如图，在的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质及圆周角定理，掌握圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键，先求出，再根据圆周角定理求出结论即可． 【详解】解：在的内接四边形中，， ， ， 故选：A． 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. D. 该二次函数图象与轴只有一个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可． 【详解】解：分别将，，代入得： ， 解得：， 即解析式为． A：，开口向下，错误； B：对称轴，开口向下，当时，y随x增大而减小，正确； C：当时，，错误； D：判别式，与x轴有两个交点，错误； 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标为_______． 【答案】（3，1） 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得答案． 【详解】根据二次函数的性质,由顶点式直接得出顶点坐标为（3，1）． 故答案是（3,1）． 【点睛】本题主要考查二次函数性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线 x=h，顶点坐标为（h，k）． 10. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理求出的长，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，，，过点作于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，掌握菱形的性质，解直角三角形和扇形的面积公式是解题的关键． 过点C作，首先根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出，再结合图形求出四边形的面积为：和，即可求解． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 菱形的面积为：， ∴四边形的面积为：， ， ， ∴图中阴影部分的面积是四边形的面积减去扇形的面积，即， 故答案为：． 12. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为3，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数值的几何意义，由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形的三点共圆，圆外一点到圆上的最短距离等知识点，先确定点的运动轨迹，再根据圆外一点到圆上的最短距离是这点与圆心的连线的交点，根据勾股定理求得结果即可； 【详解】解：如图所示， ∵，为矩形内一点， ∴点相等于是以为直径，点为圆心的圆上运动（下半圆）， ∴的最小值就是连接，交半圆与点，即此时为最小值， 在矩形中， ∴， 又∵， ， ∴， ∴． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了计算零指数幂、三角函数． 先计算平方、零指数幂、三角函数，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解法，比较简单，采用公式法即可求得，首先确定的值，然后利用判别式检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．解题的关键是准确应用一元二次方程的求根公式求解． 【详解】解：，，， ， ， ， 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则，从而完成求解． 根据异分母分式的减法先化简括号里的，再根据分式的除法化简． 【详解】解： ． 17. 如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、用尺规作图作已知线段的垂直平分线，利用尺规作图分别作的边和的垂直平分线，两直线交于点，点即为外接圆的圆心，以点为圆心，为半径画即为所求． 【详解】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画， 即为所求． 18. 如图，，，，，均是上点，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，圆周角定理，先根据圆周角定理得，再根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 19. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．虽然春节已过，但新年的喜悦和希望仍然在我们心中回荡，为此张老师在班会上，提议同学从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B．吃饺子”的概率是______； （2）若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“B．吃饺子”的结果有种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人摸到的习俗相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“B．吃饺子”的结果有种， ∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．吃饺子”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人摸到的习俗相同的结果有：，，，，共种， ∴他们两人摸到的习俗相同的概率为． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2万元，今年投入图书购置经费2.42万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 【答案】该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x，利用该校今年投入图书购置经费该校前年投入图书购置经费（该校这两年投入图书购置经费的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为． 21. 巍巍宝塔山，滚滚延河水，宝塔山是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征．实验中学组织学生开展综合实践活动，张阳带着测角仪和皮尺去测量宝塔山的高度．如图，测角仪高，在点处放置测角仪，测得塔顶的仰角为，然后用皮尺测得测角仪底部到宝塔山底部的距离，，，求宝塔山的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键． 过作于，在直角三角形中运用正切函数进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足． 则四边形是矩形， 则， 在 中，，， ∴． ∴． 答：树的高度约为． 22. 近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【答案】（1）； （2）50； 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变形的值、求函数值，解题的关键是注意计算的正确性． （1）先设反比例的函数表达式，根据图象上点的横纵坐标代入求出值即可； （2）把代入（1）中求出函数表达式即可． 【小问1详解】 解：设该反比例函数的表达式为：， 由图象可知点在反比例图象上， ∴， ∴该反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，， （度）， ∴佳佳的眼镜度数增加了50度． 23. 粮食安全是社会稳定的基石，耕地保护是粮食安全的根本保障．阳光中学与当地地质博物馆联合开展“耕地保护”教育活动．活动结束后对全校学生进行“耕地保护”相关知识测试．张老师从八、九年级学生中各随机抽取了10名学生的成绩（满分100分），整理如下：八年级10名学生的成绩：，，，，，，，，，． 九年级10名学生成绩的统计图如下： （1）八年级这10名学生成绩的众数是______分，中位数是______分； （2）求九年级这10名学生的平均成绩； （3）若该校八年级有400名学生，九年级有500名学生，估计这次测试八、九年级学生成绩在90分以上的有多少人？ 【答案】（1）85；85 （2）分 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，利用样本估计总体，理解统计图的信息是解本题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）由总人数乘相应百分比即可． 【小问1详解】 解：八年级10名学生的成绩：，，，，，，，，，． 其中85出现的次数最多， ∴众数是85分， 第5名和第6名学生成绩分别：85分，85分， ∴中位数是85分； 故答案为：85；85； 【小问2详解】 根据题意，九年级10名学生的平均成绩为： （分）； 答：九年级这10名学生的平均成绩为分； 【小问3详解】 根据题意得：（人）． 答：估计这次测试八、九年级学生成绩在90分以上的有270人． 24. 如图，为的直径，直线是的切线，切点为点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出．证明，得出．根据等腰三角形的性质得出，得出，最后得出答案即可； （2）连接，利用圆周角定理，余弦定义列出方程，解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． 为切线， ． ， ∴． ． ， ． ． ． 【小问2详解】 解：如图，连接． 为直径， ． ，， ，． ， 即． ． ． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，余弦函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 25. 明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中学科技小组同学运用信息技术模拟火箭运行过程．如图2，以发射点为原点，地面为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为时，距离地面，当火箭距离发射点水平距离为时，距离地面． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当火箭距离发射点的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多少千米？ 【答案】（1） （2）千米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入即可求解； （2）将代入即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线经过， 设抛物线解析式为， 代入可得， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，， ∴此时火箭距离地面千米． 26. 问题背景：（1）如图1，点A在上，，圆心到直线的距离，，求的最小值； 问题解决：（2）如图2，张伯伯家有一块长方形荒地，其中，，张伯伯打算在这片空地的边，上分别取点，，修建一条笔直的小路．按照规划要求，过点修建小路，且于点，计划在内修建一个花园，在其余部分种植蔬菜，为了尽可能多种植蔬菜，张伯伯希望花园的面积尽可能小，花园的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）存在最小值平方米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点P，当点A在上运动到上时，最小,此时,得的最小值为5； （2）延长交延长线于点H，连接，根据，得，得，得，根据，知点G在以为直径的圆上运动，取中点O，连接，过G作于点M，连接，则，根据，当时最小，最小，根据，O是中点，得M是中点，得，得最小值为，即得存在最小值为平方米． 【详解】（1）过点A作于点P， ∵， ∴当点A在上运动到上时，最小， 此时， ∵， ∴的最小值； （2）如图，延长、交于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， 取中点O，以O为圆心，作的外接圆，连接，过G作于点M，连接， 则， 要想使有最小值， 则可使最小即可， ∵，而为半径是定值， 要使最小， 则须使最小， 当时最小， ∵， ∴， ∵O是中点， ∴此时M也是中点， ∴， ∴， ∵， ∴（平方米）， 即存在最小值为平方米． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积问题、点圆最值问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质等内容，梯形性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$