第四章 三角形 单元测试 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形 单元测试 一、选择题 1.下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A.   B.   C.   D.   2.如图，B，C，D，E四点在一条直线上，且△ABD≌△FEC，则下列说法正确的是（　　） A.AB＝FC B.∠B＝∠E C.AD∥FE D.BD＝FE 3.如图，已知，则的依据是（     ） A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS 4.汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A.守株待兔 B.竹篮打水 C.画饼充饥 D.瓜熟蒂落 下列事件中,是必然事件的是(　　) A.射击运动员射击一次,命中靶心 B.掷一次骰子,向上一面的点数是6 C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数 D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 6.袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 7.如图，是和的平分线，，添加下列一个条件后，依然不能证明的是（   ） A. B. C. D. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（   ） A. B. C. D. 9.如图，在中，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为和，则的长为（   ） A.12 B.10 C.8 D.5 10.掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（　　） A.大于3的点数 B.小于3的点数 C.大于5的点数 D.小于5的点数 11.如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A.30 B.35 C.40 D.45 12.如图，的面积为，垂直的平分线于点，交于，若，则的面积为（   ） A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 13.现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是　 　（精确到0.01）． 在二维码内生成的点数n 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数m 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170 14.下列事件中，为随机事件的是          . ①小明买彩票中奖 ②任意抛一只纸杯，杯口朝下 ③在一个没有红球的袋子里摸到红球 ④任选一个三角形的两边，其和大于第三边 15.如图，阴影部分是分别以正方形的顶点和中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的概率是      ． 16.如图，，，． 求证：． 证明：∵， ∴ ( )． 又∵， ∴ ( )． ∵， ∴ ( )． 在和中， ∴． 17.[问题提出]如果从1，2，3，…，m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？ [问题探究]为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一： 如果从1，2，3，…，m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法； 当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法； 当m＝5，n＝2时，有 　 　种不同的选择方法； … 由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法． 探究二： 如果从1，2，3，…，50，50个连续的自然数中选择3个，4个，…，n（n≤50）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空． 从50个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法； 从50个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法； 由上可知：如果从1，2，3，…，50，50个连续的自然数中选择n（n≤50）个连续的自然数，有 　　种不同的选择方法． [问题解决]如果从1，2，3，…，m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有 　　种不同的选择方法． [实际应用]我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题． （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有 　 　种不同的选择； （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到16号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种____不同的选择方法． 三、解答题 18.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？请你说出理由． 19.在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 已知一个不透明的盒子中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、绿色的玻璃弹珠共100个，其中红色的有30个，黄色的有45个．从盒子中任意摸出一个玻璃弹珠，求： 20.(1)摸到的玻璃弹珠的颜色是红色的概率； (2)摸到的玻璃弹珠的颜色是绿色的概率． 为了促进学生的全面发展，丰富学生的课余生活，学校组织学生参加公益活动．活动有义务植树、敬老院慰问、维护道路交通和社区服务．七年级5班共有50名同学，分配其中15名同学去义务植树，20名同学去敬老院慰问，5名同学去维护道路交通，剩下的10名同学去社区服务． 21.(1)“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是多少？ (3)随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交通的概率是多少？ 22.（1）如图1射线在，点B、D在的边、上，且，于点C，于点E，当______时，； （2）在（1）的条件下，证明； （3）探索：如图2，点B，D在的边、上，点E，C在内部的射线上，，分别是，的外角，已知，，直接写出、与的关系______．    北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】解：A、具有稳定性，故此选项不符合题意； B、具有稳定性，故此选项不符合题意； C、具有稳定性，故此选项不合题意； D、不具有稳定性，故此选项符合题意； 故选：D． 2.如图，B，C，D，E四点在一条直线上，且△ABD≌△FEC，则下列说法正确的是（　　） A.AB＝FC B.∠B＝∠E C.AD∥FE D.BD＝FE 【答案】B 【解析】解：∵B，C，D，E四点在一条直线上，且△ABD≌△FEC， ∴AB＝FE，∠B＝∠E，BD＝CE， 又∵∠ADB≠∠E， ∴AD与FE不平行， 故选：B． 3.如图，已知，则的依据是（     ） A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS 【答案】C 【解析】解：∵， ∴, 即， ∵， ∴， 故选：C． 4.汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A.守株待兔 B.竹篮打水 C.画饼充饥 D.瓜熟蒂落 【答案】A 【解析】 解：A、守株待兔，是随机事件，故A符合题意； B、竹篮打水，是不可能事件，故B不符合题意； C、画饼充饥，是不可能事件，故C不符合题意； D、瓜熟蒂落，是必然事件，故D不符合题意； 故选：A． 下列事件中,是必然事件的是(　　) A.射击运动员射击一次,命中靶心 B.掷一次骰子,向上一面的点数是6 C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数 D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 【答案】D 【解析】 解：A可能发生也可能不发生,是随机事件; B可能发生也可能不发生,是随机事件; C可能发生也可能不发生,是随机事件; D必然会发生,是必然事件. 6.袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】 解：0.667 设黑球有x个， 根据题意得（x+6）×=x 解得：x＝12， 所以估计袋子里黑球数量大约为12个． 故选：D． 7.如图，是和的平分线，，添加下列一个条件后，依然不能证明的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解；由题意得，，， A、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故A不符合题意； B、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故B不符合题意； C、添加条件，结合条件，，不可以利用，证明，故C符合题意； D、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故D不符合题意； 故选C． 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是， 故选：A． 9.如图，在中，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为和，则的长为（   ） A.12 B.10 C.8 D.5 【答案】D 【解析】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 由题意知，， ∴， 解得， 故选：D． 10.掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（　　） A.大于3的点数 B.小于3的点数 C.大于5的点数 D.小于5的点数 【答案】C 【解析】 解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6， ∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果． A、点数大于3的数有4，5，6，三种情况， ∴P点数大于3＝＝； B、点数小于3的数有1，2，两种情况， ∴P点数小于3＝＝； C、点数大于5的数有6，一种情况， ∴P点数大于5＝； D、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况， ∴P点数小于5＝＝； ∵＞＞＞， ∴点数大于5的可能性大小最小，出现可能性最小． 故选：C． 11.如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A.30 B.35 C.40 D.45 【答案】D 【解析】解：如图，由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故选D． 12.如图，的面积为，垂直的平分线于点，交于，若，则的面积为（   ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】解：如图所示，过点作于点， ∴，， ∴，则， ∵的面积为， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B ． 二、填空题 13.现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是　 　（精确到0.01）． 在二维码内生成的点数n 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数m 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170 【答案】 0.17． 【解析】 解：通过表格发现：随着实验次数的增多，在码眼区域内生成的点数的频率逐渐稳定到0.17附近， ∴估计“一个点生成在码眼区域”的概率是0.17． 故答案为：0.17． 14.下列事件中，为随机事件的是          . ①小明买彩票中奖 ②任意抛一只纸杯，杯口朝下 ③在一个没有红球的袋子里摸到红球 ④任选一个三角形的两边，其和大于第三边 【答案】 ①②． 【解析】 解：①小明买彩票中奖是随机事件，故符合题意； ②任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，故符合题意； ③在一个没有红球的袋子里摸球，摸到了红球是不可能事件，故不符合题意； ④任选一个三角形的两边，其和大于第三边是必然事件，故不符合题意． 故答案为：①②． 15.如图，阴影部分是分别以正方形的顶点和中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的概率是      ． 【答案】 0.5 【解析】 解：通过割补可知：阴影部分面积等价于下图中的阴影部分面积， 所以阴影部分面积占正方形面积的一半， 在正方形上做随机投针试验，针头落在每一处的可能性大小都相等， 针头落在阴影部分区域内的概率是， 故答案为：． 16.如图，，，． 求证：． 证明：∵， ∴ ( )． 又∵， ∴ ( )． ∵， ∴ ( )． 在和中， ∴． 【答案】证明：∵， ∴ (平角的定义)． 又∵， ∴ (等式的性质)． ∵， ∴(两直线平行，内错角相等)． 在和中， ， ∴． 故答案为：；平角的定义；；等式的性质；；两直线平行，内错角相等；，． 【解析】 17.[问题提出]如果从1，2，3，…，m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？ [问题探究]为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一： 如果从1，2，3，…，m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法； 当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法； 当m＝5，n＝2时，有 　 　种不同的选择方法； … 由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法． 探究二： 如果从1，2，3，…，50，50个连续的自然数中选择3个，4个，…，n（n≤50）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空． 从50个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法； 从50个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法； 由上可知：如果从1，2，3，…，50，50个连续的自然数中选择n（n≤50）个连续的自然数，有 　　种不同的选择方法． [问题解决]如果从1，2，3，…，m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有 　　种不同的选择方法． [实际应用]我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题． （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有 　 　种不同的选择； （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到16号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种____不同的选择方法． 【答案】解：探究一：当m＝5，n＝2时，有1，2；2，3；3，4；4，5共4种不同的选择方法； 由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有m﹣1种不同的选择方法； 故答案为：4；m﹣1； 探究二：从50个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有1，2，3；2，3，4；…；48，49，50共48种不同的选择方法； 从50个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有1，2，3，4；2，3，4，5；…；47，48，49，50共47种不同的选择方法； 由上可知：如果从1，2，3，…，50，50个连续的自然数中选择n（n≤50）个连续的自然数，有50﹣n+1种不同的选择方法； 故答案为：48；47；50﹣n+1； [问题解决]如果从1，2，3，…，m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有m﹣n+1种不同的选择方法， 故答案为：m﹣n+1； [实际应用]（1）从连续7天选择连续2天，则m＝7，n＝2， 共有7﹣2+1＝6种不同的选择方法， 故答案为：6； （2）3号到16号共有14张电影票，选择3张连号票，则m＝14，n＝3， 共有14﹣3+1＝12种不同的选择方法． 【解析】 三、解答题 18.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？请你说出理由． 【答案】解：△ABC与△ADE全等． 理由：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE． 即∠BAC=∠DAE． ∴在△ABC和△ADE中， AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 【解析】 19.在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【答案】 解：（1）（从布袋中摸出一个球是红球）； （2）设取走了个白球， 根据题意得 ， 解得：． 答： 取走了7个白球 ． 【解析】 已知一个不透明的盒子中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、绿色的玻璃弹珠共100个，其中红色的有30个，黄色的有45个．从盒子中任意摸出一个玻璃弹珠，求： 20.(1)摸到的玻璃弹珠的颜色是红色的概率； (2)摸到的玻璃弹珠的颜色是绿色的概率． 【答案】解：（1）由题意得，摸到的玻璃弹珠的颜色是红色的概率为； （2）由题意得，玻璃弹珠的颜色是绿色有个， ∴摸到的玻璃弹珠的颜色是绿色的概率． 【解析】 为了促进学生的全面发展，丰富学生的课余生活，学校组织学生参加公益活动．活动有义务植树、敬老院慰问、维护道路交通和社区服务．七年级5班共有50名同学，分配其中15名同学去义务植树，20名同学去敬老院慰问，5名同学去维护道路交通，剩下的10名同学去社区服务． 21.(1)“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是多少？ (3)随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交通的概率是多少？ 【答案】解：（1）∵10名同学去社区服务， ∴“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于随机事件； 故答案为：随机 （2）∵七年级5班共有50名同学，20名同学去敬老院慰问， ∴随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是； （3）∵七年级5班共有50名同学，分配其中15名同学去义务植树，5名同学去维护道路交通， ∴随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交通的概率是 【解析】 22.（1）如图1射线在，点B、D在的边、上，且，于点C，于点E，当______时，； （2）在（1）的条件下，证明； （3）探索：如图2，点B，D在的边、上，点E，C在内部的射线上，，分别是，的外角，已知，，直接写出、与的关系______．    【答案】解：（1）当时， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）知， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （3），，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$